山东省潍坊市2024-2025学年高二上学期期中数学检测试卷（含解析）

这是一份山东省潍坊市2024-2025学年高二上学期期中数学检测试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）直线l过点、B（﹣1，0），则l的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（5分）与向量＝（1，3，﹣2）平行的一个向量的坐标是（ ）
A．（，1，1）B．（﹣，﹣，1）
C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）
3．（5分）已知直线 l1：ax+y+6＝0和 l2：3x+（a+2）y+2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝（ ）
A．1B．1或﹣3C．﹣3D．3或﹣1
4．（5分）已知P（1，2）是直线l上一点，且＝（3，4）是直线l的一个法向量，则l的方程为（ ）
A．3x+4y﹣11＝0B．4x﹣3y+2＝0
C．3x+4y+5＝0D．4x+3y﹣10＝0
5．（5分）直线ax+（a﹣1）y+a＝0（a∈R）与圆x2+y2＝4的位置关系是（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．与a的取值有关
6．（5分）A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足•＝0，•＝0，•＝0，M为BC的中点，则△AMD是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．不确定
7．（5分）已知F1，F2分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2，，直线AC与平面SBC所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则（ ）
A．|PF1|+|PF2|＝8
B．|PF1|的最大值为9
C．△PF1F2的面积的最大值为12
D．存在点P，使得PF1⊥PF2
（多选）10．（6分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，下列结论中正确的是（ ）
A．AC⊥BD
B．AB＝AC
C．AB与平面BCD所成的角为60°
D．AB与CD所成的角为60°
（多选）11．（6分）已知圆和圆，点Q是圆C2上的动点，则（ ）
A．与圆C1、圆C2都相切的直线有四条
B．若圆C2上到直线x+y+m＝0的距离为的点有4个，则m的取值范围是﹣7≤m≤﹣5
C．过点Q作圆C1的两条切线，切点分别为M和N，则
D．已知，，若点B为圆C1上一动点，则的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上投影的数量为
13．（5分）已知圆心在直线2x﹣7y+8＝0上，且A（6，0），B（1，5）都是圆上的点，则圆的标准方程为 ．
14．（5分）已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为6．若该圆台内部有一个球，则球的半径的最大值为 ；若该圆台内部有一个正方体ABCD﹣A1B1C1D1，且底面ABCD在圆台的下底面内，当正方体的棱长最大时，以A为球心，半径为2的球与正方体表面交线的长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知A（1，2，1），B（﹣1，3，4），C（1，1，1）．
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若，求的模．
16．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AA1＝3，AC⊥BC，AC＝BC，D，E分别是AB，A1B1的中点．
（1）证明：平面A1DC∥平面BEC1；
（2）求二面角B﹣EC1﹣B1的余弦值．
17．（15分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，0），B（4，0），满足条件的点P的轨迹为C．
（1）求C的轨迹方程；
（2）点M为直线l：3x+4y+25＝0上的动点，过M作C的两条切线，切点分别为E，F，当四边形OEMF的面积最小时，求直线EF的方程．
18．（17分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，，，M为AD的中点，设平面ECD与平面EBM的交线为l．
（1）证明：l∥平面ABCD；
（2）证明：平面ADEF⊥平面ABCD；
（3）设H为l上的动点，当BH与平面BFM所成角的正弦值最大时，求BH的长．
19．（17分）球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形（特别是三角形）的角、边、面积等问题，其在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧，，所组成的图形称为球面△ABC，记其面积为S球面△ABC．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A和A′；若球面上A，B，C的对径点分别为A′，B′，C′，则球面△A'B'C'与球面△ABC全等．如图2，已知球O的半径为R，圆弧和所在平面交成的锐二面角B﹣AO﹣C的大小为α，圆弧和所在平面、圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小分别为β，γ．记S（α）＝S球面△ABC+S球面△A'BC+S球面△AB'C′+S球面△A'B'C′．
（1）请写出，的值，并猜测函数S（α）的表达式；
（2）（i）当时，球面△ABC的面积为 （只写结果）．
（ii）用α，β，γ，R表示S球面△ABC；
（3）若将图一中四面体OABC截出得到图二，若平面三角形ABC为直角三角形，AC⊥BC，设∠AOC＝θ1，∠BOC＝θ2，∠AOB＝θ3，求证：csθ1+csθ2﹣csθ3＝1．
答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
1．（5分）直线l过点、B（﹣1，0），则l的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【正确答案】D
【分析】首先求得直线的斜率，再得出倾斜角．
解：设直线倾斜角为α，则0°≤α≤180°，
由、B（﹣1，0），
可得，
即，所以α＝150°．
故选：D．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．
2．（5分）与向量＝（1，3，﹣2）平行的一个向量的坐标是（ ）
A．（，1，1）B．（﹣，﹣，1）
C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）
【正确答案】B
【分析】利用向量共线定理、坐标运算即可得出．
解：对于B：＝﹣（1，3，﹣2）＝﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了向量共线定理、坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）已知直线 l1：ax+y+6＝0和 l2：3x+（a+2）y+2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝（ ）
A．1B．1或﹣3C．﹣3D．3或﹣1
【正确答案】A
【分析】由a（a+2）﹣3＝0，解得a，排除重合的情况即可得出．
解：由a（a+2）﹣3＝0，解得a＝1，﹣3．
经过验证a＝﹣3时两条直线重合，舍去．
∴a＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）已知P（1，2）是直线l上一点，且＝（3，4）是直线l的一个法向量，则l的方程为（ ）
A．3x+4y﹣11＝0B．4x﹣3y+2＝0
C．3x+4y+5＝0D．4x+3y﹣10＝0
【正确答案】A
【分析】结合法向量的定义，以及向量垂直的性质，即可求解．
解：设直线l上另一点为M（x，y），
则，
＝（3，4）是直线l的一个法向量，
则，即3（x﹣1）+4（y﹣2）＝0，即3x+4y﹣11＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
5．（5分）直线ax+（a﹣1）y+a＝0（a∈R）与圆x2+y2＝4的位置关系是（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．与a的取值有关
【正确答案】A
【分析】求出圆的圆心与半径，直线恒过的定点，判断点与圆的位置关系即可．
解：∵直线：ax+（a﹣1）y+a＝0（a∈R），∴，解得，
∴直线恒过定点（﹣1，0），
圆：x2+y2＝4，则圆的圆心为（0，0），半径为2，
∵（﹣1，0）与（0，0）的距离为1，1＜2，
∵直线恒过的定点在圆内，
∴直线与圆相交．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断与应用，考查计算能力，属于基础题．
6．（5分）A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足•＝0，•＝0，•＝0，M为BC的中点，则△AMD是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．不确定
【正确答案】C
【分析】可画出图形，根据条件得出，从而可进行数量积的运算求出，进而得出，从而判断出△AMD的形状．
解：如图，
根据条件：
＝
＝0；
∴；
∴△AMD为直角三角形．
故选：C．
【点评】考查向量加法的平行四边形法则，以及向量数量积的运算，向量垂直的充要条件．
7．（5分）已知F1，F2分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【分析】由题意得|PF1|＝3|PF2|，利用椭圆定义及勾股定理求得椭圆参数关系，即可求离心率．
解：由题意及正弦定理得：|PF1|＝3|PF2|，
令|PF1|＝3|PF2|＝3n，则3n+n＝2a，9n2+n2＝4c2，可得，
所以椭圆的离心率为：．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，属中档题．
8．（5分）三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2，，直线AC与平面SBC所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【分析】取AC的中点O，连接OS，OB，先证OS⊥平面ABC，再利用等体积法求得点A到平面SBC的距离d，设直线AC与平面SBC所成角为θ，由sinθ＝，即可得解．
解：取AC的中点O，连接OS，OB，
因为SA＝SC＝AB＝BC＝2，，
所以OS⊥AC，且OB＝＝＝＝OS，
因为SB＝2，所以SB2＝OB2+OS2，即OB⊥OS，
又AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，所以OS⊥平面ABC，
即点S到平面ABC的距离为OS＝，
由题意知，△SBC是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，
所以S△SBC＝＝，S△ABC＝＝2，
设点A到平面SBC的距离为d，
因为VA﹣SBC＝VS﹣ABC，
所以•d•S△SBC＝，即d•＝，解得d＝，
设直线AC与平面SBC所成角为θ，则sinθ＝＝＝，
所以直线AC与平面SBC所成角的正弦值为．
故选：C．
【点评】本题考查空间中线面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理，利用等体积法求点到平面的距离是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则（ ）
A．|PF1|+|PF2|＝8
B．|PF1|的最大值为9
C．△PF1F2的面积的最大值为12
D．存在点P，使得PF1⊥PF2
【正确答案】BCD
【分析】由椭圆的性质，结合椭圆的定义及圆与椭圆的位置关系逐一判断．
解：已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，
则a＝5，b＝3，c＝4，
对于A，|PF1|+|PF2|＝2a＝10，
即A错误；
对于B，|PF1|∈[a﹣c，a+c]，
即|PF1|的最大值为9，
即B正确；
对于C，△PF1F2的面积的最大值为＝12，
即C正确；
对于D，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2＝16，
又以F1F2为直径的圆与椭圆C有交点，
即存在点P，使得PF1⊥PF2，
即D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了圆与椭圆的位置关系，属中档题．
（多选）10．（6分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，下列结论中正确的是（ ）
A．AC⊥BD
B．AB＝AC
C．AB与平面BCD所成的角为60°
D．AB与CD所成的角为60°
【正确答案】ABD
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，用向量知识依次讨论即可得答案．
解：取BD中点O，由正方形的性质得：AO⊥BD，CO⊥BD，
所以∠AOC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，
因为二面角A﹣BD﹣C是直二面角，
所以如图所示，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
设正方形ABCD的边长为，
则D（1，0，0），B（﹣1，0，0），C（0，0，1），A（0，1，0），
所以，，，，，
对于A：因为，所以AC⊥BD，故A正确；
对于B：，，所以AB＝AC，故B正确；
对于C：为平面BCD的一个法向量，，
，，
因为直线与平面所成的角的取值范围是[0°，90°]，
所以AB与平面BCD所成的角为45°，故C错误；
对于D：cs，
因为异面直线所成的角为锐角或直角，
所以AB与CD所成的角为60°，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知圆和圆，点Q是圆C2上的动点，则（ ）
A．与圆C1、圆C2都相切的直线有四条
B．若圆C2上到直线x+y+m＝0的距离为的点有4个，则m的取值范围是﹣7≤m≤﹣5
C．过点Q作圆C1的两条切线，切点分别为M和N，则
D．已知，，若点B为圆C1上一动点，则的最小值为2
【正确答案】ACD
【分析】判断两圆的位置关系即可判断A的正误；当圆心C2到直线的距离小于即可；可先求出sin∠MQC1的范围，再确定sin∠MQN的范围即可；在圆C1内找到点，使，可将的最值问题转化为|PB|+|A1B|的最值问题，再应用三角形不等式即可求解．
解：对于A项：因为圆和圆，
所以，所以两圆外离，
所以与圆C1、圆C2都相切的直线有四条，故A正确；
对于B项：因为圆，所以，
所以当C2到x+y+m＝0的距离，
即﹣7＜m＜﹣5时，圆C2上到直线x+y+m＝0的距离为的点有4个，故B错误；
对于C项：因为，
又因为，即，
所以，所以，
又因为sin∠MQN＝sin2∠MQC1＝2sin∠MQC1cs∠MQC1，
所以，所以C正确；
对于D项：设B（x0，y0），
则以点B为圆心，为半径的圆的方程为，
因为，所以恒成立，
所以以点B为圆心，为半径的圆恒过点，
所以，
所以，
所以的最小值为2，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上投影的数量为
【正确答案】．
【分析】由数量投影的定义计算即可求得．
解：因为，向量为单位向量，，
所以＝，
所以向量在向量方向上投影的数量为．
故．
【点评】本题考查向量的数量投影的求法，属于基础题．
13．（5分）已知圆心在直线2x﹣7y+8＝0上，且A（6，0），B（1，5）都是圆上的点，则圆的标准方程为 （x﹣3）2+（y﹣2）2＝13 ．
【正确答案】（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13．
【分析】设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，根据题中的关系，求出a，b，r即可．
解：设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
由题意得
解得a＝3，b＝2，r2＝13，
故所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13．
故（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查待定系数法的应用，是基础题．
14．（5分）已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为6．若该圆台内部有一个球，则球的半径的最大值为 ；若该圆台内部有一个正方体ABCD﹣A1B1C1D1，且底面ABCD在圆台的下底面内，当正方体的棱长最大时，以A为球心，半径为2的球与正方体表面交线的长度为 3π ．
【正确答案】；3π．
【分析】求出圆台的高，再利用轴截面图形求出球半径的最大值；把圆台还原成圆锥，利用轴截面求出正方体的最大棱长，再确定球与正方体的交线即可求出结果．
解：依题意，圆台的轴截面是上下底边长分别为2，8，母线长为6的等腰梯形EFGH，
圆台的高，即等腰梯形EFGH的高h＝＝3，
由sin∠EFG＝＝，得∠EFG＝60°，
圆台内的最大球球心O在圆台上下底面圆心O2，O1所连线段上，最大球O的截面大圆在等腰梯形EFGH内，
圆心O在线段O2O1上，当该圆与等腰梯形EFGH的腰相切时，
OO1＝O1Ftan∠OFO1＝＜，
以O2O1为直径的圆同梯形EFGH的腰相交，
∴球的半径的最大值为，
把圆台还原成圆锥，则圆台轴截面等腰梯形EFGH两腰延长即得圆锥的轴截面等腰△MEF，
正方体ABCD﹣A1B1C1D1上底面的外接圆为圆台平行于底面的截面圆，
∵圆台的高大于其上底面圆直径，
∴正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长小于3，
其对角面ACC1A1为等腰△MEF的内接矩形，如图，
设AB＝a，则A1C1＝，
MO1＝FO1tan60°＝4，MO1交A1C1于点N，
则MN＝4﹣a，C1N＝a，
由，解得a＝12﹣8，
此时以A为球心，半径为2的球与正方体表面交线是该正方体共点A的3个正方形面与球的大圆构成的以直角为圆心角，
半径为2的3段圆弧组合而成，
交线长为3×＝3π．
故；3π．
【点评】本题考查圆台、等腰三角形内接矩形、球、正方体等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知A（1，2，1），B（﹣1，3，4），C（1，1，1）．
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若，求的模．
【正确答案】（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用向量的夹角运算公式求出结果；
（2）首先求出点P的坐标，进一步求出向量的模．
解：（1）由于A（1，2，1），B（﹣1，3，4），C（1，1，1），故，，
所以＝．
（2）设P（x，y，z），由于，
故（x，y，z）﹣（1，2，1）＝2（﹣1，3，4）﹣2（x，y，z），
整理得：x＝，y＝，z＝3；
所以P（），
故，故．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，向量的模，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AA1＝3，AC⊥BC，AC＝BC，D，E分别是AB，A1B1的中点．
（1）证明：平面A1DC∥平面BEC1；
（2）求二面角B﹣EC1﹣B1的余弦值．
【正确答案】（1）证明见解答；
（2）．
【分析】（1）根据面面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角即可．
（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，A1B1的中点，
则BD∥A1E，BD＝A1E，故BDA1E为平行四边形，则BE∥DA1，
又BE⊂平面BEC1，DA1⊄平面BEC1，则DA1∥平面BEC1，
同理可得：DC∥平面BEC1，
又DC∩DA1＝D，DC，DA1⊂平面A1DC，
所以平面A1DC∥平面BEC1；
（2）解：由AC⊥BC，AC＝BC，D，E分别是AB，A1B1的中点，
可得CD⊥AB，DE⊥平面ABC，
则以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
由，AA1＝3，可得CD＝，
则，E（0，0，3），
，，
设平面BEC1的一个法向量为，
则有，
令x＝3，可得y＝0，z＝，则，
不妨取平面EB1C1的一个法向量为，
则，
由图可知，二面角B﹣EC1﹣B1为锐二面角，
则二面角B﹣EC1﹣B1的余弦值为．
【点评】本题考查面面平行的判定，考查二面角的求法，属中档题．
17．（15分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，0），B（4，0），满足条件的点P的轨迹为C．
（1）求C的轨迹方程；
（2）点M为直线l：3x+4y+25＝0上的动点，过M作C的两条切线，切点分别为E，F，当四边形OEMF的面积最小时，求直线EF的方程．
【正确答案】（1）x2+y2＝4；（2）3x+4y+4＝0．
【分析】（1）根据“五步求曲“法，直接求解；
（2）由（1）可知C的轨迹为圆O：x2+y2＝4，设O到直线l：3x+4y+25＝0的垂线段为H，且垂足点为H，则易知EF直线即为圆O与以OH为直径的圆的公共弦所在直线，从而利用公共弦直线的求法，即可求解．
解：（1）设P（x，y），又A（1，0），B（4，0），满足条件，
∴|PB|2＝4|PA|2，
∴（x﹣4）2+y2＝4[（x﹣1）2+y2]，
化简可得x2+y2＝4，
∴C的轨迹方程为x2+y2＝4；
（2）由（1）可知C的轨迹为圆O：x2+y2＝4，
∴圆心O为（0，0），半径r＝2，
设O到直线直线l：3x+4y+25＝0的垂线段为H，且垂足点为H，
则OH直线方程为4x﹣3y＝0，
联立，可得H（﹣3，﹣4），
∵四边形OEMF的面积为＝≥，
∴四边形OEMF的面积的最小值为四边形OEHF的面积，
此时EF直线即为圆O与以OH为直径的圆的公共弦所在直线，
又OH为直径的圆为x（x+3）+y（y+4）＝0，即x2+y2+3x+4y＝0，
联立，可得两圆的公共弦所在直线为3x+4y+4＝0，
∴直线EF的方程为3x+4y+4＝0．
【点评】本题考查动点轨迹问题的求解，直线与圆的位置关系，属中档题．
18．（17分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，，，M为AD的中点，设平面ECD与平面EBM的交线为l．
（1）证明：l∥平面ABCD；
（2）证明：平面ADEF⊥平面ABCD；
（3）设H为l上的动点，当BH与平面BFM所成角的正弦值最大时，求BH的长．
【正确答案】（1）证明过程请见解答；（2）证明过程请见解答；（3）．
【分析】（1）先证CD∥平面EBM，可得l∥CD，再由线面平行的判定定理，即可得证；
（2）取AM的中点O，连接OB，OF，由OF⊥AD，OB⊥OF，可证OF⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（3）以O为原点建系，设，λ∈R，利用向量法求线面角可将BH与平面BFM所成角的正弦值表示成关于λ的函数，再结合二次函数的性质，求解即可．
（1）证明：在等腰梯形ABCD中，M是AD的中点，
所以BC∥DM，BC＝DM，即四边形BCDM是平行四边形，
所以CD∥BM，
因为CD⊄平面EBM，BM⊂平面EBM，所以CD∥平面EBM，
又平面ECD∩平面EBM＝l，CD⊂平面ECD，
所以l∥CD，
因为l⊄平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以l∥平面ABCD．
（2）证明：取AM的中点O，连接OB，OF，则OA＝OM＝1，
由等腰梯形的性质知，OF⊥AD，OB⊥AD，
所以OB＝＝，OF＝＝3，
因为，所以OB2+OF2＝FB2，即OB⊥OF，
又AD∩OB＝O，AD，OB⊂平面ABCD，
所以OF⊥平面ABCD，
因为OF⊂平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD．
（3）解：由（2）知，OB，OD，OF两两垂直，
以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（，0，0），F（0，0，3），M（0，1，0），E（0，2，3），
所以＝（，﹣1，0），＝（0，﹣1，3），＝（﹣，2，3），
设平面BFM的法向量为＝（x，y，z），则，
取z＝1，则y＝3，x＝，所以＝（，3，1），
因为平面ECD∩平面EBM＝E，所以点E在l上，
又l∥CD∥BM，所以可设＝λ（，﹣1，0），λ∈R，
所以＝＝（﹣，2，3）+λ（，﹣1，0）＝（（λ﹣1），2﹣λ，3），
设BH与平面BFM所成角为θ，
则sinθ＝|cs＜，＞|＝＝＝＝，
所以当λ＝时，BH与平面BFM所成角的正弦值最大，此时＝（，，3），
所以＝＝，
故BH的长为．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线、面平行与垂直的判定或性质定理，利用向量法求线面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．（17分）球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形（特别是三角形）的角、边、面积等问题，其在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧，，所组成的图形称为球面△ABC，记其面积为S球面△ABC．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A和A′；若球面上A，B，C的对径点分别为A′，B′，C′，则球面△A'B'C'与球面△ABC全等．如图2，已知球O的半径为R，圆弧和所在平面交成的锐二面角B﹣AO﹣C的大小为α，圆弧和所在平面、圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小分别为β，γ．记S（α）＝S球面△ABC+S球面△A'BC+S球面△AB'C′+S球面△A'B'C′．
（1）请写出，的值，并猜测函数S（α）的表达式；
（2）（i）当时，球面△ABC的面积为 （只写结果）．
（ii）用α，β，γ，R表示S球面△ABC；
（3）若将图一中四面体OABC截出得到图二，若平面三角形ABC为直角三角形，AC⊥BC，设∠AOC＝θ1，∠BOC＝θ2，∠AOB＝θ3，求证：csθ1+csθ2﹣csθ3＝1．
【正确答案】（1），；S（α）＝4αR2．
（2）（i）．
（ii）．
（3）证明过程见解答．
【分析】（1）根据已知写出，S（）的值，并猜测函数S（α）的表达式；
（2）（i）推理得到Sα+Sβ+Sγ＝S球+2S球面△ABC+2S球面△A′B′C′，因为S球面△A′B′C′＝S球面△ABC，代入数据即可；
（ii）根据（i）中的过程有4αR2+4βR2+4γR2＝4πR2+4S球面△ABC，解出即可；
（3）根据余弦定理和AC2+BC2＝AB2，计算即可得到结论．
解：（1），．
猜测S（α）＝4αR2．
（2）（i）．
理由：Sα+Sβ+Sγ＝S球面△ABC+S球面△A′BC+S球面△AB′C′+S球面△A′B′C′+S球面△ABC+S球面△AB′C+S球面△A′BC′+S球面A′B′C′+S球面△ABC+S球面△ABC′+S球面△A′B′C+S球面△A′B′C′
＝S球+2S球面△ABC+2S球面△A′B′C′，
因为S球面△A′B′C′＝S球面△ABC，
所以4αR2+4βR2+4γR2＝4πR2+4S球面△ABC，
则4×＝4πR2+4S球面△ABC，
解得S球面△ABC＝．
（ii）Sα+Sβ+Sγ＝S球面△ABC+S球面△A′BC+S球面△AB′C′+S球面△A′B′C′+S球面△ABC+S球面△AB′C+S球面△A′BC′+S球面△A′B′C′+S球面△ABC+S球面△ABC′+S球面△A′B′C+S球面△A′B′C′
＝S球+2S球面△ABC+2S球面△A′B′C′，
因为S球面△A′B′C′＝S球面△ABC，
所以4αR2+4βR2+4γR2＝4πR2+4S球面△ABC，
即．
（3）证明：由余弦定理可得：，
且AC2+BC2＝AB2．
所以，
即2R2﹣2R2（csθ1+csθ2）＝﹣2R2csθ3，消去2R2，
则有：1﹣（csθ1+csθ2）＝﹣csθ3，
即csθ1+csθ2﹣csθ3＝1．
【点评】本题考查球的表面积综合应用，属于中档题．