四川成都石室天府中学2024-2025学年北师大版九年级下学期开学测试数学试题+答案

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试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟
A 卷(共 100 分)
第Ⅰ卷（选择题，共 32 分）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要
求，答案涂在答题卡上）
1．下列各数中，负整数是（ ）
A．﹣π B．2.1 C．0 D．﹣2
2．“成都造”动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售）突破 100 亿，成为我国首部百亿电影！将
数据“100 亿”用科学计数法表示为（ ）
A．1×1011 B．10×1010 C．1×1010 D．1×109
3．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个
方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是
从左面看到的图形的是（ ）
A． B． C．
D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．3x2y+2xy＝5x3y2 B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6 C．（2a+b）2＝4a2+b2 D．（2a
+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2
5．某班有 5 位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这 5 位学生志愿服务
次数的中位数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．如右图，要使平行四边形 ABCD 成为菱形，需添加的条件是（ ）
A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD
7．古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交
易其一，金轻十三两．问金，银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金 9 枚，乙袋中装有白银 11 枚，
称重两袋相等，两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了 13 两．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚
黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，则可列方程组为（ ）
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A． B．
C． D．
8．关于二次函数 y＝﹣x2﹣x+m，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．函数图象一定经过点（0，m）
C．当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而增大 D．当 m＝4 时，函数图象与 x 轴有两个交点
第Ⅱ卷（非选择题，共 68 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，答案写在答题卡上）
9．因式分解：4a3﹣a＝ ．
10．分式方程 的解为 ．
11．如图，A，B，C 是⊙O 上的三点，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，则∠AOB＝ 度．
（第 11 题） （第 13 题）
12．成都被誉为“中国最具幸福感城市”之一，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到成都旅游，两
人分别从成都大熊猫基地，锦里，杜甫草堂三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景
点大熊猫基地的概率为 ．
13．如图，四边形 ABCD 是矩形，以点 B 为圆心，任意长为半径作弧分别交 AB 和 BC 于点 M，N；分别
以点 M，N 为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 H；作射线 BH 交边 AD 于点 E；作射线
CF，交 DE 于点 F，交射线 BH 于点 G，连接 GD．若 CD＝3，DF＝EF＝1，则 ＝ ．
三、解答题（本大题共 5 个小题，共 48 分，解答过程写在答题卡上）
14．(12 分)（1）计算： ；（2）解不等式组： ．
15．（8 分）某校综合实践小组对擅长每种物理实验的学生人数和比例展开调研．调研步骤：（1）制作如下
问卷：
你最擅长的物理实验是什么？（要求每个学生必选且只能选择一项）
A．伏安法测小灯泡正常发光时的电阻 B．探究电磁铁的磁性强弱与电流大小的关系
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C．测量蜡块的密度 D．测量物体运动的平均速度
E．探究平面镜成像时像与物的关系
（2）发放和回收问卷；
（3）整理数据，并形成如下统计图表：
解决问题：请根据图表提供的信息，完成下列任务．
（1）本次一共调查了 名学生，统计表中 m＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）某堂物理实验课上，小军要从以上五个实验中任意选做两个，请用列表或画树状图的方法求小军
恰好选中两个探究性实验 B 和 E 的概率．
16．（8 分）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图 1，四边形 ABCD 为矩形，AB 长 3 米，
AD 长 1 米，点 D 距地面为 0.2 米．道闸打开的过程中，边 AD 固定，连杆 AB，CD 分别绕点 A，D 转
动，且边 BC 始终与边 AD 平行．
（1）如图 2，当道闸打开至∠ADC＝45°时，边 CD 上一点 P 到地面的距离 PE 为 1.2 米，求点 P 到
MN 的距离 PF 的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽 1.8 米，高 1.6 米．当道闸打开至∠ADC＝35°时，轿车能否驶入小
区？请说明理由．（参考数据：sin35°≈0.5736，cs35°≈0.8192，tan35°≈0.7002）
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17.（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、DC 边上的动点，且 BE⊥AF 交 AF 于点 G．
（1）如图①，若四边形 ABCD 是正方形，求证：AE＝DF；
（2）如图②，若四边形 ABCD 是矩形，BM 平分∠ABC 分别交 AD、AF 于点 M、H，当点 E 为 AM 的
三等分点，且 AB＝9，BC＝12 时，求 HM 的长．
18．（10 分）【问题背景】如图 1，直线 l1：y＝kx+b 分别与 x 轴，y 轴交于点 D，C，与反比例函数
的图象交于点 A（1，5），B（5，m）．
【构建联系】
（1）求 a 的值及直线 l1 的解析式；
（2）若点 P 是反比例函数在第一象限上的点，△ABP 面积为 12 时，求点 P 的坐标；
【深入探究】
（3）如图 2，将反比例函数 的图象沿直线 l1 翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），
若直线 l2：y＝﹣x+t 与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件 t 的取值范围．
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B 卷（共 50 分）
一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，答案写在答题卡上）
19. 已知 ，且 a≠﹣b，则 的值为 ．
20．已知关于 x 的一元二次方程 x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0 的两个实数根为 x1，x2，且满足（x1+1）（x2
+1）＝2，则 m 的值为 ．
21．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．一只蚂蚁如图上任
意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停 在阴影
部分的概率是 ．
（第 21 题） （第 22 题） （第 23 题）
22. 如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，连接 BD，过点 C 作 CE⊥BD 于点 F，交 AB 于点
E，FA 平分∠DFE，若 AB＝10，BC＝15，延长 AF 交 BC 于点 G，则 CG 的长为 ．
23．在平面直角坐标系 xOy 中，对封闭图形 M 和不重合的两点 P，Q 给出如下定义：点 Q 关于点 P 的中
心对称点为 Q'，若点 Q'在图形 M 内（包含边界）．则称图形 M 为点 Q 经点 P 投射的“靶区”．如图，
抛物线 y＝ax2﹣4ax+6 与 x 轴的交点 A，B 位于原点两侧（点 A 在点 B 的左侧），且 OB＝3OA，则抛物
线的函数表达式为 ．记 x 轴上方的抛物线与 x 轴所围成的封闭图形为 G，点 E（O，m）
为 y 轴上一动点，若直线 y＝x+3 上存在点 F，使得图形 G 为点 F 经点 E 投射的“靶区”，则 m 的取值
范围是 ．
二、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分，解答过程写在答题卡上）
24．（8 分）某商场去年年初以每件 10 元的进价购进一批“网红”商品．当商品售价为 20 元时，一月份销
售 2250 件，三月份销售 3240 件．设二月和三月该商品销售的月平均增长率相等．
（1）求二月和三月该商品的月平均增长率；
（2）从四月初起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价 1 元，销售量
增加 50 件，当商品降价多少元时，商场获利 29610 元？
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25.（10 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，顶点为 D．其中 A（﹣3，
0），D（﹣1，﹣4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（1），在第三象限内抛物线上是否存在点 E，使∠OCE＝∠OAD，若存在，求点 E 的坐标；
若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），过抛物线对称轴上点 P 的直线交抛物线于 F，G 两点，线段 FG 的中点是 M，过点 M
作 y 轴的平行线交抛物线于点 N．若 是一个定值，求点 P 的坐标．
26．（12 分）在梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 在边 AB 上，且 ．
（1）如图 1 所示，点 F 在边 CD 上，且 ，联结 EF，求证：EF∥BC；
（2）已知 AD＝AE＝2；
①如图 2 所示，点 O 为∠ABC 的平分线上一点，且 OE=OA=OD=r，求 r 的长；
②如图 3 所示，如果点 M 在边 BC 上，联结 EM、DM、EC，DM 与 EC 交于 N．如果∠DMC＝∠CEM，
BC＝8，且 CD2＝DM•DN，求边 CD 的长．
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