2024-2025学年内蒙古自治区鄂尔多斯市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年内蒙古自治区鄂尔多斯市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．2π3D．
2．记等差数列的前项和为，则（ ）
A．120B．140C．160D．180
3．在等差数列an中，已知，，则数列an的通项公式可以为（ ）
A．B． C．D．
4．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，若四边形的周长为12，则椭圆C的短半轴长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
5．双曲线的一条渐近线的方程为，则m值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线与椭圆相交于A，B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ）
A．B．C．D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件
B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C．直线的倾斜角的取值范围是
D．若、，直线过且与线段相交，则的斜率
10．抛物线焦点为F，顶点为O，过F的直线l交抛物线于，两点分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，下列说法正确的是（ ）
A．为定值B．
C．A，O，三点共线D．
11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．异面直线与所成角的取值范围是
C．平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．抛物线的焦点坐标是 .
13．若曲线与直线有两个公共点，则实数m的取值范围是 ．
14．已知在直三棱柱中，，，，是的中点，若，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）已知两直线，．求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程；
（2）已知曲线的方程为，根据下列条件，求实数的取值范围．
①曲线是椭圆；
②曲线是双曲线．
16．已知等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值．
17．设点，直线，相交于点，且它们的斜率之积为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若.
（i）当时，求的面积；
（ii）求的取值范围.
18．如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由．
19．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左右顶点分别为，．
(1)过点作斜率为k的直线与双曲线C有且只有一个公共点，求k的值；
(2)过点的直线与双曲线右支交于P，Q两点，记，的斜率分别为，，试问是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．
答案
1．【正确答案】D
【详解】直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则
，则.
故选：D．
2．【正确答案】C
【详解】因为，所以，所以，
所以，
故选：C.
3．【正确答案】C
【详解】方法一（基本量法）设an的首项为，公差为d，
则由，得，∴．
代入，整理得，解得．
当时，，；
当时，，．
方法二（等差数列的性质）∵，∴．
，
∴，∴．
当时，；
当时，．
方法三（方程思想）∵，∴，
∴，（由和与积，联想到根与系数的关系）
∴，是方程的两根，∴或
由，，得，∴．
同理，由，，得．
故选：
4．【正确答案】A
【详解】
因为椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，
已知椭圆面积为，则，
又椭圆的两个焦点分别为，，直线与椭圆交于A，B两点，
由椭圆对称性，得线段互相平分于原点，
则四边形为平行四边形，
因为四边形的周长为12，
由椭圆的定义得，解得，
所以椭圆的短半轴长.
故选：A.
5．【正确答案】D
【详解】因为双曲线的一条渐近线的方程为，
所以，解得.
故选：D.
6．【正确答案】B
【详解】解：由已知得，即，解得.
故选：B.
7．【正确答案】B
【分析】利用过椭圆上两点的直线方程为，结合中点及直线方程，化简得到，利用即可求解.
【详解】设两点坐标分别为，因为AB的中点为，
所以，
因为在椭圆上，
所以①，，
两式相减，得，
根据，上式可化简为，
整理得，又，所以，即，
所以.
故选B.
8．【正确答案】A
【详解】如图，
因为双曲线，所以，
由双曲线的对称性知，
所以，
由双曲线定义可得，
所以，又，
所以，即，
所以,
故，
故选：A
9．【正确答案】BCD
【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直，
则，解得或，
所以，“”是“直线与直线互相垂直”充分不必要条件，A错；
对于B选项，若直线与直线互相平行，
则，解得，
所以，“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，B对；
对于C选项，直线的斜率为，
当时，；当时，.
因此，直线的倾斜角的取值范围是，C对；
对于D选项，如下图所示：
设线段交轴于点，直线交线段于点，
，，
当点在从点往点（不包括点）运动时，此时，直线的倾斜角为锐角，
在运动的过程中，直线的倾斜角逐项增大，此时，直线的斜率为；
当点从点（不包括点）往点运动时，此时，直线的倾斜角为钝角，
在运动的过程中，直线的倾斜角逐渐增大，此时，直线的斜率为.
综上所述，直线的斜率的取值范围是，D对.
故选：BCD.
10．【正确答案】AC
【详解】易知F1,0，准线方程，不妨设，
与抛物线方程联立有，所以，
而，故A正确；
易知，则，
显然，即，故B错误；
易知，显然，即A，O，三点共线，故C正确；
由抛物线定义可知，
由上知，所以，故D错误.
故选：AC
11．【正确答案】ACD
【详解】对于A，，平面，平面，
平面，点在线段上运动，
点到平面的距离为定值，又的面积为定值，
故三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B，，异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点位于点时，与所成的角为，
当点位于的中点时，平面，，
，此时，与所成的角为，异面直线与所成角的取值范围是，故B错误；
对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，，
则，，设平面的法向量，
设平面的法向量，
，
则，即，
令，则，则得，
面与平面所成夹角为，
所以，
因为，，所以，，
所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C正确；
对于D，则，，，，，，
设平面的法向量，则，即，
令，则，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，
最大值为，故D正确.
故选：ACD.
12．【正确答案】
【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.
【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，
所以焦点坐标为，
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】由可得，
即曲线表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，
画出图形，可得当直线经过点A−2,0时，，
当直线与曲线相切时，由圆心到直线的距离可得，由图可得，
所以要使直线与曲线有两个公共点，则.
故选：C.

故
14．【正确答案】
【分析】建立空间直角坐标系，设，再利用空间向量求解即可.
【详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则由题意：，，，
则，，
又所以，
解得，即.
故答案为.

15．【正确答案】（1）；（2）①；②.
【详解】（1）联立，得，即两条直线的交点坐标为，
设与直线平行的直线方程为，
将代入得，即，
所以所求直线方程为；
（2）①曲线的方程为，
，又曲线是椭圆，
，解得且，
故实数的取值范围为；
②曲线是双曲线，
，解得或，
故实数的取值范围为.
16．【正确答案】(1)
(2)11
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，，
故．
（2）由（1）可得，则，
所以，则数列是等差数列，
故．
因为，所以，所以，
所以或．
因为，所以的最小值是11．
17．【正确答案】(1)
(2)(i)；(ii)
【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是，
所以直线的斜率是，
同理，直线的斜率是，
由已知，有，
化简，得点的轨迹方程是，
点的轨迹是除去，两点的椭圆；
（2）（i）设，，
，，
在 中，由余弦定理得：
，
，
（ii）设，则，即，
，，，，
，
，，
.
18．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在；2.
【分析】（1）根据条件先判定垂直关系再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可；
（2）利用空间向量结合（1）的结论计算面面夹角即可；
（3）利用空间向量研究线面夹角计算即可.
【详解】（1）因为四边形为矩形，平面平面，
平面平面，
所以，则平面，
根据题意可以以为原点，所在直线为轴，
所在直线为轴建立空间直角坐标系，
如图，易知，，
设平面的法向量，
不妨令，则，
又，，
又平面平面；
（2）由上可知，设平面的法向量，
，令，则，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
（3）设，，
，
又因为平面的法向量，
由直线与平面所成角的余弦值为，
，
，或．
当时，；
当时，．
综上，．
19．【正确答案】(1)或
(2)为定值
【详解】（1）直线方程为，
联立，消得，
当，即时，此时方程仅有一个解，
即直线与双曲线C有且只有一个公共点，
当，即时，
则，解得，
综上所述，或；
（2）由题意可设直线的方程为，，
联立，消得，
则，
，
则，
因为，所以，
则，
所以为定值.