2024年湖南省益阳市中考数学模拟试题试卷（解析版）

这是一份2024年湖南省益阳市中考数学模拟试题试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）（2021•益阳）﹣2021的相反数等于（ ）
A．2021B．﹣2021C．D．﹣
2．（4分）（2021•益阳）已知a≠0，下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．3a•2a＝6aC．a3÷a2＝aD．（2a）3＝6a3
3．（4分）（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）（2021•益阳）解方程组时，若将①﹣②可得（ ）
A．﹣2y＝﹣1B．﹣2y＝1C．4y＝1D．4y＝﹣1
5．（4分）（2021•益阳）正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象或性质的共有特征之一是（ ）
A．函数值y随x的增大而增大
B．图象在第一、三象限都有分布
C．图象与坐标轴有交点
D．图象经过点（2，1）
6．（4分）（2021•益阳）以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（4分）（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，则∠EAB等于（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
8．（4分）（2021•益阳）如图，在△ABC中，AC＞BC，B为圆心，以大于，两弧交于D，E，经过D，AC于点M，N，连接BN（ ）
A．AN＝NCB．AN＝BNC．MN＝BCD．BN平分∠ABC
9．（4分）（2021•益阳）小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不能正常上班（如下雨），如果某月（30天）正常上班的天数占80%（ ）
A．140元B．160元C．176元D．182元
10．（4分）（2021•益阳）如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．（4分）（2021•益阳）若实数a的立方等于27，则a＝ ．
12．（4分）（2021•益阳）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 ．
13．（4分）（2021•益阳）已知x满足不等式组，写出一个符合条件的x的值 ．
14．（4分）（2021•益阳）小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，则他选到锄头的概率是 ．
15．（4分）（2021•益阳）已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
由此判断，表中a＝ ．
16．（4分）（2021•益阳）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，则∠AOD＝ 度．
17．（4分）（2021•益阳）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形 （限填序号）．
18．（4分）（2021•益阳）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 ．
三、解答题（本题共8个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（2021•益阳）先化简，再求值：，其中a＝2．
20．（8分）（2021•益阳）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，求AC的长．
21．（8分）（2021•益阳）如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）确定该反比例函数的表达式．
22．（10分）（2021•益阳）为了促进全民健身活动的开展，某镇准备兴建一座休闲公园．为了解群众的运动需求，对周边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查（每人限填一项）（综合类含舞蹈、太极拳等其他项目）．
（1）本次被调查的居民人数是多少？
（2）补全条形统计图；
（3）若该休闲公园辐射周边居民约1万人，爱好运动者占80%，请由此估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数．
23．（10分）（2021•益阳）“2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学模拟试题的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，塔顶D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米（精确到1米）．
（参考数据：sin13°≈0.22，cs13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cs38°≈0.79，tan38°≈0.78）
24．（10分）（2021•益阳）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）﹣益（阳）（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的．
（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天），那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
25．（12分）（2021•益阳）如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，BC的延长线交于点G．
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE•EG．
26．（12分）（2021•益阳）已知函数y＝的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上．
（1）若点B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足x2＜x1．
①当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；
②若|x2|＝|x1|，设w＝y1﹣y2，求w的最小值；
（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，求出这个定点的坐标；若不是
2021年湖南省益阳市中考数学模拟试题试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）（2021•益阳）﹣2021的相反数等于（ ）
A．2021B．﹣2021C．D．﹣
【解答】解：﹣2021的相反数是2021，
故选：A．
2．（4分）（2021•益阳）已知a≠0，下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．3a•2a＝6aC．a3÷a2＝aD．（2a）3＝6a3
【解答】解：A．3a﹣2a＝a；
B．4a•2a＝6a3，故此选项不合题意；
C．a3÷a2＝a，故此选项符合题意；
D．（5a）3＝8a2，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（4分）（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：＝＝，
故选：D．
4．（4分）（2021•益阳）解方程组时，若将①﹣②可得（ ）
A．﹣2y＝﹣1B．﹣2y＝1C．4y＝1D．4y＝﹣1
【解答】解：，
①﹣②，得7y＝﹣1，
故选：D．
5．（4分）（2021•益阳）正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象或性质的共有特征之一是（ ）
A．函数值y随x的增大而增大
B．图象在第一、三象限都有分布
C．图象与坐标轴有交点
D．图象经过点（2，1）
【解答】解：∵对于正比例函数y＝2x，2＞5，
对于反比例函数y＝，2＞3，
∴A选项不符合题意；
∵对于正比例函数y＝2x，2＞4、三象限，
对于反比例函数y＝，2＞8、三象限，
∴B选项符合题意；
∵对于正比例函数y＝2x，它的图象经过原点，
对于反比例函数y＝，它的图象与坐标轴没有交点，
∴C选项不符合题意；
∵当x＝3，y＝2×2＝7≠1
∴正比例函数y＝2x的图象不经过点（8，1）．
∵当x＝2时，y＝，
∴反比例函数y＝的图象经过（2，
∴D选项不符合题意．
综上，正确选项为：B．
故选：B．
6．（4分）（2021•益阳）以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．不是中心对称图形；
B．是中心对称图形；
C．是中心对称图形；
D．是中心对称图形．
故选：A．
7．（4分）（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，则∠EAB等于（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠ECA＝∠EAC＝60°，
∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°．
故选：C．
8．（4分）（2021•益阳）如图，在△ABC中，AC＞BC，B为圆心，以大于，两弧交于D，E，经过D，AC于点M，N，连接BN（ ）
A．AN＝NCB．AN＝BNC．MN＝BCD．BN平分∠ABC
【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，
∴NA＝NB．
故选：B．
9．（4分）（2021•益阳）小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不能正常上班（如下雨），如果某月（30天）正常上班的天数占80%（ ）
A．140元B．160元C．176元D．182元
【解答】解：[200×30×80%+80×30×（1﹣80%）]÷30
＝（4800+480）÷30
＝176（元），
故选：C．
10．（4分）（2021•益阳）如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵▱ABCD的面积为4，x+y是平行四边形面积的一半，
∴x+y＝2，
∴y＝3﹣x，
∴y是x的一次函数，
且当x＝0时，y＝2，y＝7；
故只有选项B符合题意．
故选：B．
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．（4分）（2021•益阳）若实数a的立方等于27，则a＝ 3 ．
【解答】解：∵a3＝27，
∴a＝＝2，
故答案为：3．
12．（4分）（2021•益阳）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 x1＝0，x2＝3 ．
【解答】解：x2﹣3x＝6，
x（x﹣3）＝0，
∴x3＝0，x2＝6．
故答案为：x1＝0，x8＝3．
13．（4分）（2021•益阳）已知x满足不等式组，写出一个符合条件的x的值 0 ．
【解答】解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤8，
又x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤5，
∴符合不等式组的x的值为0或1或3等，
故答案为：0（答案不唯一）．
14．（4分）（2021•益阳）小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，则他选到锄头的概率是 ．
【解答】解：∵小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、镰刀中选用一种劳动工具，
∴他选到锄头的概率是：．
故答案为：．
15．（4分）（2021•益阳）已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
由此判断，表中a＝ 6 ．
【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（5，
∴对称轴为x＝＝1，
∴x＝﹣1时的函数值等于x＝5时的函数值，
∵当x＝3时，y＝6，
∴当x＝﹣7时，a＝6．
故答案为：6．
16．（4分）（2021•益阳）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，则∠AOD＝ 60 度．
【解答】解：∵OE是∠AOC的平分线，OC恰好平分∠EOB，
∴∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，
∴∠AOE＝∠COE＝∠BOC，
∵∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝∠BOC＝60°，
故答案为：60．
17．（4分）（2021•益阳）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形 ① （限填序号）．
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
因此∠ABC＝∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形；
故答案为：①．
18．（4分）（2021•益阳）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 9：4 ．
【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴＝，
∴△ACC′∽△ABB′，
∴＝（）2，
∵∠CAB＝90°，
∴tan∠ABC＝＝，
∴＝（）2＝．
故答案为：9：4．
三、解答题（本题共8个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（2021•益阳）先化简，再求值：，其中a＝2．
【解答】解：原式＝•
＝，
当a＝2时，原式＝．
20．（8分）（2021•益阳）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，求AC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AC＝BD，
又∵∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝2×6＝12，
∴AC＝12．
21．（8分）（2021•益阳）如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）确定该反比例函数的表达式．
【解答】解：（1）∵点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，
∴当y＝8时，2x﹣4＝5，
∴点A的坐标为（2，0）；
（2）将点A（3，0）向上平移2个单位后得点B（2．
设过点B的反比例函数解析式为y＝，
则2＝，解得k＝7，
∴该反比例函数的表达式为y＝．
22．（10分）（2021•益阳）为了促进全民健身活动的开展，某镇准备兴建一座休闲公园．为了解群众的运动需求，对周边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查（每人限填一项）（综合类含舞蹈、太极拳等其他项目）．
（1）本次被调查的居民人数是多少？
（2）补全条形统计图；
（3）若该休闲公园辐射周边居民约1万人，爱好运动者占80%，请由此估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数．
【解答】解：（1）140÷35%＝400（人），
答：本次被调查的居民人数是400人；
（2）偏好球类的人数：400×25%＝100（人），
补全条形统计图如下：
（3）10000×80%×（1﹣35%﹣30%﹣25%）＝800（人），
答：估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数是800人．
23．（10分）（2021•益阳）“2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学模拟试题的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，塔顶D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米（精确到1米）．
（参考数据：sin13°≈0.22，cs13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cs38°≈0.79，tan38°≈0.78）
【解答】解：在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，
∴BC＝AB•sin∠BAC＝AB•sin13°≈50×0.22＝11（米）；
AC＝AB•cs∠BAC＝AB•cs13°≈50×0.97＝48.2（米）；
在Rt△ADC中，tan∠DAC＝，
∴CD＝AC•tan∠DAC＝AC•tan38°≈48.5×0.78＝37.83（米）；
∴BD＝CD﹣BC≈37.83﹣11＝26.83≈27（米），
答：宝塔BD的高约为27米．
24．（10分）（2021•益阳）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）﹣益（阳）（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的．
（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天），那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
【解答】解：（1）设长益段高铁全长为x千米，长益城际铁路全长为y千米，
根据题意，
得：，
解得：，
答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米．
（2）设甲队后期每天施工a千米，
甲原来每天的施工长度为64÷40×＝0.8（千米），
乙每天的施工长度为64÷40×＝0.5（千米），
根据题意，得：0.7×4+0.9×（40﹣8）+（40﹣3﹣5）a≥64，
解得：a≥5.85，
答：甲工程队后期每天至少施工0.85千米，可确保工程提早3天以上（含8天）完成．
25．（12分）（2021•益阳）如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，BC的延长线交于点G．
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE•EG．
【解答】解：（1）EA平分∠DEF，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB
∵∠ABC+∠AEC＝180°，∠AEF+∠AEC＝180°，
∴∠ABC＝∠AEF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴EA平分∠DEF，
（2）①由（1）知：EA平分∠DEF，
∵BD⊥AC，AF⊥CE，
∴AD＝AF，
在Rt△ABD和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACF（HL），
∴BD＝CF，
②由（1）知，∠AEB＝∠AEF，
∵∠ADE＝∠AFE＝90°，AE＝AE，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴DE＝FE，∠AEB＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BEC，
∴∠AEB＝∠CEG，
∴BD2﹣DE2＝（BD+DE）（BD﹣DE）＝BE（CF﹣EF）＝BE•CE，
∵∠BAE+∠BCE＝180°，∠BCE+∠ECG＝180°，
∴∠BAE＝∠ECG，
∴△AEB∽△CEG，
∴，
∴BE•CE＝AE•EG，
∴BD8﹣DE2＝AE•EG，
即BD2＝DE3+AE•EG．
26．（12分）（2021•益阳）已知函数y＝的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上．
（1）若点B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足x2＜x1．
①当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；
②若|x2|＝|x1|，设w＝y1﹣y2，求w的最小值；
（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，求出这个定点的坐标；若不是
【解答】解：（1）①∵y＝，由x2＜x1且y5＝y1＝4时，
由y4＝x12＝6，
∴x1＝2（负值舍），
由y2＝﹣x2＝4，
∴x8＝﹣4，
②∵|x2|＝|x5|且x2＜x1．x8＞0，
∴x2＜8且x1＝﹣x2，
∴y8＝x12，y4＝﹣x2＝x1，
∴w＝y6﹣y2＝x16﹣x1＝（x1﹣）2﹣，
∴当x1＝时，w有最小值为﹣，
（2）如图，设直线AQ'交y轴于点M（0，连接QQ'，
 
∵AQ⊥x轴，
∴AQ∥y轴，
∴∠AP'M＝∠P'AQ，
∵点Q与Q'关于AP'对称，
∴AQ＝AQ'，AP'⊥QQ'，
∴∠P'AQ＝∠P'AQ'，
∴∠AP'M＝∠P'AQ'，
∴AM＝P'M，
∵点A（x1，y3）在第一象限内的函数图象上．
∴x1＞0，y4＝x12＞8，
∴x1＝，
∵AP⊥y轴，
∴P点的坐标为（7，y1），AP＝x1＝，
∵点P与P'关于x轴对称，
∴点P'的坐标为（0，﹣y1），
∴PM＝|y3﹣b|，AM＝P'M＝|y1+b|，
∵在Rt△APM中，由勾股定理得：
（）7+|y1﹣b|2＝|y5+b|2，
化简得：y1﹣8by1＝0，
∵y5＞0，
∴b＝，
∴直线AQ'与y轴交于一定点M，坐标为（0，）．x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…