新高考数学二轮复习能力提升练习19 等差数列中Sn的最值问题（2份，原卷版+解析版）

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一、等差数列的通项公式和前n项和公式
1.等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
2.等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
注：数列是等差数列⇔（为常数）．
二、等差数列的前n项和的最值
1.公差为递增等差数列，有最小值；
公差为递减等差数列，有最大值；
公差为常数列．
2.在等差数列中
（1）若，则满足的项数使得取得最大值；
（2）若，则满足的项数使得取得最小值．
即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；
若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
二、题型精讲精练
【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
【题型训练-刷模拟】
一、单选题
1．（2023·四川泸州·统考三模）记为等差数列的前n项和，已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2023·全国·高三专题练习）已知无穷等差数列的前n项和为，公差为，若 ，则不正确的（ ）
A．数列单调递减B．数列没有最小值
C．数列{}单调递减D．数列{}有最大值
4．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
5．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知为等差数列的前项和．若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（2023·全国·高三专题练习）设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最大值
7．（2023·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测）已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
9．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（ ）①为的最小值 ② ③， ④为的最小值
A．1B．2C．3D．4
10．（2023·全国·高三专题练习）数列是递增的整数数列，若，，则的最大值为（ ）
A．25B．22C．24D．23
11．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
12．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知各项为正的等比数列的公比为q，前n项的积为，且，若，数列的前n项的和为，则当取得最大值时，n等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
14．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（ ）
A．若有最大值，则数列的公差小于0
B．若，则使的最大的n为18
C．若，，则中最大
D．若，，则数列中的最小项是第9项
15．（2023·全国·高三专题练习）对于数列，定义为的“优值”．现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为
16．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且.若存在实数，，使得，且，当时，取得最大值，则的值为（ ）
A．12或13B．11或12
C．10或11D．9或10
二、多选题
17．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A．B．
C．当时，是的最大值D．当时，是的最小值
18．（2023春·河南·高三阶段练习）等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A．B．
C．当时，取得最大值D．当时，取得最大值
19．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）数列是等差数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值B．若，则时最大
C．若，使为负值的n值有3个D．若，则
20．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递减数列B．
C．当时，D．
21．（2023秋·山东济南·高三统考期中）已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．
22．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）等差数列的前项和为，公差为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则最小
C．D．
23．（2023·全国·高三专题练习）设是等差数列的前项和，若，且，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．和均为的最大值
C．存在正整数，使得D．存在正整数，使得
三、填空题
24．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知数列的通项公式为，为前项和，则最小值时， .
25．（2023春·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最小值时，的值为 .
26．（2023·全国·高三专题练习）是数列的前n项和，当时，取得最小值，写出一个符合条件的数列的通项公式，an= .
27．（2023·全国·高三专题练习）首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则中最大；
④若，则使的的最大值为11．
其中所有真命题的序号是 ．
28．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）设等差数列的前n项和为且，当取最大值时，的值为 ．
29．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知是等差数列{}的前n项和，若仅当时取到最小值，且，则满足的n的最小值为 .
30．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，且，，则的最小值是 .
31．（2023秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知等差数列的前n项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为 .
四、解答题
32．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值.
33．（2023·海南·校联考模拟预测）已知等差数列是递减数列，设其前项和为，且满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求的最大值及相应的的值．
34．（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
35．（2023·辽宁丹东·统考二模）记为数列的前项和，已知，．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：．
36．（2023·贵州贵阳·校联考三模）设数列的前项和为，当时，有．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，求的最大值．