安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测数学试题

这是一份安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设，若为实数，则（ ）
A．-2B．C．D．2
3．记Sn为等差数列的前n项和.若，则（ ）
A．9B．18C．27D．36
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．2π3
6．已知，则（ ）
A．B．C．3D．
7．已知P为圆上的动点(不在坐标轴上)，过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在正方体中，P是棱上的动点(不含端点)，下列说法中正确的有（ ）
A．平面B．
C．四面体的体积为定值D．存在点P，使得平面平面
10．某同学两次实验得到的数据如下表.实验一所得的样本相关系数为，Y关于x的经验回归方程为；实验二所得的样本相关系数为，u关于v的经验回归方程为，下列结论中正确的是（ ）
实验一
实验二
参考公式：样本相关系数，.
A．B．C．D．
11．我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（ ）
A．曲线关于直线对称
B．曲线有4个顶点
C．曲线与直线有4个交点
D．曲线上动点到原点距离的最小值为
三、填空题
12．在的展开式中，的系数为 (用数字作答
13．袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球(不再放回)，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为 .
14．已知抛物线的焦点为F，准线为过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，若，则的面积是面积的 倍.
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
(1)证明：；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
16．如图，在正三棱台中，，

(1)若，证明：平面；
(2)若三棱台的高为，求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知函数，其中
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，，证明：
18．已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧
(1)求曲线T的方程；
(2)若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点(点在y轴左侧，点在y轴右侧
（ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：；
（ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值.
19．正整数的划分在置换群及其表示理论研究中有着重要应用.设k，n为正整数.若正整数序列满足，且，，则称为n的一个k部划分.记为n的所有k部划分的个数.
(1)计算：，；
(2)证明：；
(3)证明：
x
2
3
4
5
6
y
12
10
9
7
4
v
4
6
8
10
12
u
8
10
11
13
16
《安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测数学试题》参考答案
1．C
【分析】先确定集合B，再利用交集运算求解.
【详解】，，
故选：C
2．A
【分析】先计算化简，结合为实数求解.
【详解】因为 为实数，
可得
故选：A.
3．C
【分析】利用等差数列的前n项和公式，等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】
，
故选：C
4．A
【分析】结合函数的奇偶性和单调性,利用排除法求解.
【详解】解：由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
因为，所以函数为奇函数，排除C项；
设，显然该函数单调递增，故当x>0时，，
则当时，，故，
当时，，故，
当时，，故故排除D项；
当时，，故故排除B项，
故选：A.
5．D
【分析】利用向量的数量积公式计算得到，从而得到与的夹角.
【详解】 ，
，且，，，
， ，
，
，且 ，
，即与的夹角为
故选:
6．B
【分析】先利用二倍角公式化简，再代入正切值求解
【详解】因为，
所以
故选：
7．C
【分析】先确定几何体，并表示体积公式，结合导数求解.
【详解】设，不妨设，
则过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周，
所得几何体为同底等高的一个圆柱体与圆锥的组合体，底面半径为，高为，
则所得几何体的体积为，
令，，
由，可得，
由，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在时取得最大值，
即时，取得最大值，此时，
所以线段的长度为
故选：C
8．B
【分析】根据与0的大小关系分两种情况讨论，结合导数求解即可.
【详解】分以下两种情况讨论：
①当时，或，
，
则，
（i）当时，，单调递减，
此时，；
（ii）对于，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以；
由（i）（ii）得：
②当时，或，
则，
，
（i）当时，，单调递增，所以，
（ii）对于，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以；
由（i）（ii）得：
由①②得：
故选：B.
【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
9．AB
【分析】根据线面平行的判定定理可判断A；由线线垂直证线面垂直，再证线线垂直可判断B；根据直线与平面的位置关系可判断C；建系可判断D.
【详解】对于A，因为，平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，因为平面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，因为平面，所以，故B正确；
对于C，因为平面，，
所以与平面相交，即点P到平面的距离h不是定值，
因为，为定值，所以四面体的体积不为定值，故C错误；
对于D，以A为坐标原点，分别以AB，AD，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则A0,0,0，，B1,0,0，，设，
则，，，，
设平面的法向量为m=x,y,z，
由，取x=1，则，，所以，
平面的法向量为n=a,b,c，
由，取，则，，所以，
若存在点P，使得平面平面，
则，
因为，所以无解，
所以不存在点P，使得平面平面，故D错误.
故选：AB.
10．ABD
【分析】直接根据已知条件及平均数，相关系数等的计算公式求解判断即可.
【详解】解：，，A正确；
，B正确；
，，
，C错误；
，，
，
，
所以，D正确.
故选：
11．AC
【分析】根据新定义曲线的知识对选项进行分析，结合图象来确定正确答案.
【详解】对于A，将交换方程依然成立，所以曲线关于对称，A正确；
对于B，易得曲线有四条对称轴轴，轴，直线，
直线，共有8个顶点，B错误；
对于C，由得，
即，
可得，
对于方程，，
则方程有两不等实根，且方程的根不为0和3，
所以方程有4个不等实根，
从而曲线C与直线有4个交点，C正确；
对于D，由得，
，
当且仅当，即时取等号，
则的最小值为，
曲线C上动点P到原点距离的最小值，D错误；
故选：AC
【点睛】思路点睛：
遇到关于新定义曲线性质的问题，首先要明确新定义的内涵和要求.对于各选项，根据曲线方程的特点，分别从对称性、顶点个数、与直线的交点个数以及动点到定点距离最值等角度出发，运用相应的数学知识和方法进行分析.如判断对称性利用交换坐标法，求交点个数通过联立方程求解，求最值借助均值不等式等，逐步得出结论.
12．
【分析】直接利用二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】在的展开式中，的系数为，
故答案为：
13．
【分析】不妨对三个小球进行标记，记为1，2，3号，分析第一次取出的小球标号，求出相应的概率，即可得解.
【详解】不妨对三个小球进行标记，记为1，2，3号，
若第一次取出的是1号球，两次操作之后袋子里面只剩1号球；
若第一次取出的是2号球，则第二次操作时袋子中有1，2号球，若要让袋子中有2个球，需取2号球才行，其概率为；
若第一次取出的是3号球，则第二次操作时袋子中有1，2，3号球，若让袋子中有2个球，需取2号球才行，其概率为；
综上，袋中剩下2个小球的概率为.
故答案为：
14．
【分析】通过设直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理得到一些关系式，再结合向量关系求出相关量，进而计算三角形面积并求出它们之间的比例关系.
【详解】设直线，
代入抛物线C方程，消元可得，
设，，
则，，，
由，得，，，则，
因为，
，
所以
，
由抛物线定义得，，
则，
得，
所以，
即，
又，
则
故答案为：.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知条件及正弦定理可得，结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式可得，最后结合B，C的范围可证得结论.
（2）由已知条件及（1）可求出，然后利用正弦定理及二倍角公式化简所求式，进而得到结论.
【详解】（1）由正弦定理及，知，
即，
所以，
所以或，
因为B，，所以，即
（2）由（1）知，，又为锐角三角形，
所以，，
故，所以，得，
故
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点作，交BC于点E，进而求出相关边长，可证得，，进而可证得到结论；
（2）以AB的中点O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，过点O且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.取线段中点F，求出平面与平面的法向量，进而可求得结果.
【详解】（1）如图所示，过点作，交BC于点E，
易知四边形为平行四边形.
所以，，所以
又，所以，即故，
同理可得
又直线与相交，且直线与都在平面内，
所以平面

（2）以AB的中点O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，
过点O且垂直于平面ABC的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.取线段中点F，
，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，取，则x=0，，
故
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，
故，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为

17．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性.
（2）由函数有两个极值点，确定a的范围，代入函数值，构造函数，利用函数单调性求解.
【详解】（1）由题意得，函数定义域为0,+∞，且a>0，，
令，
当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减.
当，即时，函数有两个零点：，，
当x变化时，，f′x的变化情况如下表所示：
综上，当时，在内单调递增，
在和上单调递减；
当时，在上单调递减.
（2）由知，当时，有两个极值点，，
则，是方程gx=0的两个根，由韦达定理，得，，
所以，
，
令，，则，
当时，h′x