人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量在立体几何中的应用课时练习

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量在立体几何中的应用课时练习，共77页。试卷主要包含了平面的法向量，平面法向量的性质，其中正确的个数为等内容，欢迎下载使用。

知识点01 平面的法向量
1.平面的法线
与平面垂直的直线叫作平面的法线。
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向来刻画平面的“方向”。
2.平面的法向量：如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫作平面α的法向量.
注意：
平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.
（2）一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.
3.平面法向量的性质
（1）如果直线垂直于平面α，则直线l的任意一个方向都是平面α的一个法向量.
（2）如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行
（3）如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量AB一定与向量n垂直，即 AB∙n=0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定.
【即学即练1】（22-23高二上·山东济宁·阶段练习）已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】（23-24高二上·吉林延边·期末）已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（ ）.
A．1B．2C．3D．4
知识点02 直线与平面的位置关系
如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量
（1）n//v⟺l⊥α
（2）n⊥v⟺l//α，或l⊂α
【即学即练3】（23-24高二下·甘肃·期中）已知平面α外的直线l的方向向量为v =(1,0,2)，平面α的一个法向量为n =(6,1,−3)，则（ ）
A．l与α斜交B．l⊥αC．l//αD．v //n
【即学即练4】（23-24高二上·山东济南·阶段练习）直线l的方向向量a =(1,2,3)，平面α的一个法向量n=(k−1,k,k+1)，若l⊥α，则k=（ ）
A．B．1C．2D．3
知识点03 平面与平面的位置关系
如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量：
（1）n1⊥n2⟺α1⊥α2；
（2）n1//n2⟺α1//α2,或α1与α2重合
【即学即练5】（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知平面α,β的法向量分别为a=1，−1,2,n=（5，−1,−3），则这两个平面的位置关系为（ ）
A．平行B．相交但不垂直C．相交垂直D．不能确定
【即学即练6】（2024高三·全国·专题练习）已知平面α内有两点M(1，－1，2)，N(a，3，3)，平面α的一个法向量为n(6，－3，6)，则实数a .
难点：空间中的动点问题
示例1：（23-24高二上·重庆·期中）如图，设ABCD−A1B1C1D1为正方体，动点P在对角线BD1上，记D1PD1B=λ．

(1)证明：AP⊥B1C；
(2)当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．
【题型1：直线的方向向量】
例1．（23-24高二上·山西·阶段练习）已知直线l的一个方向向量m=3,−2,1，且直线l经过Aa,2,−1和B−2,3,b两点，则a+b=（ ）
变式1．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，E，F，G分别为AB，CD1,AD的中点，则异面直线A1G与EF所成角为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．π2
变式2．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点A2,3,2,B−1,0,−1，下列向量中是该直线的方向向量的为（ ）
A．a=−1,1,1B．a=1,−1,1C．a=1,1,−1D．a=1,1,1
变式3．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是m=1,−2,3，n=2,1,0，这两条异面直线所成的角为（ ）
A．π2B．π3C．π4D．π6
变式4．（23-24高二上·湖北孝感·期末）如图，在空间直角坐标系D−xyz中，正四棱柱ABCD−A'B'C'D'的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱AD、AB、C'D'的中点.若平面OEF与平面OBG的交线为l，则l的方向向量可以是（ ）

A．2,1,−1B．2,−1,1C．2,1,−2D．2,−1,2
变式5．（2024高二上·全国·专题练习）若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,−2),b=(−2,3,2)，则（ ）
A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1,l2相交但不垂直D．不能确定
变式6．（多选）（23-24高二上·广东江门·期末）如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，M是EG和FH的交点，O为空间中任意一点，则（ ）
A．E，F，G，H四点共面
B．EG⋅FH=0
C．EH为直线BD的方向向量
D．OM=12OA+OB+OC+OD
变式7．（多选）（23-24高二上·河南焦作·期中）已知空间直角坐标系O−xyz中，点A1,0,1,B−1,−1,2,C0,1,2，则下列结论正确的是（ ）
A．直线AB的一个方向向量的坐标为2,1,−1
B．直线AC与平面xOy的交点坐标为2,1,0
C．点B关于平面yOz的对称点为B'1,−1,2.
D．∠BAC为钝角
【方法技巧与总结】
空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：
①是非零向量；
②向量所在的直线与l平行或重合.
【题型2：异面直线所成角】
例2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形ABCD，∠DAB=π3，将△DAC沿对角线AC折起，使以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A．35B．32C．34D．34
变式1．（23-24高二上·广东中山·期中）如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点，E，F分别为母线BC、AC的中点，则异面直线BF和DE所成角的大小为（ ）
A．π4B．π3C．π2D．2π3
变式2．（2024·全国·模拟预测）在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=AA1=1，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为（ ）
A．14B．24C．23D．34
变式3．（2024·全国·模拟预测）如图，已知O是圆柱下底面圆的圆心，AA1为圆柱的一条母线，B为圆柱下底面圆周上一点，OA=1，∠AOB=2π3，△AA1B为等腰直角三角形，则异面直线A1O与AB所成角的余弦值为（ ）

A．36B．24C．34D．23
变式4．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC进行翻折，点E，F满足AD=3AE，CB=3CF，O是原正方形ABCD的中心，当∠EOF=2π3，直线AD与BC所成角的余弦值为（ ）

A．12B．13C．14D．15
变式5．（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O.点A，B，M是底面圆周上三个不同的点，且OA⊥OB.已知OA=OP=1，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥P−ABM体积的最大值为2+26
B．当PM⊥OA时，直线PM与OB所成角为45°
C．存在点M，使得直线PM与AB所成角为30°
D．当直线PM与OB成80°角时，PM与OA所成角为80°
变式6．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）正四面体P−ABC的棱长为23，点M为平面ABC内的动点，且满足PM=3，则直线PM与直线AB的所成角的余弦值的取值范围为 .
变式7．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知正四面体ABCD，点M为棱CD的中点，则异面直线AM与BC所成角的余弦值为 .
变式8．（23-24高三上·四川成都·期末）在棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AA1=3，|BD|=4，AB1⋅BC−AD1⋅DC=5，设异面直线AA1与BD的夹角为θ，则csθ= .
【方法技巧与总结】
求异面直线所成角的方法
1.基向量法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基向量的方法，在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则AB与CD可分别作为a与b的方向向量，则cs θ=|AB∙CD||AB||CD|，根据条件可以把AB与CD用基表示，再进行计算.
2.坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线
角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．
【题型3：平面法向量的概念】
例3．（23-24高二下·江苏盐城·期中）ν→为直线l的方向向量，n1和n2分别为平面α与β的法向量（α与β不重合，l⊄α），下列说法：①n1∥n2⇔α∥β；②n1⊥n2⇔α⊥β；③ν→∥n1⃗⇔l∥α；④ν→⊥n1⃗⇔l∥α．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式1.（23-24高二上·全国·期中）已知v为直线l的方向向量，n1和n2分别为平面α与β的法向量(α与β不重合），那么下列说法中：
①n1//n2⇔α//β；
②n1⊥n2⇔α⊥β；
③v//n1⇔l//α；
④v⊥n1⇔l//α．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式2．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知平面α⊥平面β,α,β的法向量分别为n1=1,2,3,n2=0,x,2，则实数x=（ ）
A．3B．-3C．2D．-2
变式3．（22-23高二上·全国·阶段练习）设直线l的方向向量v=x,1,2，平面α的法向量n=−1,1,2，若l⊥α，则x=（ ）
A．−1B．0C．5D．4
变式4．（23-24高二上·广东梅州·期末）空间直角坐标系中，已知点P0,3,−1，向量u=2,−1,1，则过点P且以u为法向量的平面方程为（ ）
A．2x−y+z=−4B．x+2y−z=7
C．x−y+2z=−5D．−x+2y+z=5
变式5．（23-24高二上·云南昆明·期末）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点A−3,4的直线l的一个法向量为1,−2，则直线l的点法式方程为：1×x+3+−2×y−4=0，化简得x−2y+11=0.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点M1,2,3的平面的一个法向量为m=1,−4,2，则该平面的方程为（ ）
A．x−4y+2z+1=0B．x−4y−2z+1=0
C．x+4y−2z+1=0D．x+4y−2z−1=0
变式6．（多选）（22-23高二下·福建漳州·期中）设α，β是不重合的两个平面，m,n分别为平面α，β的法向量，a为直线l的方向向量，则下列结论错误的是（ ）
A．a//m⇒ l//αB．a⊥m⇒l//α
C．m//n⇒ α//βD．m⊥n ⇒ α//β
变式7．（多选）（2024高二上·全国·专题练习）给出下列命题，其中是真命题的为（ ）
A．若直线l的方向向量a=(1,−1,2)，直线m的方向向量b=(2,1,−12)，则l与m垂直
B．若直线l的方向向量a=(0,1,−1)，平面α的法向量n=(1,−1,−1)，则l⊥α
C．若平面α,β的法向量分别为n1=0,1,3,n2=1,0,2，则α⊥β
D．若平面α经过三点A(1,0,−1),B(0,1,0),C(−1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，则u+t=1
【方法技巧与总结】
平面的法向量的定义及应用
1.平面的法向量不唯一，并且垂直于平面α的所有共面向量.
2.直线与平面垂直的判定，必须证直线与平面内的两条相交直线垂直，至于两直线与已知直线是否有公共点，并不重要.
【题型4：平面法向量的求解】
例4．（22-23高二上·湖北荆州·期末）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，DA,DC,DD1为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面AB1C的一个法向量是（ ）
A．1,1,1B．−1,1,1C．1,−1,1D．1,1,−1
变式1．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为棱DD1的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）.则平面ABE的一个法向量为（ ）

A．1,0,−2B．0,1,2
C．0,2,−4D．−2,1,4
变式2．（多选）（22-23高二上·广东惠州·期末）已知空间中AB=2,1,0，AC=−1,2,1，则下列结论正确的有（ ）
A．AB⊥ACB．与AB共线的单位向量是(1,1,0)
C．BC=11D．平面ABC的一个法向量是(1,−2,5)
变式3．（多选）（23-24高二上·四川眉山·期中）已知空间中三点A0,1,0、B2,2,0、C−1,3,1，则下列结论正确的有（ ）
A．AB与AC是共线向量B．AB的单位向量是255,−55,0
C．AB与BC夹角的余弦值是−5511D．平面ABC的一个法向量是1,−2,5
变式4．（多选）（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在圆台OO'中，AB,A'B'分别为圆O,O'的直径，AB//A'B',AB=3A'B'=12，圆台OO'的高为2,C为内侧A'B'上更靠近B'的三等分点，以O为坐标原点，下底面垂直于AB的直线为x轴，OB,OO'所在的直线分别为y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）

A．O'的坐标为0,0,2B．C的坐标为−3,1,2
C．AC=−3,6,2D．平面ABC的一个法向量为2,1,3
变式5．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）在△ABC中，A1,−2,−1,B0,−3,1,C2,−2,1．向量n为平面ABC的一个法向量，则n的坐标为 ．
变式6．（2024高三·全国·专题练习）已知向量a、b是平面α内的两个不共线的向量，a=(1,0,0)，b=(2,1,−2)，求平面α的一个法向量n的坐标．
变式7．（23-24高二上·新疆·阶段练习）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.以D为原点，以13DA,14DC,12DD1为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系O−xyz，求平面ABD1的法向量.
【方法技巧与总结】
求平面法向量的步骤
1.设出平面的法向量为n=（x，y，z）.
2.找出（求出）平面中两个不共线的向量的坐标a=（a1， a2， a3）， b=（b1， b2， b3）.
3.根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组na=0nb=0
4.解方程组，取其中的一个解作为法向量（由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量）
【题型5：利用法向量研究平行与垂直问题】
例5．（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1D∩AD1=E,CD1∩C1D=F，则下列结论中正确的是（ ）
A．BB1//平面ACD1B．平面BDC1⊥平面ACD1
C．EF⊥平面BDD1B1D．平面ABB1A1内存在与EF平行的直线
变式1．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，DM=λDA1(0