河北省平泉市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置．
3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 一元二次方程的一次项系数是（ ）
A. B. C. D.
3. 有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（ ）
A. 随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球
B. 随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球
C. 随机摸出一个球后放回，再随机摸出2个球
D. 随机摸出一个球后不放回，再随机摸出2个球
4. 如图，已知切于点A，的半径为3，，则切线长为（ ）
A B. 8C. 4D. 2
5. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于（ ）（精确到）．
A. B. C. D.
6. 若关于的一元二次方程有一个解为，那么的值是（ ）
A. B. C. D. 或
7. 如图，点A，B，C在上，的切线交的延长线于D，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，的半径为，双曲线和与圆相交，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
9. 问题：“解方程”，嘉嘉解得，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（ ）
A. 嘉嘉的解是正确的B. 淇淇说得对，因为
C. 嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解D. 由可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的
10. 对于点，下列描述不正确的是（ ）
A. 不论为何值，点都在抛物线上
B. 点有最高点
C. 在轴上能找到两个符合条件的点
D. 点不会在第三象限出现
11. 如图，四边形是的内接四边形，，若，，则弦的长为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，已知抛物线，与轴交于A，B两点，对称轴与轴交于点，以抛物线顶点为圆心，半径为2作，点为上一点，连接并取中点，连接，则最小值为（ ）
A. B. C. 5D.
二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分．）
13. 在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中红球个，黄球个，其余的为绿球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的可能性为，则袋中绿球的个数是______．
14. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，则的度数是______．
15. 如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是_____．
16. 如图，C是反比例函数图象上一点，A为轴负半轴上一点，AC交轴于点B，若，面积为9，则__________．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，反比例函数的在第一象限的图象经过点．

（1）求值；
（2）第一象限内有一定点，坐标为．
请判断点是否在反比例函数图象上；
顺次连接、、三点，请直接写出的形状．
18. 如图，是半圆的直径，，，，于点．
（1）求的长；
（2）求出图中阴影部分的面积（结果保留）．
19. 南宁市某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，的值为___________，A组对应的扇形圆心角的度数为_________；
（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是两名男生的概率．
20. 如图，在中，，，点是边上一动点，连接．把绕点A逆时针旋转，得到，连接、．
（1）求证：；
（2）若，时，求的长．
21. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
（1）①______，______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
22. 如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．
求证：
（1）；
（2）若，求证直线与半圆相切．
23. 如图，在正方形中，，是边的中点，是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．
（1）求证：；
（2）求面积最小值；
（3）直接写出所扫过图形面积最小值．
24. 已知抛物线．
（1）抛物线的对称轴为_____，无论取不为零任何值抛物线必过点_____和点_____
（2）当抛物线经过时，求批物线的解析式，并说明点能否在抛物线上，如果能请求出的值，如果不能请说明理由；
（3）在（2）条件下若将抛物线先向右平移个单位再向下平移个单位后，与抛物线重合，直接写出值；累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝上次数
28
54
106
158
264
527
1056
1587
2650
盖面朝上频率









x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
6
8
n
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