广东省广州市第二中学2024-2025学年九年级下学期 数学开学考试试卷（含解析）

这是一份广东省广州市第二中学2024-2025学年九年级下学期 数学开学考试试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．）
1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形，根据中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转180度，能与自身完全重合，这个图形叫作中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是中心对称图形，故D符合题意；
故选：D．
2. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ）
A. 3B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把代入，转化为m的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．
【详解】把代入，
得，
解得，
故选A．
3. 将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（ ）
A. y=3（x+2）2B. y=3（x-2）2 C. y=3x2+2D. y=3x2-2
【答案】A
【解析】
【分析】根据向左平移横坐标减，纵坐标不变求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．
【详解】∵抛物线y=3x2向左平移2个单位后的顶点坐标为（-2，0），
∴所得抛物线的解析式为y=3（x+2）2．
故选：A．
4. 如图，在四边形中，，点E在上，交于点F，若，，则的长为（ ）
A. 6B. 3C. 5D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例解答即可．
【详解】解：∵在四边形中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
故选：A．
5. 若是方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
6. 如图，中，弦，相交于点，，，则（ ）
A. 40°B. 45°C. 15°D. 85°
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了同弧所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角相等可求出，再利用三角形外角的性质可得答案．解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等．
【详解】解： ∵，
∴．
又∵，
∴，
故选：D．
7. 如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，解决问题的关键是熟练掌握圆的周长公式和扇形面积公式．先根据直径求出圆的周长，再根据母线长求圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是扇形，运用扇形面积公式计算，圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】由图知，底面直径为8，母线长为10，
则底面周长为，，
所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积是，．
故选：D．
8. 关于的二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质进行判断即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线顶点坐标为，与轴交点为，
∵，
∴，
∴顶点坐标在第四象限，与轴交点在轴正半轴上，
∴选项图象符合题意，
故选：．
9. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，过A作AC⊥OB于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为=30°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】如图，过A作AC⊥OB于C，
∵圆的内接正十二边形的圆心角为=30°，
∵OA=1，
∴AC=OA=，
∴S△OAB=×1×=，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为12×=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，点在第一象限内．顶点在轴上，经过点的反比例函数的图象交于点．若点为线段的中点，则平行四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数求解，涉及了平行四边形的性质、中点坐标等知识点，设点，可推出点；根据求得；作，即可求解；
【详解】解：设点，
∵点，点，
∴点，
∵点为线段的中点，
∴点；
∵点、点均在反比例函数的图象上，
∴，解得：；
作，如图所示：
则，
∴平行四边形的面积，
故选：D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11. 反比例函数图象在第_______象限．
【答案】一、三
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．由题意可知，然后问题可求解．
【详解】解：由反比例函数可知， ，
所以该函数图象在第一、三象限；
故答案为：一、三．
12. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则________．
【答案】##110度
【解析】
【分析】本题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由四边形内接于⊙，可得，又由，即可求得．
【详解】解：∵四边形内接于⊙，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
13. 如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为___________．

【答案】
【解析】
【分析】根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：∵一粒米可落在9个等边三角形内的任一个三角形内，而落在阴影区域的只有5种可能，
∴一粒米落在阴影区域的概率为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数．
14. 如图，圆形输水管的横截面阴影部分为有水部分，水面宽为，水的最大深度为，则该水管的半径为______．
【答案】##13厘米
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，先过点作于点，连接，由垂径定理可知，设，则，在中，利用勾股定理即可求出的值，从而得出该输水管的直径的长．
【详解】解：过点作于点，连接，
则，
设 ，则，
在中，，即，
解得．
故该输水管的半径为；
故答案为：．
15. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转角得到，连接，．当为等腰三角形时，旋转角的度数为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】分三种情况讨论，一是点在上，则是等边三角形，可证明，则是等腰三角形，此时；二是点在上，可证明，则是等腰三角形，此时；三是是等腰三角形，且，作于点，交于点，则，可证明，再推导出，则，所以，可求得，此时．
【详解】解：如图1，点在上，
由旋转得，
，，
是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等腰三角形，
；
如图2，点在上，

，，
，
，
是等腰三角形，
；
如图3，是等腰三角形，且，作于点，交于点，则，

，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，旋转角的度数为或或，
故答案为：或或．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16. 如图，菱形的边长为，连接，点分别是线段上的动点（不与端点重合），且．与交于点．延长交边（或边）于点．则下列结论：①；②当时，；③连接，四边形的面积最小值为；④当最大时，线段的长是．其中所有正确的结论序号是________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】对于①，证明是等边三角形，进而得出三角形全等的三个条件；对于②，根据得出，从而得出，于是；对于③，过点作于，过点于，先求出，设，则，则，那么,再转化为二次函数求最值问题即可；对于④，根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理得到，作的外接圆，记为，连接，可知点共线，点在上运动，那么当与相切时，最大，此时，可求半径，，然后运用勾股定理求解即可．
【详解】解：对于①，四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，故①正确；
对于②，如图1，
∵，
∴，则，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，故②正确；
对于③，过点作于，过点于，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴当时，四边形的面积最小值为，故③不正确；
对于④，∵
∴，
∵，
∴
∴，
作外接圆，记为，连接，如图：
∵为的外接圆，而垂直平分，
∴点共线，
∵，，
∴点在上运动，
∴当与相切时，最大，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故④正确，
∴正确的有：①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识点，综合性很强，难度较大．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
根据因式分解法解答即可．
【详解】解：，
，
或，
，．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(﹣2，1)，B(﹣1，4)，C(﹣3，2)，以原点O为位似中心，△ABC与△A1B1C1位似比为1：2，在y轴的左侧，请画出△ABC放大后的图形△A1B1C1．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】根据位似图形的画图要求作出位似图形即可.
【详解】解：如图所示，△A1B1C1即为所求．
【点睛】本题主要考查位似图形的作图，掌握位似图形的画法是解题的关键.
19. 如图，矩形中，E为上一点，于F．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用矩形和直角三角形的性质得到、，从而证得两个三角形相似．
（2）首先利用勾股定理求得线段的长，然后利用相似三角形的性质：对应边成比例即可求得的长．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴由勾股定理得，
∵，
∴即：，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质的知识，综合性比较强，但难度不是很大．
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）当方程有两个相等的实数根时，求证：；
（2）一个不透明的袋中装有除数字外完全相同的3个小球．分别标有数字1，2，4．现从袋中随机换出一个小球；记录标有的数字为，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，记录标有的数字为．请利用列表法或者树状图求摸出的值恰好使得方程有两个相等的实数根的概率．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式以及概率的应用，掌握相关结论即可．
（1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解．
（2）画出树状图确定全部可能结果以及满足条件的情况，即可求解．
【小问1详解】
证明：由题意得：，
即：；
【小问2详解】
解：画出树状图如下：
一共有种等可能的情况，的情况有种，
∴方程有两个相等的实数根的概率是：
21. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接，，求的面积；
（3）直接写出当时，关于的不等式的解集．
【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例的解析式为
（2）4 （3）或
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题；
（3）根据图象即可解决问题．
【小问1详解】
解：将，代入，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
将代入，得，
∴反比例的解析式为；
【小问2详解】
解：对于，
当时，
∴点D的坐标为，
由，解得或，
∴点B的坐标为，
∴的面积；
【小问3详解】
解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或．
22. 《广州市电动自行车管理规定》自2024年12月30日起正式实施．该规定强调了驾驶电动自行车时，驾驶人及乘坐人均要规范佩戴安全头盔．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个．
（1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，则每月可卖出500个，若在此基础上每个头盔涨价1元，则每月要少卖出20个．为使每月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔每个应涨价多少元？
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔10月份及12月份的月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该品牌头盔每个涨价元，则每个盈利元，每月可售出个，根据总利润=每个的利润月销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【小问1详解】
设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
【小问2详解】
设该品牌头盔每个涨价y元，则每个盈利元，每月可售出个，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴．
答：该品牌头盔每个应涨价5元．
23. 如图，的直径和是它的两条切线，点为射线上的一点．
（1）尺规作图：在上作点，使得（点与点不重合），延长交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中．
①求证：是的切线；
②若，求四边形的周长．
【答案】（1）作图见详解；
（2）①证明过程见详解；②28
【解析】
【分析】（1）以C为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，作射线交于点D即可；
（2）①连接，，证明，得，，即可证明是的切线；②作于点F，由、、是的切线，得，，进而证明四边形是矩形，设，则， ，由直径，得，即可求周长．
【小问1详解】
解：以C为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，作射线交于点D，如图所示：线段、点D即为所求；
【小问2详解】
①证明：连接，，如图：
是的切线，
，
，
在和中，
，
，
，
，
是的切线；
②作于点F，
，
、、是的切线，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
设，
则， ，
，，
中，，
的直径，
，
，
四边形的周长．
【点睛】本题考查了圆综合知识，基本尺规作图——作一条线段等于已知线段，矩形的性质和判定，切线的性质和判定，切线长定理、勾股定理等，适当添加辅助线是正确解题的关键．
24. 在中，，，点为边上的动点（不与点重合）．过点作于点，连接．
（1）如图1，当时．
①求的长；
②求内切圆的半径．
（2）如图2，若点为的中点，连接，设．的面积为，求与的函数关系式．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①先求，再对运用勾股定理求解；
②先通过面积法求出，继而可求，再对运用面积法得到，即可求解半径；
（2）可知点四点共圆，根据圆周角定理以及外角定理证明，过点作于点，则，设，则由勾股定理得：，那么，故，在中，由勾股定理得，，则，再代入即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴；
②如图：
在中，，
∵，
∴，
∴
∴
∴在中，由勾股定理得，，
设内切圆半径为，则，
∴
∴；
【小问2详解】
解：如图：
∵，点为中点，
∴，
∴，
∴点四点共圆，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
设，
则由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
则，
∴在中，由勾股定理得，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了与圆有关的综合问题，涉及内切圆的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，函数关系式的建立等知识点，难度较大．
25. 已知抛物线：（为常数）与轴有且只有一个交点．
（1）求的值；
（2）将抛物线平移后得到抛物线：
①若抛物线经过原点，点是抛物线在第四象限内任意一点，连接并延长，交抛物线于点．设点的横坐标为，点的横坐标为，求证：为定值；
②设抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．抛物线的顶点为点，外接圆的圆心为点．当时，如果对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点，的纵坐标相等，求长的取值范围．
【答案】（1）；
（2）①证明见解析；②．
【解析】
【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系及根的判别式即可得解；
（2）①由题意得点的坐标，据此求出直线的解析式，再根据抛物线经过原点求出抛物线解析式，由点为延长线和抛物线的交点得到一元二次方程，解方程后可得，为定值即可得证；
②根据二次函数的图像与性质得到点、、、的坐标，结合图像可得的取值范围，再由点是外接圆的圆心及二次函数性质得到，点横坐标点横坐标，，设，由两点间距离公式推得后解出，则，结合的取值范围即可得到的取值范围．
【小问1详解】
解：抛物线：（为常数）与轴有且只有一个交点，
一元二次方程只有一个实数根，
即，
解得．
【小问2详解】
①证：由（1）得，抛物线：，
则点的坐标为，且xM>0，
设直线的解析式为，
将点坐标代入可得，，
即直线的解析式为，
抛物线经过原点，
，
解得，
，
，
即抛物线：，
点为延长线和抛物线的交点，
，
解得，，
点在的延长线上，
不符合题意，
，
即，
故为定值得证．
②解：，两点是抛物线与轴的交点，点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点，
，，
解得，，
即，，，，
要使时，抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使点，的纵坐标相等，
由图可得，
，
即，
，
连接，，，
点是外接圆的圆心，
点是，，垂直平分线的交点，且，
根据二次函数性质可得，，两点关于对称，
即顶点在的垂直平分线上，
垂直平分交于点，
点横坐标点横坐标，，
设，
，
，
，
即，
解得，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、求直线解析式、求抛物线解析式、解一元二次方程、二次函数的图像与性质、外接圆的性质、两点间的距离公式，解题关键是利用数形结合思想得到的取值范围．