2025高考数学二轮复习-微培优3 同构函数问题【课件】

这是一份2025高考数学二轮复习-微培优3 同构函数问题【课件】，共22页。PPT课件主要包含了双变量同构，角度一双变量同构，角度二指对同构等内容，欢迎下载使用。
在某些函数方程、不等式问题中,可以通过等价变形,将方程或不等式变成左右两端结构一致的情形,进而构造函数,运用函数的单调性来解决问题,这种处理问题的方法叫做同构.常见的同构有双变量同构和指对同构,难度较大.
如果同构后不等式两边具有结构的一致性,那么往往暗示了单调性.
2.指对同构(1)应用条件:指对形式同时出现,可能需要利用指对同构来解决问题.(2)变形依据:为了实现不等式两边“结构”相同的目的,需时时对指对式进行“改头换面”,常用的恒等变形的依据是x=eln x(x>0),x=ln ex(x∈R).例如:①xex=ex+ln x;x+ln x=ln(xex).
有时也需要对两边同时加、乘某式等.
(3)常见同构等式:xln x=eln xln x,xex=eln xex;x+ln x=ln x+eln x,x+ex=eln x+ex.(4)常见同构不等式①乘积同构模型:aea1,即f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.综上可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)证明 要证f(x)-ln x≥1,即证xex-x-ln x≥1,即证ex+ln x-(x+ln x)≥1,令t=x+ln x,易知t∈R,待证不等式转化为et-t≥1.设u(t)=et-t,则u'(t)=et-1,当t0,故u(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.所以u(t)≥u(0)=1,原命题得证.
4.(2024·河南平顶山模拟)已知函数f(x)=x+2+aln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设a>0,若对任意x1,x2∈(0,1],且x1≠x2,都有|f(x1)-f(x2)|< ,求实数a的取值范围.
解 (1)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=当a≥0时,f'(x)>0恒成立,此时,函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a