北京市第五十七中学2023-2024学年高一（1+3）上学期10月月考数学试卷

这是一份北京市第五十七中学2023-2024学年高一（1+3）上学期10月月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10道小题，每道题4分，共40分）
1、如图，点为正五边形的中心，连接，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
2、在平面直角坐标系xOy中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
4、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．南北朝时期的官员独孤信的印信是迄今发现的中国古代唯一一枚楷书印．它的表面均由正方形和等边三角形组成（如图1），可以看成图2所示的几何体．从正面看该几何体得到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．为测楼房BC的高，在距楼房30m的A处，测得楼顶B的仰角为α，那么楼房BC的高为（ ）
（A）30tanα（m） （B） （m） （C）30sinα（m） （D）（m）
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56°B．62°C．68°D．78°
8、公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正边形，使用刘徽割圆术，得到π的近似值为（ ）
A．B．C．D．
9、如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为的中点，DE垂直于AC的延长线于E，连接BC，若DE＝6cm，CE＝2cm，下列结论一定错误的是（ ）
A．DE是⊙O的切线B．直径AB长为20cm
C．弦AC长为16cmD．C为的中点
10、如图，是的一条弦，点C是上一动点，且，点E，F分别是的中点，直线与交于G，H两点，若的半径是8，则的最大值是（ ）
A．10B．12C．14D．16
二、填空题（共8道小题，11-16每题4分，17题6分，18题8分，共38分）
11、已知，的弦与的半径相等，则弦所对的圆周角的度数为 ．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A(3，4)为⊙O上一点，
B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B
的坐标_________.
13. 已知扇形的弧长为2π，半径为8，则此扇形的圆心角为 度．
14、如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ______________ ．
15、如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦上，，，，则这个花坛的半径为 ．

16．如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB，BC都相切．连接OC，则tan∠OCB＝__________．
17、如图，的弦长为2，是的直径，．
①的半径长为 ．
②P是上的动点，则的最小值是 ．
18．阅读理解：
材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…，
发现规律：（为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律，快速计算：．
根据材料，回答问题：
在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整．
（1）具体运算：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
_________________________________________
（2）发现规律：__________________（为正整数）．
（3）应用规律：
①计算：=_____________；
②如果，
那么n＝__________________________ ．

三、解答题（共72分）
19．（4分+4分+6分）
（1）计算：．
（2）
（3）如图，在中，，，，求的长.
20、（14分）
如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于点F，过点F作FG∥AB交AE于点G．
求证：（1）AE＝BE；
（2）AG2＝AF•FC．

21．（14分）
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）延长DE交BA的延长线于点F，若AB＝8，sinB＝，求线段FA的长．

22、（14分）
如图，四边形是正方形，以点为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，.
（1）求的度数；（2）过点作于点，连接，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明.
23．（16分）
在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为.对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”.
（1）如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则 .在点，，，中，矩形的“关联点”是 ；
（2）如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为.若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围；
（3）已知点，.图形是以为圆心，为半径的⊙.若线段上存在点，使点为⊙的“关联点”，求出的取值范围.
图1 图2