人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第2课时教案及反思

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第2课时教案及反思，共10页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1.会利用椭圆的简单几何性质求椭圆的离心率；
2.通过数形结合，掌握判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系的方法；
3.理解椭圆弦长公式的推导过程，会利用弦长公式求椭圆的弦长；
4.掌握利用点差法求中点弦的斜率.

二、教学重难点
重点：直线与椭圆的位置关系的判断、弦长公式.
难点：灵活运用曲线方程研究曲线的几何性质相关问题.

三、教学过程
复习导入
师生活动：教师提出问题，引导学生进行回顾与思考.
回顾：根据所学的椭圆的简单几何性质的有关知识，填写下表：
总结：1.椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系：
（1）椭圆的焦点决定椭圆的位置；
（2）椭圆的范围决定椭圆的大小；
（3）对称性是椭圆的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与其对称轴的交点，是椭圆的重要特殊点，在画图的时候先确定这些点.
2.a，b，c的几何意义
长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边，这就说明，以椭圆的任意一个短轴端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形，且短轴端点与焦点的连线长为a.
设计意图：通过复习上一节课的内容，巩固椭圆有关的基础知识，为本节课进一步深入研究椭圆的几何性质相关的问题作铺垫.
（二）探究新知
任务1：椭圆离心率的求法
探究1：已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线AB过F1与椭圆交于A，B两点，若△F2AB为正三角形，求该椭圆的离心率.

师生活动：教师给出探究问题，学生分析，自主作答，教师评价.
分析：本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆离心率的求解等知识．
设椭圆方程，根据椭圆的对称性可得AB垂直于x轴，结合椭圆的定义，转化求解离心率即可．
解：不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则
AF1=2a−AF2，BF1=2a−BF2，
因为∆F2AB为正三角形，即|AF2|=|BF2|，所以AF1=BF1，即F1为线段AB的中点，
根据椭圆的对称性知AB垂直于x轴，
设F1F2=2c，则AF1=2c⋅tan30°=2 3c3，AF2=2ccs30°=4 3c3，
所以2 3c3+4 3c3=2a，即2 3c=2a，所以e=ca= 33．
总结：求椭圆离心率的值或取值范围的方法(1)：
直接法：若已知a,c的值，则可直接利用e=ca求解；若已知a,b或b,c，则可借助
a2=b2+c2求出c或a，再代入公式e=ca求解.
设计意图：通过探究学习，让学生掌握根据椭圆的几何性质求椭圆的离心率的方法，培养学生的逻辑推理的核心素养.
探究2：已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，左焦点F到直线AB的距离为b 7．求该椭圆的离心率e.
师生活动：学生作答，教师评价.
分析：本题考查了点到直线的距离公式、椭圆的几何性质及离心率的求法，对计算能力有一定要求.由点到直线的距离公式列出方程，再结合b2=a2−c2，化简计算得到关于e的二次方程，解方程即可求出离心率，注意e∈(0,1).
解：依题意得，直线AB的方程为x−a+yb=1，即bx−ay+ab=0，
设点F(−c,0)到直线AB的距离为d，
∴d=|−bc+ab| a2+b2=b 7，
∴5a2−14ac+8c2=0,得8e2−14e+5=0,
∵e∈(0,1)，
∴e=12或e=54(舍去)，
故椭圆的离心率为12．
总结：求椭圆离心率的值或取值范围的方法：
方程法：若a,c的值不可求，则可根据条件建立a,b,c的关系式，借助a2=b2+c2，将它转化为a,c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式进行化简，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
设计意图：通过探究2的学习，帮助学生巩固根据椭圆的几何性质求椭圆离心率的方法.
任务2：点与椭圆的位置关系的判断
思考：类比点与圆的位置关系，猜想：点与椭圆的位置关系如何判断?
师生活动：学生举例说明，师生共同得出结论.
答：有两种方法：
(1)根据椭圆的定义判断点P与椭圆的位置关系：
PF1+PF22a⇔点在椭圆外部.
(2)根据标准方程（以x2a2+y2b2=1a>b>0为例）判断点P与椭圆的位置关系：
点Px0,y0在椭圆内⇔x02a2+y02b21；
设计意图：让学生从数与形的角度认识点与椭圆的位置关系.
任务3：直线与椭圆的位置关系的判断
思考：类比直线与圆的位置关系，猜想：直线与椭圆的位置关系有几种?如何判断呢?
师生活动：学生举例说明，师生共同得出结论.
答：直线与椭圆的位置关系有三种：相交、相离、相切.如图所示.
思考：直线与椭圆的位置关系与直线与椭圆的交点个数是否是等价对应的?为什么？
答：等价对应.
因为若已知直线的方程和椭圆的方程，可通过联立方程，消去未知数y，得到关于x的一元二次方程，由一元二次方程的解的情况，即计算∆的值来判断直线与椭圆的位置关系.
当∆>0，即一元二次方程有两个不相等的实数根时，直线与椭圆相交；
当∆>0，即一元二次方程有两个相等的实数根时，直线与椭圆相切；
当∆0，得−25b>0)上一动点，F1、F2分别为其左右焦点，直线PF1与C的另一交点为A，△APF2的周长为16.若PF1的最大值为6，则该椭圆的离心率为( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
解：由题意，得△APF2的周长为AF1+AF2+PF1+PF2=2a+2a=4a=16，则a=4，
PF1的最大值为a+c=6，则c=2，
故该椭圆的离心率为ca=24=12．
故选：C．
2.已知F1，F2是椭圆C:x216+y212=1的两个焦点，点P在C上，且|PF2|=3，则△PF1F2的面积为( )
A. 3B. 4C. 6D. 10
解：∵椭圆C:x216+y212=1，
∴a=4，b=2 3，
则c= a2−b2=2，
∴|PF1|+|PF2|=2a=8，
∵|PF2|=3，
∴|PF1|=8−3=5，
且|F1F2|=2c=4，
∴PF22+F1F22=PF12，
∴PF2⊥F1F2，
∴S△PF1F2=12|PF2||F2F1|=12×3×4=6．
故选：C．
3.椭圆x23+y2=1被直线x−y+1=0所截得的弦长|AB|= ．
解：联立x−y+1=0x23+y2=1，消去y并整理得，4x2+6x=0，
解得x=0或x=−32，
所以弦长|AB|= 2·|0+32|=32 2，
故答案为3 22．
4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为10，焦距为6．
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为14,15，求l的方程．
解：(1)设C的焦距为2c(c>0)，长轴长为2a，
则2a=10,2c=6，
所以a=5,c=3，所以b2=a2−c2=16，
所以C的方程为x225+y216=1．
(2)设Ax1,y1,Bx2,y2，
代入椭圆方程得x1225+y1216=1x2225+y2216=1
两式相减可得x1+x2x1−x225=−y1+y2y1−y216，
即y1+y2y1−y2x1+x2x1−x2=−1625．
由点14,15为线段AB的中点，
得x1+x2=12,y1+y2=25，
则l的斜率k=y1−y2x1−x2=−1625×x1+x2y1+y2=−1625×54=−45，
所以l的方程为y−15=−45x−14，
即4x+5y−2=0．
设计意图：通过课堂练习，帮助学生进一步巩固本节可所学的内容，提高学生解决问题的能力.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过课堂小结，帮助学生进一步巩固本节课的知识，构建自己的知识体系.标准方程
x2a2+y2b2=1a>b>0
y2a2+x2b2=1a>b>0
图形
焦点坐标
对称性
顶点
坐标
范围
长轴、短轴