浙江省八校2024-2025学年高一(上)期中考试数学试卷（解析版）

这是一份浙江省八校2024-2025学年高一(上)期中考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，则集合可用列举法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，则，
所以.
故选：D.
2. 学校开运动会，设是参加100米跑的同学}，是参加200米跑的同学}，是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，
故没有同学参加三项比赛，即.
故选：D.
3. 若、、，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于A选项，因为，由不等式的基本性质可得，A对；
对于B选项，因为，当时，由不等式的基本性质可得，B错；
对于C选项，取，，则，C错；
对于D选项，取，，则，D错.
故选：A.
4. 若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于ABC，令，显然满足，
同时，，，故ABC错误；
对于D，若，则，故D正确.
故选：D.
5. 函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】D
【解析】定义域是函数自变量的取值，为，
函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即.
故选：D.
6. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数图像过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得且，解得，
，令得，此时，
故的图像过定点.
故选：A.
7. 若“”是“”的一个充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】A
【解析】，解得或，
由题意可知，或，
得或，即或.
故选：A.
8. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 9B. 10C. 12D. 13
【答案】D
【解析】
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列叙述正确的是（ ）
A.
B. 命题“”的否定是“或”
C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件
D. 命题“”的否定是真命题
【答案】ABD
【解析】对于A：当时，，
所以为真命题，故A正确；
对于B：命题“”的否定是“或”，故B正确；
对于C：由且，可以推得出，
故“且”是“”的充分条件，故C错误；
对于D：命题“”的否定为：，显然，
所以命题为真命题，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知，均为正实数，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】对于A，，，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B，，
，故B正确；
对于C，，，则，
当且仅当时，等号成立，故C错误；
对于D，，
，
，即，
所以，即，故D错误.
故选：AB.
11. 给定数集，，方程①，则（ ）
A. 任给，对应关系使方程①的解与对应，则为函数
B. 任给，对应关系使方程①的解与对应，则为函数
C. 任给方程①的两组不同解，，其中，，则
D. 存在方程①两组不同解，，其中，，使得也是方程①的解
【答案】AC
【解析】对于A，由①可得，，对于任意的，
都有唯一确定的值与之对应，故为函数，故A正确；
对于B，由①可得，因，若取，则，
此时不存在实数与之对应，
若考虑虚数解，会出现两个虚数与之对应，不符合函数的定义，故B错误；
对于C，依题意，，，
两式相减，整理得，
因且，则有，
即得，展开整理，即得，故C正确；
对于D，由题意，，，
假设也是方程①的解，则有（*），
因，则，
代入（*）式，整理得：，即得，这与题意不符，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 若，，则________.
【答案】
【解析】，，则.
13. 已知曲线且过定点，若且，则的最小值为______.
【答案】16
【解析】因为且过定点，则k=1，，
若且，
则，
当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为16.
14. 已知函数是定义域为的偶函数，当为两个不相等的正实数时，恒成立，若，，则不等式的解为____________________.
【答案】
【解析】设，则，，
由，得，，
即.
设，则在上单调递增，
又为定义域为的偶函数，所以，
得，则为上的奇函数，
所以在上也单调递增.
由，得，
由，得，
当时，由，得，即，解得；
当时，由，得，即，解得，
所以的解集为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知 ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线BC的方程．
解：（1）设，
∵AB边上的中线CM所在直线方程为，
AC边上的高BH所在直线方程为．
∴，解得．
∴．
（2）设，则，解得．
∴，∴．
∴直线BC的方程为，即为．
16. 已知函数.
（1）若不等式的解集为，求a，b的值；
（2）若方程仅有一个实数解，求最小值.
解：（1）因为不等式的解集为，
所以方程的两根为，
所以由根与系数的关系可得，
解得或.
（2）因为方程仅有一个实数解，
所以，即，
所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
17. 鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度（单位：摄氏度）与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时．
（1）新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；
（2）已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）
参考数据：
解：（1）依题意得，则，
当时，，
即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为小时.
（2）由题意令，得，即，
则，则，
即，解得，
故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于摄氏度.
18. 已知函数，记集合为的定义域．
（1）求集合；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）当时，求函数的值域．
解：（1）由真数大于0可知，，.
（2），
可知定义域关于原点对称，
，
故为奇函数．
（3）令，对称轴，在上，，
又在上递减，
故的值域是：．
19. 在中，角所对的边分别是，．
（1）求角B的大小；
（2）若，且边上的两条中线相交于点G，求的余弦值；
（3）若为锐角三角形，且，记的外心和垂心分别为，连接的直线与线段都相交，求证：线段的长度为．
解：（1）由可得，
故，
由于,故，所以，
由于B∈0,π，故.
（2）由余弦定理可得，
解得（负值舍去），
因为即为向量与的夹角，
设，，
则，
因为，，
所以，
，
故，，
所以
，
故．
（3）先证明：设的外心为（三角形外接圆的圆心），以线段、为邻边作平行四边形，第四个顶点为，再以，为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为．
若，则点为的垂心；
证明：由题意可知，
，，
则，
因为为外心，所以，，
则，即，
同理可得：，所以点为的垂心得证，
因此由于为的垂心，为的外心，
故，其中，
设外接圆半径为，则，
，
由于，
，
故
，
由于，故.