广东省深圳市龙岗区2023_2024学年高三数学上学期1月期末考试

这是一份广东省深圳市龙岗区2023_2024学年高三数学上学期1月期末考试，共11页。试卷主要包含了考试结束，请将答题卡交回，已知函数是偶函数，则的值是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区。请保持条形码整洁、不污损。
3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效。答题卡必须保持清洁，不能折叠。
4．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内。
5．考试结束，请将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
2．已知复数，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．已知数列为等差数列，为其前项和，，则
A．B．C．D．
4．已知，且，则的值为
A．B．C．D．
5．已知，则
A．B．2C．D．
6．过圆上一点A作圆的切线，切点为B，则的最小值为
A．2B．C．D．
7．已知函数是偶函数，则的值是
A．1B．C．2D．
8．已知矩形ABCD中，，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．关于二项式的展开式，下列结论正确的是
A．展开式所有项的系数和为B．展开式二项式系数和为
C．展开式中第5项为D．展开式中不含常数项
10．已知，是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是
A．B．
C．D．在上的投影向量为
11．下列说法中正确的是
A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是
C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32
12．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为P，过点F的直线与抛物线交于点M，N，过点P的直线与抛物线交于点A，B，则
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的最小正周期为．
14．有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有种不同的选法．
15．已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，，则的离心率为．
16．已知函数（且），若函数恰有一个零点，则实数的取值范围为．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求的面积．
18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面，，.
（1）求证：AB⟂平面PBC；
（2）若是的中点，求与平面所成角的余弦值.
19．（本小题满分12分）
已知数列满足，且对任意正整数，都有
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．当时，的面积为5．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与轴交于点，且，，求证：为定值．
21．（本小题满分12分）
某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．为监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．
（1）假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求，并说明上述监控生产过程规定的合理性；
（2）该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由．
参考数据：．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，且．证明：．高三数学参考答案及评分标准
一、单项选择题
二、多项选择题
三、填空题
四、解答题
17．（1）法一：因为，所以，
整理得，
所以，
又因为，所以；
法二：因，所以，由正弦定理得
，
整理得，
因为，所以，
又因为，
所以；
（2）由余弦定理得，，，
所以，
所以，或（舍），
所以的面积.
18．（1）因为平面，平面，所以，
又，，所以，在中，因为，所以，所以，因为平面，平面，所以，又因为平面，所以平面；
（2）（方法一）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，所以，设与平面所成角为，
则，，∴，
即与平面所成角的余弦值为．
（2）（方法二）过点作，垂足为，连接，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，
则为与平面所成角的平面角，在中，，
在中，，∴在中，，故，
即与平面所成角的余弦值为.
19．（1）由对任意整数均有，取，得，
当时，，
当时，，符合上式，所以.
（2）当为偶数时，
，
当为奇数时，若，则，
若，则，
且当时，满足.
综上所述：
20．（1）当时，，，
可得，
由双曲线的定义可知，，
两边同时平方可得，，
所以①
又双曲线的离心率为，所以②
由①②可得，，，所以，
所以双曲线的标准方程为．
（2）当直线与轴垂直时，点与原点重合，
此时，，，所以，，．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，
由题意知且，
将直线的方程与双曲线方程联立，消去得，，
则，，．
易知点的坐标为，
则由，可得，
所以，
同理可得．
所以．
综上，为定值．
21．（1）由题可知，单件产品为次品的概率为0.02，所以，
所以，，
所以，
由可知，如果生产状态正常，一天内抽取的10个零件中，至少出现2个次品的概率约为0.014，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的.
（2）若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，7000，
则，，
所以，
若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，8000，
则，，
所以，
所以，
则当时，，应先检测乙部件；
当时，，先检测甲部件或乙部件均可；
当时，，应先检测甲部件.
22．（1）的定义域为，，
当时，在上恒大于0，所以在上单调递增，
当时，由，可得，
当时，，当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题可得，
两式相减可得，
要证，即证，
即证，即证，
令，则，即证，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，故原命题成立．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
D
D
B
D
A
题号
9
10
11
12
答案
BCD
ACD
AB
ACD
题号
13
14
15
16
答案
或