北师大版数学八年级下册第一次月考精品试卷（含详细解析）

这是一份北师大版数学八年级下册第一次月考精品试卷（含详细解析），共45页。
A．25cmB．45cmC．50cmD．55cm
2．已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（ ）
A．32B．2C．3D．72
3．如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，若PH＝5，则点P到射线OA的距离是（ ）
A．5B．2.5C．10D．7.5
4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若AB＝3，BC＝4.5，AC＝5，则△AMN的周长为（ ）
A．12.5B．7.5C．8D．9.5
5．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
6．三角形的三边长a，b，c分别是3cm，3cm，32cm，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E．若∠BAD＝34°，则∠AEB的度数为（ ）
A．56°B．60°C．62°D．65°
8．如图，△ABC中，AB＝17cm，AC＝10cm，以BC所在的直线为x轴，BC边上的高AO所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，以1cm作为坐标系的单位长度，点B的坐标是（﹣15，0），则点C的坐标是（ ）
A．（4.5，0）B．（5，0）C．（5.5，0）D．（6，0）
9．正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1＝BB1＝CC1＝1，则△A1B1C1的面积是（ ）
A．34B．334C．94D．934
10．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则∠1与∠B的关系是（ ）
A．互余B．互补C．相等D．不确定
11．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
A．（2，0）B．（4，0）C．（−22，0）D．（3，0）
12．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB＝13，AC＝5，则△ACD的周长为（ ）
A．18B．17C．20D．25
13．如图，△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，AB＝6，BC＝5，AC＝8，则△BDC的周长是（ ）
A．14B．13C．11D．9
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE＝3，则BC的长是（ ）
A．9B．6C．7D．5
15．等腰三角形中有一个角等于70°，则它的底角度数是（ ）
A．70°B．70°或55°C．40°或55°D．55°
16．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．7
二．填空题（共17小题）
18．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
19．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为 ．
20．如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE．则∠A＝ °．
21．如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，BE＝DF．若要用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE，则需要添加的条件为 ．
22．如图，点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OB于点D，且CD＝2，如果E是射线OA上一点，且OE＝4，那么△OEC的面积是 ．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，已知AB＝10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于16，则BC的长为 ．
24．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝8，则AC的长为 ．
25．如图，在△ABC中，∠A＝∠BCA，∠ABC＝100°，D为AC的中点，延长BC至点E，使CE＝CD，连接BD和DE，则∠BDE的大小为 °．
26．如图，工人在某施工现场作业，有一个长为1.6米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中CN）的倾斜角为45°，那么MN的长是 米．
27．直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，在三角形内有一点到三边的距离相等，这个相等的距离＝ ．
28．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是 ．
29．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝ ．
30．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，则D到AB的距离为 cm．
31．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝150°，BD＝600米，∠D＝60°，当开挖点E离D 米时，恰好使A、C、E成一条直线．
32．如图，∠BAC＝30°，点P时∠BAC的平分线上一点，PM∥AC交AB于点M，PD⊥AC于点D，若PM＝8，则PD＝ ．
33．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠A＝35°，则∠CDB＝ 度．
34．已知如图，△ABC为等边三角形，点D在AC上，点E在CB延长线上，连接AE、DE，AE＝DE，AD＝2，BE＝4，则AE＝ ．
三．解答题（共11小题）
35．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF．
（1）图中有几对全等的三角形请一一列出；
（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明．
36．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．
（1）求证：∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．
37．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O．
（1）若BC＝12，求△ADE的周长；
（2）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由．
38．如图：在△ABC中，AB＝AD＝CD．
（1）若∠C＝40°，求∠B的度数；
（2）若∠BAD＝36°，求∠C的度数．
39．已知一等腰三角形的两边长x，y满足方程组2x−y=33x+2y=8，求这个等腰三角形的周长．
40．如图，在△ABC中，∠C＝90°，边AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E．
（1）求证：E为AB的中点；
（2）若∠A=60°，CD=3，求BE的长．
41．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，AE＝BE．
（1）求∠B的度数．
（2）如果AC＝3cm，CD=3cm，求△ABD的面积．
42．已知如图：在ABC中，BD⊥AC，E为AB的中点，EF∥BC，∠A＝2∠C，求证：DF=12AB．
43．如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若BC＝10，DE＝6，求△MDE的面积．
44．△ABC的三边长分别为4，9，x．若△ABC为等腰三角形，求x的值．
45．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝20°，求∠C的度数．
北师大版数学八年级下册第一次月考精品试卷（含详细解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共17小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（ ）
A．25cmB．45cmC．50cmD．55cm
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线得出AD＝DB，进而利用三角形的周长解答即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D，
∴AD＝DB，
∵△ACD的周长为50cm，
即AC+AD+CD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝50cm，
故选：C．
【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线得出AD＝DB解答．
2．已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（ ）
A．32B．2C．3D．72
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质：三线合一，可知AF也是顶角∠BAC的平分线，然后根据角平分线的性质，即可得到点F到直线AC的距离．
【解答】解：∵AF是等腰△ABC底边BC上的高，
∴AF是顶角∠BAC的平分线，
∵点F到直线AB的距离为3，
∴点F到直线AC的距离为3，
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和角平分线的性质解答．
3．如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，若PH＝5，则点P到射线OA的距离是（ ）
A．5B．2.5C．10D．7.5
【考点】角平分线的性质．
【答案】A
【分析】过点P作PG⊥OA于G，根据角平分线的想解答即可．
【解答】解：如图，过点P作PG⊥OA于G，
∵OC平分∠AOB，PH⊥OB，PG⊥OA，PH＝5，
∴PG＝PH＝5，即点P到射线OA的距离是5，
故选：A．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若AB＝3，BC＝4.5，AC＝5，则△AMN的周长为（ ）
A．12.5B．7.5C．8D．9.5
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△MEB和△NCE是等腰三角形，从而可得MB＝ME，NE＝NC，然后利用等量代换可得△AMN的周长＝AB+AC，从而进行计算，即可解答．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABE＝∠EBC，∠ACE＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，
∴∠ABE＝∠MEB，∠NEC＝∠ACE，
∴MB＝ME，NE＝NC，
∵AB＝3，AC＝5，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+ME+EN+AN＝AM+MB+CN+AN＝AB+AC＝3+5＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
5．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【考点】等边三角形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
【答案】B
【分析】先由三线合一定理和垂直的定义得到∠CBD=12∠ABC=30°，∠BDC=90°，再由等边对等角和三角形内角和定理求出∠BDF＝75°，则∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝15°．
【解答】解：∵在等边三角形ABC中，BD⊥AC，
∴∠CBD=12∠ABC=12×60°＝30°，∠BDC＝90°，
∵BF＝BD，
∴∠BDF＝∠BFD=180°−∠CBD2=180°−30°2=75°，
∴∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝90°﹣75°＝15°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，关键是等边三角形性质的熟练掌握．
6．三角形的三边长a，b，c分别是3cm，3cm，32cm，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【考点】等边三角形的判定；等腰三角形的判定．
【答案】D
【分析】两小边的平方和等于最长边的平方，即可由勾股定理的逆定理证明三角形是不是直角三角形，再根据等腰三角形的判定即可求解．
【解答】解：∵32+32＝18＝（32）2，
∴能组成直角三角形，
∴这个三角形是等腰直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E．若∠BAD＝34°，则∠AEB的度数为（ ）
A．56°B．60°C．62°D．65°
【考点】直角三角形的性质．
【答案】C
【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABD，再根据角平分线的定义求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝34°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣34°＝56°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABD=12×56°＝28°，
在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABE＝28°，
∴∠AEB＝90°﹣28°＝62°，
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键．
8．如图，△ABC中，AB＝17cm，AC＝10cm，以BC所在的直线为x轴，BC边上的高AO所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，以1cm作为坐标系的单位长度，点B的坐标是（﹣15，0），则点C的坐标是（ ）
A．（4.5，0）B．（5，0）C．（5.5，0）D．（6，0）
【考点】勾股定理；坐标与图形性质．
【答案】D
【分析】由勾股定理求出OA＝8cm，再由勾股定理求出OC＝6cm，即可得出结论．
【解答】解：∵点B的坐标是（﹣15，0），
∴OB＝15，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA=AB2−OB2=172−152=8（cm），
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC=AC2−OA2=102−82=6（cm），
∴点C的坐标是（6，0），
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1＝BB1＝CC1＝1，则△A1B1C1的面积是（ ）
A．34B．334C．94D．934
【考点】等边三角形的判定与性质．
【答案】B
【分析】依题意画出图形，过点A1作A1D∥BC，交AC于点D，构造出边长为1的小正三角形△AA1D；由AC1＝2，AD＝1，得点D为AC1中点，因此可求出S△AA1C1=2S△AA1D=32；同理求出S△CC1B1=S△BB1A1=32；最后由S△A1B1C1=S△ABC−S△AA1C1−S△CC1B1−S△BB1A1求得结果．
【解答】解：依题意画出图形，如图所示：
过点A1作A1D∥BC，交AC于点D，易知△AA1D是边长为1的等边三角形．
又AC1＝AC﹣CC1＝3﹣1＝2，AD＝1，
∴点D为AC1的中点，
∴S△AA1C1=2S△AA1D=2×34×12=32；
同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1=32，
∴S△A1B1C1=S△ABC−S△AA1C1−S△CC1B1−S△BB1A1=34×32﹣3×32=334．
故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大．本题入口较宽，解题方法多种多样，同学们可以尝试不同的解题方法．
10．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则∠1与∠B的关系是（ ）
A．互余B．互补C．相等D．不确定
【考点】直角三角形的性质；余角和补角．
【答案】C
【分析】先由直角三角形的性质得出∠1+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，再根据同角的余角相等即可得出∠1＝∠B．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠1＝∠B．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质及余角的性质，比较简单．
11．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
A．（2，0）B．（4，0）C．（−22，0）D．（3，0）
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出OA的长，再根据①AP＝PO；②AO＝AP；③AO＝OP分别算出P点坐标即可．
【解答】解：点A的坐标是（2，2），
根据勾股定理可得：OA＝22，
①若AP＝PO，可得：P（2，0），
②若AO＝AP可得：P（4，0），
③若AO＝OP，可得：P（22，0）或（﹣22，0），
∴P（2，0），（4，0），（﹣22，0），
故点P的坐标不可能是：（3，0）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形，再分情况讨论．
12．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB＝13，AC＝5，则△ACD的周长为（ ）
A．18B．17C．20D．25
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线定理，△ACD的周长＝AC+BC．
【解答】解：因为∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，故BC＝12．
因为DE垂直且平分AB⇒AD＝BD．
∴BD+CD＝AD+CD＝12．
故△ACD＝AC+CD+AD＝17．
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般．
13．如图，△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，AB＝6，BC＝5，AC＝8，则△BDC的周长是（ ）
A．14B．13C．11D．9
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】B
【分析】先根据线段垂直平分线的性质求出AD＝BD，再通过等量代换求出CD＝AC﹣BD即可求解．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴CD＝AC﹣AD＝AC﹣BD，
∴△BDC的周长＝BC+BD+AC﹣BD＝BC+AC，
∵BC＝5，AC＝8，
∴△BDC的周长＝5+8＝13．
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，属较简单题目．解答此题的关键是求出△BDC的周长＝BC+AC，这也是此题的突破点．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE＝3，则BC的长是（ ）
A．9B．6C．7D．5
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据等边对等角的性质求出∠DAB＝∠B，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出∠B＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，然后求解即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝3，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠DAB＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD+∠DAB+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝6，
∴BC＝BD+CD＝6+3＝9，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的定义和性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，属于基础题，熟记性质是解题的关键．
15．等腰三角形中有一个角等于70°，则它的底角度数是（ ）
A．70°B．70°或55°C．40°或55°D．55°
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】B
【分析】题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【解答】解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，底角＝70°．
故选：B．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
16．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】角平分线的性质．
【答案】A
【分析】连接IA、IB、IC，过I作IM⊥AB于M，IN⊥BC于N，根据角平分线的性质得出IH＝IM＝IN，根据三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据图形得出S△ABC＝S△AIB+S△BIC+S△AIC，再代入求出IH即可．
【解答】解：连接IA、IB、IC，过I作IM⊥AB于M，IN⊥BC于N，
∵点I为△ABC各内角平分线的交点，IM⊥AB，IN⊥BC，IH⊥AC，
∴IH＝IM＝IN，
∵AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°，
∴S△ABC=12×AB×BC=12×8×6=24，
∵S△ABC＝S△AIB+S△BIC+S△AIC，
∴24=12×AB×IM+12×BC×IN+12×AC×IH，
∵AB＝8，BC＝6，AC＝10，IH＝IM＝IN，
∴24=12×8×IH+12×6×IH+12×10×IH，
∴IH＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出IH＝IM＝IN是解此题的关键．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．7
【考点】角平分线的性质．
【答案】A
【分析】由角平分线的性质，线段的和差，等量代换，求得点到直线的距离为3．
【解答】解：过点D作DE⊥AB交AB于点E，
如图所示：
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
又∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝ED，
又∵BC＝BD+DC，BC＝7，BD＝4，
∴DC＝BC﹣BD＝7﹣4＝3，
∴ED＝3，
即点D到AB的距离是3，
故选：A．
【点评】本题综合考查了角平分线的性质和线段的和差，等量代换等知识点，重点掌握角平分线的性质．
二．填空题（共17小题）
18．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AB＝ED（答案不唯一） ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
【考点】直角三角形全等的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据全等三角形的判定解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC和Rt△EDF中，
∴∠BAC＝∠DEF＝90°，
∵BC∥DF，
∴∠DFE＝∠BCA，
∴添加AB＝ED，
在Rt△ABC和Rt△EDF中
∠DFE=∠BCA∠DEF=∠BACAB=ED，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），
故答案为：AB＝ED（答案不唯一）．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
19．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为 6013 ．
【考点】角平分线的性质．
【答案】6013．
【分析】过E作EH⊥AD于H，由角平分线的性质得到DE＝DF＝5，由勾股定理求出AD=AE2+DE2=13，由三角形面积公式得到13EH＝12×5，因此EH=6013，即可得到点E到直线AD的距离．
【解答】解：过E作EH⊥AD于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF＝5，
∵AE＝12，
∴AD=AE2+DE2=13，
∵△ADE的面积=12AD•EH=12AE•DE，
∴13EH＝12×5，
∴EH=6013，
点E到直线AD的距离为6013．
故答案为：6013．
【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，关键是由三角形的面积得到AD•EH＝AE•DE．
20．如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE．则∠A＝ 66 °．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质；三角形的外角性质．
【答案】66．
【分析】先根据OC＝OE，∠C＝33°得∠E＝∠C＝33°，再根据三角形外角定理得∠DOE＝66°，然后根据平行线的性质可得∠A的度数．
【解答】解：∵OC＝OE，∠C＝33°，
∴∠E＝∠C＝33°，
∴∠DOE＝∠E+∠C＝66°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DOE＝66°，
故答案为：66．
【点评】此题主要考查了三角形的外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．
21．如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，BE＝DF．若要用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE，则需要添加的条件为 AF＝CE ．
【考点】直角三角形全等的判定．
【答案】AF＝CE．
【分析】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案．
【解答】解：∵BE＝DF，
∴BE+BD＝FD+BD，
∴DE＝BF，
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABF＝∠CDE＝90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AF=CEDE=BF，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴需要添加的条件为AF＝CE，
故答案为：AF＝CE．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：HL．
22．如图，点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OB于点D，且CD＝2，如果E是射线OA上一点，且OE＝4，那么△OEC的面积是 4 ．
【考点】角平分线的性质．
【答案】4．
【分析】过点C作CG⊥OA于G，根据角平分线的性质得到CG＝CD＝2，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CG⊥OA于G，
∵点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OB，CG⊥OA，CD＝2，
∴CG＝CD＝2，
∴S△OEC=12OE•CG=12×4×2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，已知AB＝10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于16，则BC的长为 6 ．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【答案】6．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，然后求出△BCE的周长＝AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长等于16，
∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝16，
∵AB＝10，
∴BC＝16﹣10＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△BCE的周长＝AC+BC是解题的关键．
24．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝8，则AC的长为 15 ．
【考点】等腰三角形的判定；角平分线的定义；平行线的性质．
【答案】15．
【分析】由角平分线的定义得∠BAD＝∠CAD，再由平行线的性质得∠BAD＝∠ADE，则∠CAD＝∠ADE，然后由等腰三角形的判定得AE＝DE＝7，即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴AE＝DE＝7，
∴AC＝AE+CE＝7+8＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线的定义等知识，熟知等腰三角形的判定是解答此题的关键．
25．如图，在△ABC中，∠A＝∠BCA，∠ABC＝100°，D为AC的中点，延长BC至点E，使CE＝CD，连接BD和DE，则∠BDE的大小为 110° °．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【答案】110°．
【分析】先根据已知和三角形内角和定理易得∠A＝∠BCA＝40°，从而可得BA＝BC，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BDC＝90°，然后利用三角形的外角性质和等腰三角形的性质可得∠CDE＝∠E＝20°，从而利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠A＝∠BCA，∠ABC＝100°，
∴∠A＝∠BCA=180°−∠ABC2=40°，
∴BA＝BC，
∵D为AC的中点，
∴∠BDC＝90°，
∵∠DCB是△DCE的一个外角，
∴∠DCB＝∠CDE+∠E＝40°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E＝20°，
∴∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝110°，
故答案为：110°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
26．如图，工人在某施工现场作业，有一个长为1.6米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中CN）的倾斜角为45°，那么MN的长是 1.6 米．
【考点】等边三角形的判定与性质．
【答案】1.6．
【分析】证明三角形CMN为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案．
【解答】解：由条件可知∠MCN＝180°﹣∠ACM﹣∠BCN＝60°，
∵CM＝CN，
∴△CMN为等边三角形，
∴MN＝CM＝1.6米，
故答案为：1.6．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．
27．直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，在三角形内有一点到三边的距离相等，这个相等的距离＝ 2 ．
【考点】直角三角形的性质；三角形的面积．
【答案】2．
【分析】设点到各边的距离为x，根据勾股定理求出斜边长，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：设点P到各边的距离为x，
∵∠C＝90°，两直角边AC＝5，BC＝12，
∴AB=AC2+BC2=13，
由题意得，12AC•x+12BC•x+12AB•x=12AC•12，
解得x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是三角形的面积，正确根据题意和三角形的面积公式列出方程是解题的关键．
28．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是 4 ．
【考点】角平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线的性质定理可得DF＝DE；最后根据三角形的面积＝底×高÷2，求出△BCD的面积是多少即可．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
∴S△BCD=12•BC×DF=12×4×2＝4
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
29．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝ 70° ．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB＝OC，根据等边对等角的性质求出∠OBC＝∠C，然后根据角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，∠AOC＝125°，
∴∠C＝∠AOC﹣∠ADC＝125°﹣90°＝35°，
∵D为BC的中点，AD⊥BC，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝35°，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠OBC＝2×35°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记各性质是解题的关键．
30．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，则D到AB的距离为 2.6 cm．
【考点】角平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD＝DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC
∴CD＝DE
又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm
∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．
∴DE＝DC＝2.6cm．
故填2.6．
【点评】此题主要考查角平分线的性质；根据角平分线上的点到角的两边的距离相等进行解答，各角线段的比求出线段长是经常使用的方法，比较重要，要注意掌握．
31．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝150°，BD＝600米，∠D＝60°，当开挖点E离D 300 米时，恰好使A、C、E成一条直线．
【考点】含30度角的直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据邻补角的定义求出∠DBC＝30°，再求出∠E＝90°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=12BD．
【解答】解：∵∠ABD＝150°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠E＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴DE=12BD=12×600＝300米．
故答案为：300．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
32．如图，∠BAC＝30°，点P时∠BAC的平分线上一点，PM∥AC交AB于点M，PD⊥AC于点D，若PM＝8，则PD＝ 4 ．
【考点】含30度角的直角三角形；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】过P作PF⊥AB于F，根据平行线的性质可得∠FMP＝∠BAC＝30°，再根据30度所对的直角边是斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PD的长．
【解答】解：过P作PF⊥AB于F，
∵PM∥AC，
∴∠FMP＝∠BAC＝30°，
∴在Rt△PMF中，PF=12PM＝4，
∵AP平分∠BAC，PD⊥AC于点D，PF⊥AB于F，
∴PD＝PF＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了角平分线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键．
33．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠A＝35°，则∠CDB＝ 70 度．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用三角形的内角和求出∠CBE的度数，再利用垂直平分线的性质求出∠DBC的度数，最后利用三角形的内角和求出∠CDB＝70度．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，A＝35°
∴∠CBE＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣90°﹣35°＝55°
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝DB，∠A＝∠DBE＝35°，
∴∠DBC＝∠CBE﹣∠DBE＝55°﹣35°＝20°
在△CDB中，∠C＝90，∠DBC＝20°，∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝180°﹣90°﹣20°＝70°．
∠CDB＝70度．
故填70．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质及三角形内角和定理等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
34．已知如图，△ABC为等边三角形，点D在AC上，点E在CB延长线上，连接AE、DE，AE＝DE，AD＝2，BE＝4，则AE＝ 219 ．
【考点】含30度角的直角三角形；等边三角形的性质．
【答案】219．
【分析】过E点作EF∥AB，交CA的延长线于点F，过E点作EG⊥AC，垂足为G，由等边三角形ABC可证明△AFC也是等边三角形，通过证明△EAF≌△EDCKE 求解AC的长，即可求得等边三角形EFC的边长，由等边三角形的性质可得AG的长，利用勾股定理可求解AE．
【解答】解：过E点作EF∥AB，交CA的延长线于点F，过E点作EG⊥AC，垂足为G，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，AC＝BC，
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠ABC＝60°，∠F＝∠BAC＝60°，
∴△EFC为等边三角形，
∴EF＝EC＝FC，∠F＝∠C＝60°，
∴AF＝BE＝4，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAF＝∠EDC，
在△EAF和△EDC中，
∠EAF=∠EDC∠F=∠CEF=EC
∴△EAF≌△EDC（AAS），
∴DC＝AF＝4，
∵AD＝2，
∴AC＝AD+DC＝2+4＝6，
∴EF＝FC＝AC+AF＝6+4＝10，
∵EG⊥AC，
∴FG＝5，AG＝1，
由勾股定理得EG2＝EF2﹣FG2＝AE2﹣AG2，
∴102﹣52＝AE2﹣12，
解得AE=219，
故答案为219．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，通过画辅助线作等边△EFC是解题的关键．
三．解答题（共11小题）
35．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF．
（1）图中有几对全等的三角形请一一列出；
（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明．
【考点】直角三角形全等的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题考查三角形的全等知识．第（1）小题是根据对图形的直观判断和一定的推理可得结果，要求考虑问题要全面．第（2）个问题具有一定的开放性，选择证明不同的结论，判定方法会有不同，这里根据HL（斜边直角边定理）来判断两个直角三角形全等．
【解答】解：（1）3对．分别是：
△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF．
（2）△BDE≌△CDF．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
又D是BC的中点，
∴BD＝CD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CDBE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
36．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．
（1）求证：∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．
【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形的面积．
【答案】（1）详见证明过程；
（2）周长为16+45，面积为22．
【分析】（1）证明AD是BC的中垂线，即可求解；
（2）利用勾股定理分别计算出BD和AE即可求出△ABE的周长和面积．
【解答】解：（1）证明：∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的中垂线，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB；
（2）在Rt△ADB中，BD=AB2−AD2=52−42=3，
∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，
∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，
在Rt△ADE中，AE=AD2+DE2=42+82=45，
∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+45=16+45，
S△ABE=12×BE×AD=12×11×4=22．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，三角形面积的计算等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用是解题的关键．
37．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O．
（1）若BC＝12，求△ADE的周长；
（2）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】（1）12；
（2）点O在BC的垂直平分线上，理由见解析．
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出AD＝BD，AE＝CE，再根据BC＝12，求出△ADE的周长即可；
（2）连接AO，BO，CO，证明OB＝OC即可．
【解答】解：（1）∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝12
∴△ADE的周长为12；
（2）点O在BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接AO，BO，CO，
∵OM，ON分别是AB，AC的垂直平分线，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练运用垂直平分线的性质与判定进行推理证明与计算．
38．如图：在△ABC中，AB＝AD＝CD．
（1）若∠C＝40°，求∠B的度数；
（2）若∠BAD＝36°，求∠C的度数．
【考点】等腰三角形的性质；三角形的外角性质．
【答案】（1）80°；
（2）36°．
【分析】（1）根据等边对等角得出∠C＝∠DAC＝40°，∠B＝∠ADB，再根据三角形外角的性质得出∠ADB＝∠C+∠DAC求出∠ADB的度数，即可得出∠B的度数；
（2）根据三角形内角和定理、等边对等角结合∠BAD＝36°，求出∠B＝∠ADB的度数，再根据三角形外角的性质∠ADB＝∠C+∠DAC，结合∠C＝∠DAC即可求出∠C的度数．
【解答】解：（1）∵AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝80°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝80°；
（2）∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠BAD＝36°，
∴∠B＝∠ADB=180°−∠BAD2=72°，
∵AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝72°，
∴∠C＝36°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．
39．已知一等腰三角形的两边长x，y满足方程组2x−y=33x+2y=8，求这个等腰三角形的周长．
【考点】等腰三角形的性质；解二元一次方程组；三角形三边关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，在根据三角形三边关系即可得出答案．
【解答】解：解方程组2x−y=33x+2y=8得x=2y=1.
所以，等腰三角形的两边长为2，1．
若腰长为1，底边长为2，由1+1＝2知，这样的三角形不存在．
若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．
所以，这个等腰三角形的周长为5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．
40．如图，在△ABC中，∠C＝90°，边AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E．
（1）求证：E为AB的中点；
（2）若∠A=60°，CD=3，求BE的长．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）23．
【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，求出DE∥BC，再求出答案即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出AB长，再求出BE即可．
【解答】（1）证明：连接CE，
∵线段DE是边AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，AD＝CD，∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥CB，
∵AD＝CD，
∴AE＝BE，即E为AB的中点；
（2）解：∵边AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，CD=3，
∴AC＝2CD＝23，
∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝23，∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∴AB＝2AC＝43，
即BE＝AE=12AB＝23．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
41．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，AE＝BE．
（1）求∠B的度数．
（2）如果AC＝3cm，CD=3cm，求△ABD的面积．
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【答案】（1）30°；
（2）33cm2．
【分析】（1）根据已知条件得到AD＝BD，由等腰三角形的性质得到∠B＝∠DAE，根据AD是△ABC的角平分线，求得∠DAE＝∠DAC，于是得到∠B＝∠DAE＝∠DAC，列方程即可得到结论；
（2）根据已知条件求得Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质得到AE＝AC，DE＝CD，于是得到AB，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB且AE＝BE，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAE，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴∠B＝∠DAE＝∠DAC，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠DAE+∠DAC＝90°，
∴∠B＝30°；
（2）∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝ED，
在Rt△ACD与Rt△AED中，
CD=EDAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝3cm，DE＝CD=3cm，
∵AE＝BE，
∴AB＝2AE＝2×3＝6（cm），
∴S△ABD=12AB•DE=12×6×3=33（cm2）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积的求法，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
42．已知如图：在ABC中，BD⊥AC，E为AB的中点，EF∥BC，∠A＝2∠C，求证：DF=12AB．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到DE＝AE=12AB，根据平行线的性质和三角形的外角的性质得到DE＝DF，证明结论．
【解答】证明：连接DE，
∵BD⊥AC，E为AB的中点，
∴DE＝AE=12AB，
∴∠A＝∠ADE，
∵EF∥BC，∠AFE＝∠C，又∠A＝2∠C，
∴∠ADE＝2∠DFE，又∠ADE＝∠DFE+∠DEF，
∴∠DFE＝∠DEF，
∴DF＝DE，又DE=12AB，
∴DF=12AB．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
43．如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若BC＝10，DE＝6，求△MDE的面积．
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接ME、MD，由直角三角形的性质可求得DM＝EN，则由等腰三角形的性质可证明MN⊥DE；
（2）由条件可求得MD、ND，在Rt△MND中可求得MN，则可求得△MDE的面积．
【解答】（1）证明：连接ME、MD，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵M是BC的中点，
∴DM=12BC，
同理可得EM=12BC，
∴DM＝EM，
∵N是DE的中点，
∴MN⊥DE；
（2）解：
∵BC＝10，ED＝6，
∴DM=12BC＝5，DN=12DE＝3，
由（1）可知∠MND＝90°，
∴MN=DM2−DN2=52−32=4，
∴S△MDE=12DE•MN=12×6×4＝12．
【点评】本题主要考查直角三角形和等腰三角形的性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DM＝EM是解题的关键．
44．△ABC的三边长分别为4，9，x．若△ABC为等腰三角形，求x的值．
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】9．
【分析】分x＝4和x＝9两种情况用三角形的三边关系进行验证即可．
【解答】解：当x＝4时，等腰三角形的三边为4，4，9，
∵4+4＜9，
∴不能组成三角形；
当x＝9时，等腰三角形的三边为4，9，9，
∵4+9＞9，
∴能组成三角形，
∴x＝9．
【点评】考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题的关键是能够正确的用三角形的三边关系进行验证，难度不大．
45．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝20°，求∠C的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】由线段垂直平分线的性质可求得∠EAC＝∠C，再结合三角形内角和定理可求得∠C；
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC，
∴∠CAB＝∠EAC+20°＝∠C+20°，
∵∠C+∠CAB＝90°，
∴2∠C+20°＝90°，
∴∠C＝35°；
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
考点卡片
1．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用x=ay=b的形式表示．
2．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
3．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
4．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
5．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
6．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
7．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
8．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
9．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
10．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
11．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
12．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
13．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
14．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
15．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
16．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
17．等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
18．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
19．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
20．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
21．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
22．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
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C
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C
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答案
B
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