深圳实验学校2024届九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份深圳实验学校2024届九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了如果mn＝ab，下列方程是一元二次方程的是等内容，欢迎下载使用。
1．如图，该几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
答案：D．
2．如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，则关于它的视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图的面积最小B．左视图的面积最小
C．俯视图的面积最小D．三个视图的面积一样大
答案：B．
3．如果mn＝ab（m、n、a、b均不为零），则下列比例式中错误的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C．
4．在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为（0，－6），则A点的对应点A′坐标为（ ）
A．（－2，－4）B．（－4，－2）C．（－1，－4）D．（1，－4）
答案：A．
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C．
6．已知方程2x2＋3x－1＝0有两个实数根x1，x2，则x1＋x2＝（ ）
A．－3B．－1C．－D．－
答案：C．
7．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝3B．x2＋y2＝0C．2（x＋3）＝5xD．
答案：A．
8．如图，点A是反比例函数图象上任意一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，则四边形OBAC的面积为（ ）
A．1.5B．3C．6D．9
答案：B．
9．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（1，4），B（4，1）两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．1＜x＜4C．x＞3D．x＞4
答案：B．
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：B．
二．填空题（共5小题）
11．已知x＝－2是方程x2－ax＋7＝0的一个根，则a的值是 ．
答案：－．
12．如果关于x的一元二次方程3x2＋x－m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 m≥－ ．
13．如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走 3.8 米报幕（结果精确到0.1米）．
14．如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点B的坐标为 （2，3） ．
15．如图，正方形ABCD中，AD＝9，点E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，交BD于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接AM，交EF于点N，若BF＝BC，则线段AM的长是 ．
三．解答题（共7小题）
16．解方程：x（x－2）＝x－2．
解：x（x－2）－（x－2）＝0，
（x－2）（x－1）＝0，
x－2＝0或x－1＝0，
所以x1＝2，x2＝1．
17．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，AB＝CD，
又∵CF＝AE，
∴DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形．
（2）解：∵AF平分∠DAB，DC∥AB，
∴∠DAF＝∠FAB，∠DFA＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵DF＝5，
∴AD＝FD＝5，
∵AE＝CF＝3，DE⊥AB，
∴，
∴矩形BFDE的面积是：DF•DE＝5×4＝20．
18．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱AB＝6m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝3m．
（1）请你在图中画出此时DE在太阳光下的投影EF；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在太阳光下的投影EF长为6m，请你计算DE的长．
解：（1）（连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影，如图；
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE．
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴＝，即＝
∴DE＝12（m）．
19．如图，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，－3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．
（1）求k的值并直接写出点B的坐标；
（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB＋GC的最小值；
（3）P是x轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点A的坐标为（m，－3）代入直线y＝x中，
得－3＝m，
解得：m＝－2，
∴A（－2，－3），
∴k＝－2×（－3）＝6，
∴反比例函数解析式为y＝，
由，得或，
∴点B的坐标为（2，3）；
（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，
∴BE∥CF，
∴△DCF∽△DBE，
∴＝，
∵BC＝2CD，BE＝3，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝1，
∴C（6，1），
作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，
则B′C即为BG＋GC的最小值，
∵B′（－2，3），C（6，1），
∴B′C＝＝2，
∴BG＋GC＝B′C＝2；
（3）存在．理由如下：
当点P在x的正半轴上时，如图2，设点P1的坐标为（a，0），
过点B作BE⊥x轴于点E，
∵∠OEB＝∠OBP1＝90°，∠BOE＝∠P1OB，
∴△OBE∽△OP1B，
∴＝，
∵B（2，3），
∴OB＝＝，
∴＝，
∴a＝，
∴点P1的坐标为（，0），
当点P在x的负轴上时，如图2，设点P2的坐标为（a，0），
过点A作AH⊥x轴于点H，
同理证得点P2的坐标为（－，0），
当四边形AP3BQ3或是矩形四边形AP4BQ4时，OA＝OP4＝，
∴点P的坐标为（－，0）或（，0），
综上所述，点P的坐标为（，0）或（－，0）或（－，0）或（，0）．
20．2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
（2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？
解：（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：150（1＋x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不符合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为（y－30）元，月销售量为300－10（y－40）＝（700－10y）个，
根据题意得：（y－30）（700－10y）＝3960，
整理得：y2－100y＋2496＝0，
解得：y1＝48，y2＝52，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴y＝48．
答：该品牌头盔的售价应定为48元/个．
21．[知识链接]，“化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决．在探究平行四边形的性质时，学习小组利用这种思想方法，发现并证明了如下有趣结论，平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题：
（1）[问题发现]：如图1，学习小组首先通过对特殊平行四边形——矩形（长方形）的研究发现在矩形ABCD中令AB＝a，BC＝b，则可求得AC2＋BD2＝ 2a2＋2b2 ；（用a、b的式子表示）
（2）[问题探究]：如图2，学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形ABCD进行研究，如图：分别过点A、D作BC边的垂线，请你按照这种思路证明AC2＋BD2＝2（AB2＋BC2）；
（3）[问题拓展]：如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知：AD＝3，BC＝8，（AB－AC）2＝10，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求AB•AC的值．
（1）解：如图①，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，
∴AC2＝AB2＋BC2，
∵AB＝a，BC＝b，
∴AC2＋BD2＝2（AB2＋BC2）＝2a2＋2b2；
答案：2a2＋2b2；
（2）证明：如图②，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AE＝DF，BE＝CF，
在Rt△ACE中，由勾股定理，可得
AC2＝AE2＋CE2＝AE2＋（BC－BE）2…①，
在Rt△BDF中，由勾股定理，可得
BD2＝DF2＋BF2＝DF2＋（BC＋CF）2＝DF2＋（BC＋BE）2…②，
由①②，可得
AC2＋BD2＝AE2＋DF2＋2BC2＋2BE2＝2AE2＋2BC2＋2BE2，
在Rt△ABE中，由勾股定理，可得
AB2＝AE2＋BE2，
∴AC2＋BD2＝2AE2＋2BC2＋2BE2＝2（AE2＋BE2）＋2BC2＝2AB2＋2BC2；
（3）解：如图3，延长AD至点E，使AD＝DE，
，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
又∵AD＝DE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
由（2）可得AE2＋BC2＝2AB2＋2AC2，＝2（AB－AC）2＋4AB•AC，
∵AE＝2AD＝6，
∴AE2＝4AD2＝36，
∵BC＝8，（AB－AC）2＝10，
∴36＋64＝2×10＋4AB•AC，
∴AB•AC＝20．
22．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
​
原题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE＋DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°∠FDG＝180°，∴点F，D，G共线．根据 SAS （从“SSS，ASA，AAS，SAS”中选择填写），易证△AFG≌ △AFE ，得EF＝BE＋DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 ∠B＋∠D＝180° 时，仍有EF＝BE＋DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD，DE，EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
（4）思维深化
如图4，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，点D，E均在直线BC上，点D在点E的左边，且∠DAE＝30°，当AB＝4，BD＝1时，直接写出CE的长．
解：（1）∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE＋∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
即：EF＝BE＋DF．
答案：SAS，△AFE；
（2）∠B＋∠D＝180°时，EF＝BE＋DF，理由如下：
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE＋∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC＋∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，
即：EF＝BE＋DF．
答案：∠B＋∠D＝180°；
（3）猜想：DE2＝BD2＋EC2．
理由：把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接DE′，如图3，
∴△AEC≌△ABE′，
∴BE′＝EC，AE′＝AE，
∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABC＋∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，
∴E′B2＋BD2＝E′D2，
又∵∠DAE＝45°，
∴∠BAD＋∠EAC＝45°，
∴∠E′AB＋∠BAD＝45°，
即∠E′AD＝45°，
在△AE′D和△AED中，，
∴△AE′D≌△AED（SAS），∴DE＝DE′，
∴DE2＝BD2＋EC2；
（4）∵点D，E均在直线BC上，点D在点E的左侧，BD＝1，
∴分两种情况：点D在BC边上或点D在CB的延长线上，
①当点D在BC边上时，如图4－1，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥AB于点G，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝60°，
∴BF＝CF＝2，∠BAF＝∠CAF＝30°，AF＝BF＝2，
∵∠AGD＝90°，∠B＝60°，BD＝1，
∴BG＝BD＝，DG＝BG＝，
∴AG＝AB－BG＝4－＝，
∵∠DAE＝30°，∴∠DAF＋∠BAD＝∠DAF＋∠FAE＝30°，∴∠BAD＝∠FAE，
∵∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴△AFE∽△AGD，∴＝，∴＝，∴EF＝，
∴CE＝CF－EF＝2－＝；
②当点D在CB的延长线上时，如图4－2，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥AB于点G，
由①知，BF＝CF＝2，∠BAF＝∠CAF＝30°，
∵∠DGB＝90°，∠DBG＝∠ABC＝60°，
∴BG＝BD＝，DG＝BG＝，
∴AG＝AB＋BG＝4＋＝，
∵∠DAE＝∠BAF＝30°，∴∠DAG＋∠BAE＝∠BAE＋∠EAF，∴∠DAG＝∠EAF，
∴△DAG∽△EAF，∴＝，∴＝，∴EF＝，
∴CE＝CF＋EF＝2＋＝．
综上所述，CE的长为或．