广东省部分联考2025届高三下学期开学收心考试数学试题

这是一份广东省部分联考2025届高三下学期开学收心考试数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x∈Z|2≤xP(Y≤34)，应该选择坐公交车，故D正确.
故选：D.
8.【答案】B
【解析】依题意，设切点坐标为(t,tet)，
由y=xex，求导得y'=(x+1)ex，
则函数y=xex的图象在点(t,tet)处的切线方程为y-tet=(t+1)et(x-t)，
由切线过点(1,m)，得m=tet+(t+1)et(1-t)=(-t2+t+1)et，
令g(t)=(-t2+t+1)et，
依题意，直线y=m与函数y=g(t)的图象有3个公共点，
g'(t)=(-t2-t+2)et=-(t+2)(t-1)et，
当t1时，g'(t)0，h(-1)=1e+2-e2 2，故B错误；
x+y=t与曲线Γ对称轴AB垂直，如图，
只需考察曲线y=ex-e+1上P到y=x距离的最大值即可，
找出过P与曲线相切且与AB平行的点P0即可，
令f(x)=ex-e+1，令f'(x)=ex=1⇒x=0，此时P0(0,2-e)，
P0到y=x的距离d=e-2 2，
∴直线x+y=t被Γ截得弦长最大值为 2(e-2)，故C正确；
SΓ>2S△P0AB=2⋅12(e-2)⋅|xA-xB|
=(e-2)(1-x0)>2(e-2)，(-20即可，
g'(x)=ex-1-2+1x，再令h(x)=g'(x)，则h'(x)=ex-1-1x2，
显然h'(x)在(1,+∞)上递增，则h'(x)>h'(1)=e0-1=0，
即g'(x)=h(x)在(1,+∞)上递增，
故g'(x)>g'(1)=e0-2+1=0，即g(x)在(1,+∞)上单调递增，
故g(x)>g(1)=e0-2+1+ln1=0，问题得证．
17.【答案】解：(1)证明：在△ABD中，AB=1，AD=2，∠DAB=60∘，
由余弦定理得BD= AB2+AD2-2AB·AD·cs∠DAB
= 1+4-2×1×2×12= 3，
故AB⊥BD，
因为四棱台ABCD-A1B1C1D1，
所以BB1，DD1交于一点，即BB1，DD1共面，
又∠B1BA=90∘，即AB⊥BB1，BB1∩BD=B，BB1，BD⊂平面BB1D1D，
所以AB⊥平面BB1D1D，
又DD1⊂平面BB1D1D，
所以AB⊥DD1，又∠D1DA=90∘，即AD⊥DD1，
又AB∩AD=A，AB，AD⊂平面ABCD，
所以DD1⊥平面ABCD，
又DD1⊂平面D1C1CD，
所以平面D1C1CD⊥平面ABCD；
(2)由(1)知：以D为坐标原点，DB，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则B( 3,0,0)，A( 3,-1,0)，D1(0,0,2)，C1(0,1,2)，
由D1A1=12DA，得A1( 32,-12,2)，
由A1B1=12AB，得B1( 32,0,2)，
所以AA1=(- 32,12,2)，AB1=(- 32,1,2)，B1C1=(- 32,1,0)，
设平面AB1C1的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AB1=- 32x+y+2z=0，n⋅B1C1=- 32x+y=0，
令x=2，得y= 3，z=0，
故平面AB1C1的一个法向量为n=(2, 3,0)，
设直线AA1与平面AB1C1所成的角为θ，
则sinθ=|csAA1,n|=|AA1⋅n||AA1|n
=|- 3+ 32+0| 5× 7= 10570．
故直线AA1与平面AB1C1所成角的正弦值为 10570．
18.【答案】解：(1)进行一次试验：
获得0分的概率为12×13+12×23=12，
获得1分的概率为12×23=13，
获得2分的概率为12×13=16，
进行两次试验：
X的可能取值为0，1，2，3，4，
P(X=4)=16×16=136，P(X=3)=13×16×2=19，P(X=1)=13×12×2=13，
P(X=0)=12×12=14，P(X=2)=12×16×2+13×13=518，
所以分数X的概率分布列为：
数学期望E(X)=0×14+1×13+2×518+3×19+4×136=43；
(2)①G(2)=16+13×13=518，
②据题意有，G(n)=16G(n-2)+13G(n-1)，其中n≥3，
设G(n)-λG(n-1)=16G(n-2)+13G(n-1)-λG(n-1)
=16G(n-2)+(13-λ)G(n-1)
=(13-λ)[G(n-1)-λG(n-2)]，
比较系数得-(13-λ)λ=16，解得λ=1± 76，
所以{G(n)-λG(n-1)}是公比为13-λ的等比数列，其中n∈N*，n≥2，λ=1± 76．
19.【答案】解：(1)
设将点P(x,y)绕原点O按逆时针方向旋转α后得到的点为P'(x',y')，
设OP=OP'=r，∠POx=θ，
则x=rcsθ，y=rsinθ，∠P'Ox=θ+α，
所以x'=rcs(θ+α)=rcsθcsα-rsinθsinα=xcsα-ysinα，
y'=rsin(θ+α)=rsinθcsα+rcsθsinα=ycsα+xsinα，
即任意平面向量OP=(x,y)，把OP绕其起点沿逆时针方向旋转α角得到向量OP'=xcsα-ysinα,ycsα+xsinα，
所以对于P(2,1)，绕原点O按逆时针方向旋转π2得到P1(-1,2)，绕原点O按逆时针方向旋转3π4得到P2(-3 22, 22)；
(2)设曲线xy=1上任意一点(x,y)绕原点O沿逆时针方向旋转π4后所得点的坐标为(x',y')，
由(1)知，x'= 22(x-y)y'= 22(x+y)，
得(y')2-(x')2=2xy=2，所以(y')22-(x')22=1，
故所求曲线方程为y22-x22=1；
(3)证明： ①若直线AB的斜率存在，
可设直线AB的方程为y=k(x- 63)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=k(x- 63)y2-x2=2，得3(k2-1)x2-2 6k2x+2k2-6=0，
由Δ>0，得4k2-3>0，解得k2>34，
所以x1+x2=2 6k23(k2-1)，x1x2=2k2-63(k2-1)，
当x1=0时，取A(0,- 2)，T( 63,0)，kTA= 3，
所以直线TA的方程为y= 3x- 2，
联立直线TA与双曲线C的方程，
可得x2- 6x=0，解得x=0或x= 6，
所以B( 6,2 2)，D(0, 2)，
所以kDB= 33，所以β=π6，可得α+β=2π3，
当x1≠0时，设直线DA，DB的斜率分别为k1，k2，
k1=y1- 2x1=k- 63k+ 2x1，k2=k- 63k+ 2x2，
所以k1+k2=2k- 63k+ 2x1- 63k+ 2x2
=2k-( 63k+ 2)⋅x1+x2x1x2=-2 3kk- 3，
k1k2=(k- 63k+ 2x1)(k- 63k+ 2x2)=- 3+kk- 3，
所以tan(α+β)=k1+k21-k1k2=- 3，
因为点B在第一象限，所以0