安徽省宣城市2023-2024学年高一（上）1月期末数学试卷（解析版）

这是一份安徽省宣城市2023-2024学年高一（上）1月期末数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 集合，，则＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】集合，，
则，.
故选：B.
2. 设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，
对比选项可知不等式成立的一个充分不必要条件是.
故选：D.
3. 若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意命题“，使”是真命题，所以，
当且仅当，有，所以实数m的取值范围是.
故选：C.
4. 已知，且，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A：若满足，则不满足，故A错误；
对于B：若满足，则不满足，故B错误；
对于C：若满足，则不满足，故C错误；
对于D：令，易知函数在R上增函数，
因为，所以，则，故D正确.
故选：D.
5. 已知函数满足，且，则（ ）
A. 0B. 1C. 5D.
【答案】C
【解析】由题意在中令，则，
解得，
令，则，则，
所以.
故选：C.
6. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
，所以.
故选：A.
7. 已知，且，，则的最小值是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】由得，
于是，
又，，所以，
因此，
当且仅当，即时，等号成立，故.
故选：B.
8. 已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】二次函数的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又已知在上单调递减，
所以，可得
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，由对称性可知，
所以当时，取得最大值，即最大值为，
在当时取得最小值，即最小值为，
要使对任意的，都有，
只要成立即可，
所以，解得，
又，所以的取值范围，即.
故选：A.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若，则的可能取值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】AC
【解析】当时，；
当时，.
所以的值为.
故选：AC.
10. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：BD.
11. 对任意的，函数的值域是．则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值是12D. 的最小值是
【答案】ABC
【解析】因为函数的值域是，所以，且，
即，所以，故AB正确；
由，得，则，
当且仅当，即时，取等号，所以的最小值是12，故C正确；
由，得，
则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，
故D错误.
故选：ABC.
12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的结论中正确的是（ ）
A. 在上是单调递增函数B. 是奇函数
C. 是周期函数D. 的值域是
【答案】ACD
【解析】因为使得，
所以此时，，
所以，
所以是周期为1的周期函数，故C正确；
对于D，我们只需考虑在上的值域即可，此时，故D正确；
对于A，因为在上单调递增，而是周期为1的周期函数，
所以在上是单调递增函数，故A正确；
对于B，因为是周期为1的周期函数，所以，
即不是奇函数，故B错误.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若幂函数，且在上是增函数，则实数______．
【答案】2
【解析】由幂函数的解析式可得，即，
解得或，
当时，在上是减函数，不符合题意；
当时，在上是增函数，符合题意.
综上可知，.
14. 已知角满足，则__________________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得
．
15. 已知实数x满足不等式，则函数最大值是______．
【答案】
【解析】由，解得，
，
当时，取得最大值.
16. 已知函数，若存在四个不同的实数，，，满足，且，则______．
【答案】
【解析】作出函数的图象如图，
当时，对称轴为 所以，
当时，，令，解得，
所以时对称轴为，此时，
设，
若存在四个不同的实数，，，满足，
则，
由图可知，关于直线对称，，关于直线对称，
所以，，则．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数m的取值范围．
解：（1）当时，集合，，
故．
（2）当时，，即，满足，故满足题意；
当时，，即时，，
解得，于是得，所以，
故实数m的取值范围是．
18. 已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）解关于x的不等式．
解：（1）证明：由题意，解得，所以函数的定义域为．
因对任意都有，，
所以是奇函数.
（2）原不等式可化为，
又函数在内单调递增，
所以，解得或，
所以原不等式的解集为．
19. 已知函数（，，）的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式和单调递增区间；
（2）若，，求的值．
解：（1）由图象得：，，所以，，
所以，又由，，
可得，所以．
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为．
（2）由，因为，可得，
所以，则
.
20. 某乡镇为实施“乡村振兴”战略，充分利用当地自然资源，大力发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小镇”．经调研发现：某种水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下函数关系：，肥料成本投入为4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工费）为6x元，已知该水果的售价为10元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？单株利润最大值是多少元？
解：（1）.
（2），
当时，；
当时，，
当且仅当，即时等号成立．
由得当时，．
所以当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元．
21. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；
（2）若函数在上有2个零点，求实数a的取值范围．
解：（1）
.
故最小正周期.
由，，得函数对称轴方程为，．
（2），
令，得．
要使在上有2个零点，
则函数与函数图像在上有2个交点，
因为，所以．
作出在的图像，
得或，解得或，
即a的取值范围为.
22. 已知函数，．
（1）当时，求函数的值域；
（2）设函数，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围．
解：（1）当时，，，
令，因为，则，
所以，其中，
则时，，时，，即，
所以的值域为.
（2）由，，
设，则函数在上单调递减，
在上单调递增，
而函数增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
因为对任意，存在，使得，则，
所以，在上恒成立，
令，因为，则，即在上恒成立，
则在上恒成立，因为函数在上单调递增，
故，所以，即．