安徽省合肥市2024-2025学年九年级下学期开学模拟考 数学试卷（含解析）

这是一份安徽省合肥市2024-2025学年九年级下学期开学模拟考 数学试卷（含解析），共29页。
A．B．
C．D．
2．（4分）将抛物线y=12（x+1）2﹣1平移后得到抛物线y=12x2，下列平移方法正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
3．（4分）若函数y＝x2+3x+2的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则下列说法正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y1＜y2＜y3
4．（4分）已知sinα+csα=75，0°＜α＜45°，则tanα＝（ ）
A．34B．43C．34或43D．35
5．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，连接CD，若ADBD=12，下列结论中，错误的是（ ）
A．DEBC=13
B．△ADE的周长△ABC的周长=13
C．△ADE的面积△BCD的面积=13
D．△CDE的面积△BCD的面积=13
6．（4分）如图，双曲线y1=kx与直线y2＝ax相交于A，B两点，点A的坐标为（2，m），若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2或﹣1＜x＜0B．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
C．x＞2或﹣2＜x＜0D．x＜﹣2或0＜x＜2
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝c，∠A＝β，则CD长为（ ）
A．c•sin2βB．c•cs2β
C．c⋅sinβ⋅csβD．c⋅sinβ⋅tanβ
8．（4分）如图，将一个面积为24的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等的矩形．若裁切线AB的长为6，则裁切线CD的长是（ ）
A．32−2B．6﹣22C．23D．4−3
9．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，下列结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④3a+c＝0．其中，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，连接EF，G是EF的中点，连接DG．在△BEF中，BE＝2，∠BFE＝30°，若将△BEF绕点B逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG长的最大值是（ ）
A．67B．217C．10D．12
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）如果ab=23且a≠2，那么a−b−1a+b+5的值为 ．
12．（5分）如图，BC是⊙O的弦，AD过圆心O，且AD⊥BC，若∠C＝40°，则∠A的度数为 ．
13．（5分）如图，△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝120°，E点在AB上且AE＝2BE，点F在线段BC上，过F作EF的垂线，交射线AC于G，当Rt△EFG的一条直角边与△ABC的一边平行时，则AG＝ ．
14．（5分）已知点P为反比例函数y=6x图象上的一点，点P到y轴的距离为2，则经过点P和点A（4，0）的一次函数解析式为 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：（﹣1）2023+sin60°﹣|1−3|．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在网格格点上，且点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（4，2），C（2，4）．
（1）以点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1；
（2）在（1）的条件下，求△A1B1C1的面积．
17．（8分）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB的宽度为8m，拱高CD（AB的中点到水面的距离）为2m．
（1）求AB所在圆的半径；
（2）若水面下降1m，求此时水面的宽度（保留根号）．
18．（8分）某网店销售某种文具，每个售价10元，每天可卖30个，为了增加利润，该网店采取了薄利多销的方式，决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每天可多卖10个．已知该种文具每个成本价5元，设该种文具每个降价x元，每天的销售量为y个．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当每个文具降价多少元时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
19．（10分）如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°．已知BC＝90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i＝5：12，求此人所在位置点P的铅直高度．（结果精确到0.1米，tan53°取43，tan63.4°取2）
20．（10分）如图，四边形APBC内接于圆，∠APC＝60°，AB＝AC，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若AP＝3，BP＝2，求PC的长；
（3）若∠PAC＝90°，AB＝23，求PD的长．
21．（12分）如图，点D，C分别在AB，AE上，BC交DE于点F，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2．
（1）求证：△BDF∽△ECF；
（2）求DF的长．
22．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点坐标为C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PC的值最小时的点P的坐标．
23．（14分）学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课．
【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点C把线段AB分成AC和BC两部分，如果ACAB=BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点，ACAB=5−12叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，△ABC都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形ABCD是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）．
【知识探究】直角三角形中的黄金分割
活动一：如图5，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．以AD为边，作平行四边形ADEF，使得点E，F分别落在边BC，AC上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
活动二：在活动一的条件下，若DE＝EF，求证：点F是线段AC的黄金分割点．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（4分）将抛物线y=12（x+1）2﹣1平移后得到抛物线y=12x2，下列平移方法正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】原抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣1），平移后抛物线顶点坐标为（0，0），由此确定平移规律．
【解答】解：抛物线y=12（x+1）2﹣1的顶点坐标是（﹣1，﹣1），抛物线y=12x2的顶点坐标是（0，0），
则平移的方法可以是：将抛物线y=12（x+1）2﹣1先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到抛物线y=12x2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
3．（4分）若函数y＝x2+3x+2的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则下列说法正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y1＜y2＜y3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
【分析】求出抛物线的对称轴和开口方向，根据抛物线的增减性，即可求出答案．
【解答】解：∵y＝x2+3x+2＝（x+32）2−14，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−32，
A（﹣1，y1）距离对称轴0.5个单位长度，
B（2，y2）距离对称轴72个单位长度，
C（﹣3，y3）距离对称轴1.5个单位长度，
开口向上，根据距离对称轴越大，函数值越大，
∴y1＜y3＜y2．
故选：A．
【点评】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
4．（4分）已知sinα+csα=75，0°＜α＜45°，则tanα＝（ ）
A．34B．43C．34或43D．35
【考点】同角三角函数的关系．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想．
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：设直角三角形中，锐角α所对的边为a，邻边为b，斜边为c，
则sinα=ac，csα=bc，tanα=ab，
因为sinα+csα=75，即ac+bc=75，
所以a+bc=75，
设c＝5k，则a+b＝7k，由勾股定理可得，a＝3k，b＝4k或a＝4k，b＝3k，
因为0°＜α＜45°，
所以tanα=ab=34，
故选：A．
【点评】本题考查同角三角函数的关系，理解锐角三角函数的意义是解决问题的前提．
5．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，连接CD，若ADBD=12，下列结论中，错误的是（ ）
A．DEBC=13
B．△ADE的周长△ABC的周长=13
C．△ADE的面积△BCD的面积=13
D．△CDE的面积△BCD的面积=13
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】易证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可判断A、B选项；设点A到DE的距离为h，点D到BC的距离为h1，点C到DE的距离为h2，根据平行线的性质可得ℎℎ1=12，以此即可判断C选项；根据平行线的性质可得h1＝h2，以此即可判断D选项．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB，
∵ADBD=12，
∴ADAB=13，
∴DEBC=ADAB=13，
C△ADEC△ABC=ADAB=13，故A、B选项正确，不符合题意；
设点A到DE的距离为h，点D到BC的距离为h1，点C到DE的距离为h2，
∵DE∥BC，ADBD=12，
∴ℎℎ1=12，
∴S△ADES△BCD=12DE⋅ℎ12BC⋅ℎ1=DEBC⋅ℎℎ1=16，故C选项错误，符合题意；
∵DE∥BC，
∴h1＝h2，
∴S△CDES△BCD=12DE⋅ℎ212BC⋅ℎ1=DEBC⋅ℎ2ℎ1=13，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例时解题关键．
6．（4分）如图，双曲线y1=kx与直线y2＝ax相交于A，B两点，点A的坐标为（2，m），若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2或﹣1＜x＜0B．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
C．x＞2或﹣2＜x＜0D．x＜﹣2或0＜x＜2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】根据反比例函数和正比例函数的对称性求得B（﹣2，﹣m），然后根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式y1＜y2的解集．
【解答】解：∵双曲线y1=kx与直线y2＝ax相交于A，B两点，点的坐标为（2，m），
∴B（﹣2，﹣m），
又∵y1＜y2，
∴x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解答此题的关键．
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝c，∠A＝β，则CD长为（ ）
A．c•sin2βB．c•cs2β
C．c⋅sinβ⋅csβD．c⋅sinβ⋅tanβ
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；几何直观．
【答案】C
【分析】根据已知条件在Rt△ABC中，用AB和β表示BC，在Rt△DCB中，根据余弦求出CD的长，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，∠A＝β，
∴sinβ=BCAB，
∴BC＝c•sinβ，
∵∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠A＝β，
在Rt△DCB中，∠CDB＝90°，
∴cs∠DCB=CDBC，
∴CD＝BC•csβ＝c•sinβ•csβ，
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，把三角函数的概念看作是公式，在相应的直角三角形中，直接运用．
8．（4分）如图，将一个面积为24的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等的矩形．若裁切线AB的长为6，则裁切线CD的长是（ ）
A．32−2B．6﹣22C．23D．4−3
【考点】矩形的性质；正方形的性质；图形的剪拼．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由题意得∠ABG＝∠AHN＝∠HEQ，CD＝QE，NQ＝AB＝6，再证△ABG∽△AHN∽△HEQ，得AHAB=ANAG，ANHQ=NHQE，求出AN＝4，然后由勾股定理得NH＝22，则HQ＝NQ﹣NH＝6﹣22，即可解决问题．
【解答】解：如图，四边形ABQN是裁切后拼成的矩形，
则∠ABG＝∠AHN＝∠HEQ，CD＝QE，NQ＝AB＝6，
∵∠AGB＝∠ANH＝∠HQE＝90°，
∴△ABG∽△AHN∽△HEQ，
∴AHAB=ANAG，ANHQ=NHQE，
由题意得：正方形AHFG的面积为24，
∴AH＝AG=24=26，
∴266=AH26，
解得：AN＝4，
∴NH=AH2−AN2=(26)2−42=22，
∴HQ＝NQ﹣NH＝6﹣22，
∴46−22=22QE，
解得：QE＝32−2，
∴CD＝32−2，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和正方形的在，证明三角形相似是解题的关键．
9．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，下列结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④3a+c＝0．其中，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【专题】数形结合；二次函数图象及其性质；几何直观；应用意识．
【答案】C
【分析】由抛物线开口方向和与y轴交点可判断①，由抛物线与x轴交点个数可判断②，根据抛物线对称轴可判断③，由抛物线对称轴及抛物线与x轴一个交点（3，0）可得另一个交点坐标，从而可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴−b2a=1，即b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故③不正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），
将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得：0＝a﹣b+c，
∴0＝a﹣（﹣2a）+c，即3a+c＝0，故④正确，
∴正确的由①②④
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握抛物线开口方向、与y轴交点、与x轴交点、对称轴等与a、b、c及含a、b、c的代数式的关系．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，连接EF，G是EF的中点，连接DG．在△BEF中，BE＝2，∠BFE＝30°，若将△BEF绕点B逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG长的最大值是（ ）
A．67B．217C．10D．12
【考点】点与圆的位置关系；旋转的性质；三角形三边关系；三角形中位线定理；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】根据同圆的半径相等可知：点G在半径为2的⊙B上，所以当G在DB的延长线上时，DG最大，根据勾股定理和三角形的中线的性质定理可得结论．
【解答】解：连接BG，
在△BEF中，BE＝2，∠BFE＝30°，
∴EF＝2BE＝4，BF=3BE＝23，
∵G是EF的中点，
∴BG=12EF＝2，
∴G在⊙B上，且半径为2，
∴当G在DB的延长线上时，DG最大，
∵BE＝2，BF＝23，点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴AB＝4，BC＝43，
∴BD=42+(43)2=8，
∴DG的最大值为8+2＝10，
故选：C．
【点评】本题考查了点和圆的位置关系，矩形的性质，三角形中线的性质，三角形的三边关系，勾股定理的应用，明确当G在DB的延长线上时，DG最大是解题的关键．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）如果ab=23且a≠2，那么a−b−1a+b+5的值为 −15 ．
【考点】比例的性质．
【专题】分式；运算能力．
【答案】−15．
【分析】利用设k法进行计算，即可解答．
【解答】解：∵ab=23，
∴设a＝2k，b＝3k，
∴a−b−1a+b+5
=2k−3k−12k+3k+5
=−k−15k+5
=−(k+1)5(k+1)
=−15，
故答案为：−15．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．
12．（5分）如图，BC是⊙O的弦，AD过圆心O，且AD⊥BC，若∠C＝40°，则∠A的度数为 25° ．
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】25°．
【分析】连接OB，先根据等边对等角∠OBC＝∠C＝40°，从而得到∠BOD＝50°，再利用圆周角定理得到∠A的度数即可．
【解答】解：连接OB，
∵OB＝OC，∠C＝40°，
∴∠OBC＝∠C＝40°，
∵AD⊥BC．
∴∠ADB＝90°，
∴∠BOD＝50°，
∴∠A=12∠BOD＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟记同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
13．（5分）如图，△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝120°，E点在AB上且AE＝2BE，点F在线段BC上，过F作EF的垂线，交射线AC于G，当Rt△EFG的一条直角边与△ABC的一边平行时，则AG＝ 4或8 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】当FG∥AB时，如图1，过C作CH⊥AB于H如图2，当EF∥AC时，根据相似三角形的判定和性质以及解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：当FG∥AB时，如图1，
∵∠GFE＝90°，
∴∠FEB＝90°，
过C作CH⊥AB于H，
∵AC＝BC＝6，∠ACB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴BH=32BC＝33，
∴AB＝63，
∵AE＝2BE，
∴BE＝23，
∵EF∥CH，
∴BFBC=BEBH，
∴BF6=2333，
∴BF＝4，
∴CF＝2，
∵FG∥AB，
∴∠CGF＝∠A，∠CFG＝∠B，
∴∠CGF＝∠CFG，
∴CG＝CF＝2，
∴AG＝4；
如图2，当EF∥AC时，
∴△BEF∽△BAC，
∴BFBC=BEAB=13，
∴BF＝2，
∴CF＝4，
∵∠ACB＝120°，
∴∠GCF＝60°，
∵∠CGF＝∠EFG＝90°，
∴CG=12CF＝2，
∴AG＝AC+CG＝8，
综上所述，当Rt△EFG的一条直角边与△ABC的一边平行时，AG＝4或8．
故答案为：4或8．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．（5分）已知点P为反比例函数y=6x图象上的一点，点P到y轴的距离为2，则经过点P和点A（4，0）的一次函数解析式为 y=−32x+6或y=12x﹣2 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】y=−32x+6或y=12x﹣2．
【分析】由点P到x轴的距离为2，可得P点坐标，则可求经过点P和点A（4，0）的一次函数解析式．
【解答】解：设y＝kx+b，
∵点P到y轴的距离为2，
∴可得点P的纵坐标是±2，代入y=6x中，可得点P的横坐标为±3．
∴P（﹣2，﹣3）或（2，3）
把（2，3）和A（4，0）代入y＝kx+b中，得2k+b=34k+b=0，
解得：k=−32b=6，
∴y=−32x+6；
把（﹣2，﹣3）和A（4，0）代入y＝kx+b中，得−2k+b=−34k+b=0，
解得：k=12b=−2
∴y=12x﹣2．
故答案为：y=−32x+6或y=12x﹣2．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的综合题，关键是确定好公共点的坐标．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：（﹣1）2023+sin60°﹣|1−3|．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（﹣1）2023+sin60°﹣|1−3|
＝﹣1+32−（3−1）
＝﹣1+32−3+1
=−32．
【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在网格格点上，且点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（4，2），C（2，4）．
（1）以点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1；
（2）在（1）的条件下，求△A1B1C1的面积．
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答．
（2）12．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积为12×(4+8)×4−12×2×4−12×2×8=24﹣4﹣8＝12．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
17．（8分）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB的宽度为8m，拱高CD（AB的中点到水面的距离）为2m．
（1）求AB所在圆的半径；
（2）若水面下降1m，求此时水面的宽度（保留根号）．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】（1）5m；
（2）221m．
【分析】（1）根据垂径定理得到OC⊥AB，AC＝BC，结合勾股定理求解即可得到答案；
（2）根据（1）即可得到OG＝5﹣1﹣2＝2m，OF＝5m，结合勾股定理求解即可得到答案；
【解答】（1）解：如图，设AB⌢所在圆的圆心为O，连接OA，OC，
∵D是AB⌢的中点，CD⊥AB，即OD为圆的半径，
∴AC=BC=12AB=4m，
设OA＝OD＝rm，则OC＝OD﹣CD＝（r﹣2）m，
在Rt△AOC中，OA2＝OC2+AC2，
即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，故AB⌢所在圆的半径为5m；
（2）解：如图，连接OF，设OD与EF交于点G，则∠OGF＝90°，
在Rt△OGF中，OG＝5﹣1﹣2＝2（m），OF＝5m，
∴FG=52−22=21m，
∴EF=2FG=221m，
故此时水面的宽度为221m．
【点评】本题考查垂径定理的应用，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
18．（8分）某网店销售某种文具，每个售价10元，每天可卖30个，为了增加利润，该网店采取了薄利多销的方式，决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每天可多卖10个．已知该种文具每个成本价5元，设该种文具每个降价x元，每天的销售量为y个．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当每个文具降价多少元时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）y＝30+10x（0≤x≤5）；
（2）每盒降1元时，每星期的销售利润最大，最大利润160元．
【分析】（1）根据每降价1元，每天可多卖10个，列出函数关系式即可；
（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题；
【解答】解：（1）根据题意可得：y＝30+10x（0≤x≤5）；
（2）设每天利润为W元，根据题意可得：
W＝（10﹣x﹣5）（30+10x）＝﹣10x2+20x+150＝﹣10（x﹣1）2+160，
∵﹣10＜0，
∴x＝1时，W最大值＝160．
答：每个文具降1元时，每天的销售利润最大，最大利润160元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题．
19．（10分）如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°．已知BC＝90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i＝5：12，求此人所在位置点P的铅直高度．（结果精确到0.1米，tan53°取43，tan63.4°取2）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】此人所在位置点P的铅直高度为14.3米．
【分析】过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点P作PF⊥BD，垂足为F，根据题意设PF＝5k，CF＝12k，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB，从而表示出AE，PE的长，再在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义列出关于k的方程，最后进行计算即可解答．
【解答】解：过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点P作PF⊥BD，垂足为F，
则PF＝BE，PE＝BF，
∵山坡坡度i＝5：12，
∴PFCF=512，
设PF＝5k，CF＝12k，
在Rt△ABC中，∠ACB＝63.4°，BC＝90米，
∴AB＝BC•tan63.4°＝90×2＝180（米），
∴AE＝AB﹣BE＝（180﹣5k）米，
在Rt△AEP中，∠APE＝53°，
∴tan53°=AEEP=180−5k90+12k=43，
∴k=207，
经检验，k=207是原方程的根，
∴PF＝5k=1007≈14.3（米），
∴此人所在位置点P的铅直高度为14.3米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（10分）如图，四边形APBC内接于圆，∠APC＝60°，AB＝AC，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若AP＝3，BP＝2，求PC的长；
（3）若∠PAC＝90°，AB＝23，求PD的长．
【考点】圆内接四边形的性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】图形的全等；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据圆周角定理和等边三角形的判定定理即可证出△ABC是等边三角形；
（2）在PC上截取PT，使得PT＝PA．利用全等三角形的性质证明PC＝PA+PB，可得结论；
（3）通过解含30度角的直角三角形可求出AP、AD的长度，二者做差即可得出PD的长；
【解答】（1）证明：∵∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：如图1中，在PC上截取PT，使得PT＝PA．
∵∠APT＝60°，
∴△APT是等边三角形，
∴AP＝AT，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠PAT＝∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠TAC，
∴△PAB≌△TAC（SAS），
∴PB＝TC＝2，
∵PT＝PA＝3，
∴PC＝PT+CT＝3+2＝5；
（3）解：在Rt△PAC中，∠APC＝60°，∠PAC＝90°，AC＝AB＝23，
∴∠PCA＝30°，
∴PC＝2PA．
∵PC2＝PA2+AC2，
∴PA＝2，PC＝4．
同理，可求出CD＝43，AD＝6，
∴PD＝AD﹣PA＝4．
【点评】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
21．（12分）如图，点D，C分别在AB，AE上，BC交DE于点F，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2．
（1）求证：△BDF∽△ECF；
（2）求DF的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）4．
【分析】（1）根据等角的补角相等，由∠ADE＝∠ACB得到∠BDF＝∠ECF，加上对顶角相等得到∠BFD＝∠EFC，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
（2）由于△BDF∽△ECF，则利用相似三角形的性质得到DF：CF＝BD：CE，从而根据比例的性质可求出DF的长．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠BDF＝∠ECF，
∵∠BFD＝∠EFC，
∴△BDF∽△ECF；
（2）解：∵△BDF∽△ECF；
∴DF：CF＝BD：CE，
即DF：2＝8：4，
∴DF＝4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．
22．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点坐标为C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PC的值最小时的点P的坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点；轴对称﹣最短路线问题；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，（3，0）；
（2）P（1，﹣2）．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点B的坐标，即可求解；
（2）作抛物线的对称轴与直线BC交于点P，则交点P就是所求的点，求出直线BC的解析式，即可求解．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线 y＝x2+bx+c可得方程组1−b+c=0c=−3，
解得：b=−2c=−3，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3；
∴另一个交点B的坐标为（3，0）；
（2）如图，作抛物线的对称轴与直线BC交于点P，则交点P就是所求的点．
设直线BC的解析式为y＝kx+m（k≠0），
把B（3，0），C（0，﹣3）代入得：
3k+m=0m=−3，解得：k=1m=−3，
∴直线BC的函数式为y＝x﹣3，
∵抛物线对称轴为直线x=−−22=1，
当x＝1时，y＝﹣2，
即点P（1，﹣2）．
【点评】本题考查了求抛物线与x轴的交点坐标，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，掌握以上知识是解题的关键．
23．（14分）学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课．
【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点C把线段AB分成AC和BC两部分，如果ACAB=BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点，ACAB=5−12叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，△ABC都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形ABCD是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）．
【知识探究】直角三角形中的黄金分割
活动一：如图5，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．以AD为边，作平行四边形ADEF，使得点E，F分别落在边BC，AC上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
活动二：在活动一的条件下，若DE＝EF，求证：点F是线段AC的黄金分割点．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】活动一：作图见解析过程；
活动二：证明见解析过程．
【分析】活动一：作∠BDE＝∠A，AF＝DE，如图，四边形ADEF是所求作的平行四边形；
活动二：利用平行线分线段成比例定理，得到CFAF=CEBE和CEBE=ADBD，推出CFAF=ADBD，再证明△ACD≌△DBE，据此求解即可得到，点F是线段AC的黄金分割点．
【解答】活动一：解：如图所示，四边形ADEF是所求作的平行四边形．
活动二：证明：∵在▱ADEF中，DE＝EF，
∴▱ADEF是菱形，
∴AD＝AF＝DE，EF∥AB，DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠DEB＝∠ACB＝90°，
CFAF=CEBE，CEBE=ADBD，
∴CFAF=ADBD，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠DEB＝90°，
∴△ACD≌△DBE（ASA），
∴AC＝BD．
∴CFAF=AFAC，
∴点F是线段AC的黄金分割点．
【点评】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，利用相似三角形得线段比例关系是解题的关键．