新疆乌鲁木齐市八一中学2024—2025学年九年级上学期数学期中测评试卷

这是一份新疆乌鲁木齐市八一中学2024—2025学年九年级上学期数学期中测评试卷，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．用配方法解方程 时，配方所得的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转至使得点A恰好落在上，则旋转角度为（ ）
A．B．C．D．
4．对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线D．当时，
5．已知的半径是一元二次方程 的一个根，圆心O到直线l的距离 ，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．平行
6．“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，为的直径，点C、D在上，且，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．若点D为等边内一点，且，，，则此等边三角形ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．将一元二次方程化为一般形式是 ．
11．平面直角坐标系内与点关于原点对称的点B的坐标是，则 ．
12．将小球按一定角度击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系式是，当小球飞行高度时，小球的飞行时间 ．
13．如图，、、是上的三点，则，则 度．
14．如图，在中，，以为边向外作等边三角形、把绕着点D 按顺时针方向旋转后得到，若，，的长为 ．
15．如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧作，且，点在射线上．设点的运动时间为．与的重叠部分的面积为，则当 （）时最大；当 （s）时S的值为．
三、解答题
16．回答以下问题：
(1)解方程：
①；
②．
(2)某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？
17．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程的一个根是1，求m值和方程的另一个根．
(2)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
18．正方形的边长为5，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
19．如图所示，有一圆弧形拱桥，其跨度AB=10m，拱高为1m.
（1）请你确定圆弧所在圆的圆心（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；
（2）求拱桥所在圆的半径.
20．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标分别是．
(1)按要求作图：
先将绕原点逆时针旋转90°，得到；
再作出，使它与，关于原点成中心对称．
(2)直接写出点，的坐标．
21．一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，该加工品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．
(1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销售量每件的利润）
(3)该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是128元？若能，求出销售单价应为多少元；若不能，请说明理由．
22．如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接．

(1)求证：为的切线；
(2)若且，求的半径．
23．【概念学习】
在平面直角坐标系中，点的坐标为x1,y1，若图形上存在一点Nx2,y2，且满足当时，，则称点为图形的一个“垂近点”．
【初步理解】
（1）如图1，图形为线段，点，．
①试判断点______（填“是”或“不是”）线段的“垂近点”．
②请在图中画出点M所有可能的位置．（用阴影部分表示）
【知识应用】
（2）若图形为直线，二次函数图象上仅有一个“垂近点”，求的值．
（3）如图2，若图形为抛物线，正方形的边长为2，中心（对角线的交点）为，如果正方形上存在“垂近点”，求出的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可．
【详解】解：
，
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，旋转角，根据题意可知，，可得是等边三角形，进而得出，可得答案．
【详解】根据题意可知，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
所以旋转角是．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，时，函数开口向下．
根据二次函数的图象和性质，逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，故A不正确，不符合题意；
∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线，故B不正确，不符合题意；故C正确，符合题意；
当时，，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
5．A
【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【详解】解：∵，
∴ ，，
∵的半径是一元二次方程 的一个根，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴直线l与的位置关系是相交，
故选：A．
【点睛】本题考查的解一元二次方程以及直线与圆的位置关系，通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定直线与圆的位置关系是解题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据矩形的面积长宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长个纸边的宽度）（风景画的宽个纸边的宽度）整个挂图的面积，由此可得出方程．
【详解】解：依题意，设金色纸边的宽为，
依题意，得：，
故选：C．
7．C
【分析】根据为的直径，，可利用勾股定理求直径长，再根据，可得△OBD为等边三角形，可求的长．
【详解】解：∵为的直径，，
∴∠ACB=90°，，
连接OD，
∵，
∴∠DOB=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD为等边三角形，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用圆周角的性质得出直角三角形和等边三角形．
8．B
【分析】本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，b的范围，再相比较看是否一致即可．
【详解】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，矛盾，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确；
C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，矛盾，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
9．A
【分析】将绕点顺时针旋转得，再过点作，交延长线于点，利用旋转的性质得出为等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理推出，在中，由勾股定理，即可求等边的面积．
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得，再过点作，交延长线于点，如下图：
由旋转的性质知，，，，
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
，
，
在中，，
，，
在中，由勾股定理得，，
，
又等边的面积，
等边的面积，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形、勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质，及作出适当的辅助线进行求解．
10．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式：，，为常数且，即可解答．
【详解】解：，
，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称问题及有理数的乘方运算，数轴关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：由点关于原点对称的点B的坐标是，可知：，
∴；
故答案为．
12．1或3
【分析】本题主要考查求自变量的值，把代入函数解析式计算即可．
【详解】解：把代入，得：
，
解得，，，
即小球飞行高度时，小球的飞行时间为1秒或3秒，
故答案为：1或3
13．
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
根据圆周角定理即可直接得出答案．
【详解】解：根据圆周角定理，可得：
，
故答案为：．
14．5
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，四边形内角和为．熟练掌握旋转的性质是解题关键．由旋转的性质证为等边三角形，证，．又证A、C、E三点共线，结合等边三角形的性质即可得．
【详解】解：∵是把绕着点D按顺时针方向旋转后得到的，
∴，，
∴为等边三角形，
∵是把绕着点D按顺时针方向旋转后得到的，
∴，．
∵为等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，即A、C、E三点共线，
∵为等边三角形，
∴．
故答案为：5．
15． / 或
【分析】根据题意得出，然后根据题意画出图形，找到临界点，分情况讨论，得出，根据二次函数的性质，求得最值，进而根据面积为，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，，
作于点，
由题意得，，
∴，，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，，
∴，，则，
当点Q运动到与点重合时，
∴，
当点P运动到与点重合时，
∴，，
∴当时，，
当时，如图所示，
∵，则，
则是等边三角形，
则，，
，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
综上所述，，
∴当时，取得最大值，
当时，
，解得：（负值舍去），
或，
解得：或（舍去），
故答案为：；或．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，二次函数的性质，解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．
16．(1)①，；②，．
(2)每轮感染中平均一台电脑感染11台．
【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的应用传播问题，掌握传播问题中的等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）①利用因式分解法解一元二次方程即可；
②利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）设每轮感染中平均一台电脑感染x台，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：①
或
∴，；
②
或
∴，；
（2）解：设每轮感染中平均一台电脑感染x台，
根据题意得，
解得，（舍去）
∴每轮感染中平均一台电脑感染11台．
17．(1)m为，另一个根为−2
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，根与系数关系等知识．熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．
（1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，再根据根与系数关系求出方程的另一个根即可；
（2）根据根的判别式公式，令，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
；
∴方程为，
设方程的另一个根为，则，
∴，
即方程另一个根为−2；
（2）解：方程有两个不相等的实数根，
，
∴．
∴m的取值范围为．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，
（1）根据旋转点的性质可得，，再利用边角边证明三角形全等即可；
（2）设，根据正方形的性质，全等三角形的性质和旋转的性质表示出各个边长，再理由勾股定理求解即可；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）∵绕点D逆时针旋转，得到，
∴，
∴F、C、M三点共线，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵绕点D逆时针旋转，得到，，
∴，
∵正方形的边长为5，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
即．
19．（1）答案见解析；（2）13m
【分析】（1）根据弦的垂直平分线都经过圆心来作．作AB的垂直平分线MN，交弧于C，连接BC，作BC的垂直平分线EF，MN与EF相交于O，点O就是所求的圆心．
（2）连接OA，设这个拱桥的半径为r，则OD=r﹣1，根据垂径定理得到AD=BD=AB．在Rt△OAD中，由勾股定理得OA2=AD2+OD2，然后即可得到关于r的方程，解方程即可求出r．
【详解】（1）根据弦的垂直平分线都经过圆心，作AB的垂直平分线MN，交弧于C，连接BC，作BC的垂直平分线EF，MN与EF相交于O，点O就是所求的圆心．如图，
（2）连接OA．
设这个拱桥的半径为r，则OD=r﹣1，∴AD=BD=AB=×10=5m．
在Rt△OAD中，AD=5m，OD=r﹣1．
由勾股定理得：OA2=AD2+OD2
即r2=52+（r﹣1）2，∴r=13m．
这个拱桥所在圆的半径长为13m．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，解答此题关键是连接OA，构造出直角三角形利用勾股定理解答．
20．(1)①见解析；②见解析
(2)点的坐标；点的坐标
【分析】本题考查旋转变换作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（1）①先确定点的位置，然后连接即可；
②先确定点的位置，然后连接即可；
（2）结合（1）即可写出点的坐标；点的坐标．
【详解】（1）解：①如图，即为所求，
②如图，即为所求，
（2）解：点的坐标；点的坐标．
21．(1)，
(2)，每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元
(3)能，销售单价为14元/件
【分析】此题考查了二次函数、一次函数、一元二次方程的实际应用．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意列出二次函数解析式，再利用二次函数的性质进行解答即可；
（3）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元．据此得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设与的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
所以与的函数表达式为，
（元/件），
；
（2）根据题意知，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，
最大值为；
每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元；
（3）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元．
根据题意知，，
则，
解得或（舍去），
答：该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元，销售单价为14元/件．
22．(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了切线的判定定理、等边对等角、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；
（2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵是半径，
∴为的切线；
（2）解：设的半径，则，
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得，或（舍去），
∴的半径为3．
23．（1）①是；②图见解析
（2）或
（3）或
【分析】（1）根据“垂近点”的定义，即可进行判断，
（2）将化成顶点式，分，，两种情况进行讨论，根据“垂近点”的定义，即可求解，
（3）由题意得，，，，设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点，使得当时，，分，，两种情况，点分别与点、、、重合时，列出等量关系式，即可求解，
本题考查了，新定义“垂近点”，函数图像上点的特征，解题的关键是：充分理解新定义，结合函数图像上的点的性质与特点．
【详解】解：（1）①当时，，
∴点是线段的“垂近点”，
②M所有可能的位置，如图所示，

（2）将化成顶点式，，
当时，，
当时，，
∴或，
（3）∵点是正方形的中心，正方形的边长为2，
∴，，，，
设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点，使得当时，，
当点在轴右侧时，，
如图1，当点与点重合时，，

∴，解得：或（舍），
如图2，当点与点重合时，，


∴，解得：或（舍），
当点在轴左侧时，，
如图3，当点与点重合时，，

∴，解得：或（舍），
如图4，当点与点重合时，，

∴，解得：或（舍），
∴当或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”，
故答案为：（1）①是；②图见解析（2）或（3）或．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9

答案
C
D
B
C
A
C
C
B
A