2024-2025学年北京昌平区高二上学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京昌平区高二上学期期末考试数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a=x,3,1，b=−2,y,2，若a//b，则x+y=( )
A. −5B. −3C. 3D. 5
2.已知直线l:2x−3y+6=0，则直线l的倾斜角的正切值为( )
A. −32B. −23C. 23D. 32
3.在 x−25的展开式中，x的系数为( )
A. −80B. −40C. 40D. 80
4.以A(2,3)，B(4,9)为直径的两个端点的圆的方程为( )
A. (x−1)2+(y−3)2= 10B. (x−3)2+(y−6)2= 10
C. (x−1)2+(y−3)2=10D. (x−3)2+(y−6)2=10
5.已知四面体O−ABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，D为BC的中点，E为OD的中点，则AE用向量a,b,c可表示为( )
A. −a+14b+14cB. a−14b−14cC. −a+12b+12cD. a−12b−12c
6.曲线x216+y27=1与曲线x216−k+y27−k=1(k1”是“坐标原点在圆x2+y2−ay+a−1=0的外部”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF为“刍(cℎu)甍(meng)”.若底面ABCD是边长为4的正方形，EF=2，且EF//AB，▵ADE和▵BCF是等腰三角形，∠AED=∠BFC=90 ∘，则该刍甍的高(即点F到底面ABCD的距离)为( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 2
10.已知集合A={(x,y)|y= x2+n,n≠0}，对于实数m，集合B={(x,y)|y=mx}且满足A∩B=⌀，则( )
A. m=±1B. m=1C. m∈(−1,1)D. m∈[−1,1]
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知直线l1:2x+my−3=0与直线l2:x−y+1=0垂直，则实数m的值为______ __ ．
12.已知双曲线C: x26−y23=1，则其渐近线方程为 ；过C的右焦点F作圆x2+y2=6的切线，切点为M，则|MF|= ．
13.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角大小为 ．
14.已知抛物线C:x2=2y的焦点为F，准线为l.则焦点F到准线l的距离为____ _____ ；若点M在抛物线C上，过点M作准线l的垂线，垂足为E，A3,1，则MA+ME的最小值为 ．
15.已知曲线W:x2+y2=4−xy.关于曲线W的几何性质，给出下列四个结论：
①曲线W关于原点对称；
②曲线W围成的区域(不含边界)内恰好有8个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
③曲线W围成区域的面积大于8；
④曲线W上任意一点到原点的距离都不小于2 63．
其中正确结论的序号是______ __________ ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知▵ABC的三个顶点的坐标分别为A−1,2，B3,−2，C1,4．
(1)设D为AC的中点，求直线BD的方程；
(2)求▵ABC的面积．
17.设(2x−1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求：
(1)a6+a5+a4+a3+a2+a1；
(2)a6+a4+a2+a0；
(3)64a6+32a5+16a4+8a3+4a2+2a1+a0．
18.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，A1D1与平面ACE交于点F．
(1)求证：EF//AC；
(2)求直线DE与平面ACE所成角的正弦值；
(3)求点B1到平面ACE的距离．
19.已知圆C:(x−1)2+(y−3)2=5．
(1)过点A(2,−1)的直线l与圆C交于M,N两点，当MN=4时，求直线l的方程；
(2)判断直线mx−y+1−m=0与圆C的位置关系，并说明理由．
20.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，平面ABB1A1⊥平面ABCD，AB/​/CD，AD=CD=1，E为AA1的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
条件①：AD⊥BE；
条件②：A1C= 6．
(1)求证：AD⊥AB；
(2)求平面BCE与平面ADD1A1夹角的余弦值；
(3)已知点M在线段CC1上，直线EM与平面BCC1B1所成角的正弦值为2 23，求线段CM的长．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，F是C的右焦点，D是C的下顶点，且|DF|= 2.过点D作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于A,B两点(不与点D重合)，过点D作直线AB的垂线，垂足为M．
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)判断在y轴上是否存在定点Q，使得MQ的长度为定值？若存在，求出点Q的坐标和MQ的长度；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.D
5.A
6.C
7.C
8.B
9.B
10.A
11.2
12.y=± 22x ； ； ； ； ；
； 3
13.π3
14.1
； 372
15.①③④
16.(1)AC的中点D的坐标为0,3. 所以直线BD的斜率kBD=3−(−2)0−3=−53.
所以直线BD的方程为y=−53x+3，即5x+3y−9=0．
(2)
法一：
因为kBC=4−(−2)1−3=−3，所以直线BC的方程为y−4=−3x−1，即3x+y−7=0.
所以点A到直线BC的距离d=3×(−1)+2−7 32+12=4 105.
因为BC= 3−12+−2−42=2 10，
所以S▵ABC=12BC×d=12×2 10×4 105=8.
法二：
因为kAB=2−(−2)−1−3=−1，kAC=4−21−(−1)=1，
所以kAB⋅kAC=−1．
所以AB⊥AC.
因为|AB|= [3−(−1)]2+(−2−2)2=4 2，
|AC|= [1−(−1)]2+(4−2)2=2 2，
所以S▵ABC=12AB×|AC|=12×4 2×2 2=8．
法三：由题意：S▵ABC=12−1213−21141=122+2+12+2−6+4=8．

17.(1)在展开式中，令x=0，得：a0=(−1)6=1，
令x=1，得：a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=(2−1)6=1，
所以a6+a5+a4+a3+a2+a1=1−1=0．
(2)令x=−1，得：a6−a5+a4−a3+a2−a1+a0=(−2−1)6=729，
由(1)知，a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=1，
两式相加得：2(a6+a4+a2+a0)=1+729=730，
所以a6+a4+a2+a0=365．
(3)令x=2，得：64a6+32a5+16a4+8a3+4a2+2a1+a0=(4−1)6=729．

18.(1)法一：
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
因为平面A1B1C1D1//平面ABCD，
平面ABCD∩平面ACE=AC，平面A1B1C1D1∩平面ACE=EF，
所以AC//EF.
法二：
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
因为平面ABCD//平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，
所以AC//平面A1B1C1D1.
又因为AC⊂平面ACE，平面ACE∩平面A1B1C1D1=EF，
所以AC//EF．
(2)如图，建立空间直角坐标系D−xyz.则
D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,2)，B1(2,2,2)．
所以AE=(−2,1,2)，AC=(−2,2,0)，DE=(0,1,2).
设平面ACE的法向量n=(x,y,z)，则
n⋅AE=0n⋅AC=0 即−2x+y+2z=0−2x+2y=0．
令x=2，则y=2,z=1．
所以n=(2,2,1).
设直线DE与平面ACE所成角为α，
所以sinα=|csDE,n|=|DE⋅n||DE|⋅|n|=|0×2+1×2+2×1| 5×3=4 515.
所以直线DE与平面ACE所成角的正弦值为4 515．
(3)因为AB1=(0,2,2)，所以AB1⋅n|n|=|0×2+2×2+2×1|3=2．
所以点B1到平面ACE的距离为2．

19.(1)由圆C:(x−1)2+(y−3)2=5可得，圆心C(1,3)，半径r= 5．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2．
圆心C(1,3)到直线l的距离为d=1，
此时MN=2 r2−d2=4，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x−2)，
即kx−y−2k−1=0．
圆心C(1,3)到直线l的距离为d=|k−3−2k−1| k2+1=|k+4| k2+1．
因为|MN|=2 r2−d2=2 5−d2=4，所以d=1.所以|k+4| k2+1=1．
解得k=−158.所以直线l的方程为y+1=−158(x−2)，即15x+8y−22=0．
综上，所求直线的方程为x=2或15x+8y−22=0．
(2)法一：
因为直线mx−y+1−m=0过定点D(1,1)，
又因为|CD|= (1−1)2+(3−1)2=2< 5，
所以点D(1,1)在圆C内.
所以直线mx−y+1−m=0与圆C相交．
法二：
圆心C到直线mx−y+1−m=0的距离d=|m−3+1−m| m2+1=2 m2+1，
因为 m2+1≥1，所以0