福建省福州第一中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)

这是一份福建省福州第一中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（完卷120分钟 满分150分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分；共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．正比例函数的图象经过（ ）
A．第一、二象限B．第二、四象限C．第一、三象限D．第二、三象限
3．如图，在平行四边形中，已知，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下图是描述某校足球队员年龄的条形图，则这个足球队员年龄的中位数和众数分别是（ ）
A．14，14B．14.5，14C．15，15D．14.5，15
6．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．平行四边形的对角线相等
D．对角线相等的平行四边形是矩形
7．如图，直线与直线交于点，点的横坐标为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排3天，每天安排12场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，矩形对角线相交于点平分交于点，过点作交于点，连接，若，，则的长为（ ）
A．1B．C．D．
10．荡秋千不仅可以增进健康，而且可以培养勇敢精神，为人们特别是儿童所喜爱．已知小明某次荡秋千，秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图所示．结合图象，下列结论正确的有（ ）
①变量是变量的函数；
②秋千静止时，最低点离地面的高度是；
③秋千摆第二个来回需；
④秋千离地面的高度随着摆动时间的增大而减小．
A．①②③B．①②③④C．①③④D．②③
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．已知点都在函数（为常数）的图象上，若，则 （用“”或“”填空）．
12．如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则 ．
13．一组数据的方差为，另一组数据的方差为，那么 （填“”、“”或“”）．
14．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为 ．
15．已知直线，则该直线一定经过第 象限．
16．如图，在菱形中，为边的中点，为边上一动点（不与点重合），点是菱形内的一点，且点点与关于直线对称，连接，当为直角三角形时，的长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，边上，且，连接，．求证：．
19．某校为了解本校学生周末校外体育活动情况，随机对本校100名学生周末某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分，四组整理如下：
根据以上信息解答下列问题：
(1)_____；
(2)通过计算，请估计本校学生周末平均每天的校外体育活动时间；
(3)若该校共有1200名学生，请估计该校周末每天校外体育活动时间不少于1小时的学生人数．
20．某杜团准备采购实验材料，据了解，甲商家对该实验材料的售价根据购买量给予优惠，而乙商家按40元/件的价格出售该实验材料，设该社团需购买此实验材料件，在甲商家需付款件，与之间的函数关系如图所示：
(1)当和时，求关于的函数解析式；
(2)设社团需购买该实验材料件，经过社团成员小明的计算，发现在甲商家购买更省钱，求的取值范围．
21．关于的一元二次方程．
(1)如果方程有实数根，求的取值范围；
(2)如果是这个方程的两个根，且，求的值．
22．一间花店因举行七周年店庆：现将原价每支元的A种玫瑰花，连续两次降价后每支以元的价格销售，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)将A、B两种玫瑰花（现售价和进价如下表格）共支包成一束整体销售，若此花束的成本不超过元，如何搭配A、B两种玫瑰花的数量，才能使此花束的利润最大？
23．在矩形纸片中，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．
(1)尺规作图：求作折痕；
(2)若，求的值．
24．如图1，在边长为5的正方形中，点是线段上的动点，连接，过点作交于，垂足为，连接．
(1)当点为的中点时，
①求的值；
②求证：；
(2)如图2，若是的中点，连接，求的最小值．
25．如图1，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，与交于点．

(1)求点的坐标；
(2)若点为直线上一点，若，求满足条件的点的坐标；
(3)如图2，已知为四边形内一点，连接，记的面积分别为，若点的坐标为，则是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程，叫做一元二次方程逐项进行判断即可．
【详解】解：A、未知数的次数为1，不是一元二次方程，不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、,是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键．
根据时，正比例函数图象经过第一、三象限，时，正比例函数图象经过第二、四象限，判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴正比例函数图象经过第二、四象限，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，根据平行四边形的性质可知，，据此求出、的长，利用勾股定理求出的长即可．找到平行四边形中的直角三角形是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，，，
∴，，
∴在中，
，
∴的长为．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤进行求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
5．D
【分析】本题考查中位数、众数，根据中位数、众数的定义进行计算即可求解．
【详解】解：由条形统计图可知，有20名足球队员，
这20名足球队员年龄出现次数最多的是15岁，共出现8次，因此众数是15岁；
将这20名足球队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的2个数是14岁和15岁，
因此中位数岁
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查了菱形，平行四边形，矩形的判定，根据菱形，矩形和平行四边形的判定定理是解题即可．
【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，不符合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，原说法错误，不符合题意；
C、平行四边形的对角线不一定相等，原说法错误，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，不等式的解集，就是指直线y= -直线在直线的上方的自变量的取值范围．
【详解】解：由图像可知，当时，直线在直线的上方，
的解集为，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共36场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，
根据题意得：，
故选：B．
9．C
【分析】由角平分线的定义可得，则为等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形三线合一的性质得，进而易求得，的长，由三角形中位线定理易知为的中位线，则可求出结果．
【详解】解：四边形为矩形，，
，，
平分，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，即点F、O分别为的中点，
为的中位线，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义、等腰直角三角形的性质、三角形中位线的判定与性质，勾股定理，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的三线合一性质得到，进而得出为的中位线，的中位线是解题关键．
10．A
【分析】本题考查了由函数图象读取信息，由函数的定义，结合图象逐项分析判断即可.
【详解】解：由函数的定义，结合图象可知，变量是变量的函数，故①正确；
有图象可知，秋千静止时，最低点离地面的高度是，故②正确；
从最高点开始向前和向后，再返回到最高点，为一个来回，由图象可知，第二个来回需要的时长为，故③正确；
有图象可知，秋千离地面的高度随着摆动时间的变化而周期变化的，不是随着摆动时间的增大而减小，故④错误；
综上所述，正确的有：①②③，
故选：A.
11．
【分析】本题考查了一次函数值的大小比较，根据一次函数的增减性进行比较即可．
【详解】解：函数中，
，
随x的增大而减小，
，
，
故答案为：．
12．4
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题；
【详解】解：如图，
∵△ABC是直角三角形，CD是斜边中线，
∴CDAB，
∵CD＝2，
∴AB＝4，
故答案为4．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是记住直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13．
【分析】本题考查了平均数，方差的求解，根据方差的定义分别求出两组数据的方差，再进行比较即可．
【详解】解：第一组的平均数为，
则方差为，
第二组的平均数为，
则方差为，
，
故答案为：．
14．1
【分析】由a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则a2﹣2a＝1，然后将2a2﹣4a﹣1化为2（a2﹣2a）﹣1，最后将a2﹣2a＝1代入计算即可．
【详解】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣2a＝1，
∴2a2﹣4a﹣1
＝2（a2﹣2a）﹣1
＝2×1﹣1
＝1．
故答案为1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和代数式求值，正确理解一元二次方程的解的含义是解答本题的关键．
15．一
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，判断点所位于的象限，令k的系数等于0求出x的值，再求出y的对应值即可求出直线过定点，即可判断直线一定经过的象限．
【详解】解：直线，可化为：，
即直线过定点，
位于第一象限，
则该直线一定经过第一象限，
故答案为：一．
16．3或
【分析】分为三种情况讨论，① 当时， 设的中点为点R，连接，由直角三角形的性质可得，证明四边形是平行四边形，根据，可得点P、E、R三点共线，可证得，由轴对称的性质可得，，证得是等边三角形，可得；②当，连接，证明P、C、E三点共线，过点E作于点F，设，由含30度角直角三角形的性质和勾股定理，由三线合一得，构造方程求解；③当时，点E在菱形外部，不合题意．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，与均为等边三角形，
当时，如图所示，
设的中点为点R，连接，
∵，R为的中点
∴，
∵点P为边的中点，
∴，
由点点与关于直线对称可得，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴点P、E、R三点共线，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由点点与关于直线对称可得，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
当，如图所示，连接，
∵，
∴，
∵为等边三角形，点P为边的中点，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴P、C、E三点共线，
过点E作于点F，设，
由点点与关于直线对称可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，
∵
∴
解得：，即，
当时，点E在菱形外部，不合题意，
综上，的长为3或，
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、菱形的性质、三点共线、平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质；本题综合性强，注意分类讨论．
17．(1)，；
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键：
（1）利用直接开平方法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【详解】（1）解：，
等号两边开平方，得或，
解得，；
（2）解：，
∴或
，．
18．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．先证明四边形是平行四边形，从而得到，从而即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点E，F分别在边上，，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
19．(1)50
(2)本校学生周末平均每天的校外体育活动时间大约为分钟
(3)体育活动时间不少于1小时的学生人数大约有720名
【分析】本题考查了有理数减法的应用，平均数的求解，样本估计总体，熟练掌握各个定义是解答本题的关键．
（1）用总人数减去的人数即可求解；
（2）取每个时间段的中间时间，求解平均数即可；
（3）用活动时间为的人数除以100人，再乘以1200，即可得出结果．
【详解】（1）解：（名），
故答案为：50；
（2）取每个时间段的中间时间进行估计，
（分钟），
则本校学生周末平均每天的校外体育活动时间大约为分钟
（3）（名），
答：体育活动时间不少于1小时的学生人数大约有720名．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数图像读取信息，一次函数解析式的求解，一元一次不等式的应用，准确读取函数图像信息是解答本题的关键．
（1）根据函数图像读取的信息，利用待定系数法求解即可；
（2）根据甲商家购买更省钱，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：当时，设，
根据题意得：，
解得：，
当时，设，
根据题意得：，解得：，
，
综上所述，关于的函数解析式为；
（2）当时，
在甲商家购买产品，即44元/件的价格，大于乙商家40元/件的价格，不合题意，
当时，
乙商家购买的价格为，甲商家购买的价格为，
，
解得：．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式是解题的关键．
（1）由题意知，计算求解即可；
（2）由题意知，，，由，可得，即，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得，；
（2）解：由题意知，，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴的值为．
22．(1)
(2)搭配A、B两种玫瑰花的数量各为5支时，利润最大
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键．
（1）设每次下降的百分率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可；
（2）设A种玫瑰花的数量为，利润为，则B种玫瑰花的数量为，依题意得，， ，然后根据一次函数的图象与性质，求解作答即可．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴每次下降的百分率为；
（2）解：设A种玫瑰花的数量为，利润为，则B种玫瑰花的数量为，
依题意得，，
解得，，
，
∵，
∴当时，利润最大，
∴，
∴搭配A、B两种玫瑰花的数量各为5支时，利润最大．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了翻折变换(折叠问题)、作垂直平分线，矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）直接作线段的垂直平分线即可；
（2）由矩形的性质先证明四边形是菱形，设，，利用勾股定理求出对角线，设，则，，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长，再由可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）四边形是矩形，
，
设与交于点O，
由题意可得，，
，
，
四边形是平行四边形，
由折叠可知，，
四边形是菱形，
设，则，
，，
，
，
设，则，，
在中，
，即，
解得：，
在中，
，
，
．
24．(1)①；②见解析
(2)
【分析】（1）①通过证明，即可得到．
②延长交延长线于R，先证明，在通过直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，根据等边对等角，结合平行线性质即可得出结论；
（2）取中点O，连，取中点G，连，作与点T，延长线交于H，根据矩形的判定与性质得到，，证明，得到，，利用勾股定理求出的长，根据中位线性质得到得到，最后根据由两点间直线段最短可知，
即可得到结果．
【详解】（1）解：①，
，
，
，
，
，，
，
；
②如图，延长交延长线于R，
由①可知，，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，取中点O，连，取中点G，连，作与点T，延长线交于H，
则四边形为矩形，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
为中点，为中点，
，
由两点间直线段最短可知，
，
当在一条直线上，有最小值．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
25．(1)
(2)或
(3)是定值，这个定值是
【分析】本题考查了两直线的交点，坐标与图形．熟练掌握两直线的交点，坐标与图形是解题的关键．
（1）联立得，，计算求解，进而可求点坐标；
（2）当时，，即，；当时，，可求，则，；设，则，，即，计算求解，然后作答即可；
（3）如图2，作轴，交于，作轴，交于， 当时，，即；当时，，可求，则，，，根据，求解作答即可．
【详解】（1）解：联立得，，
解得，，
∴；
（2）解：当时，，即，；
当时，，
解得，，
∴，；
设，则，，
∵，
∴，
解得，或，
∴或；
（3）解：如图2，作轴，交于，作轴，交于，
当时，，即；
当时，，
解得，，
∴，
∴，，
∵，
∴是定值，这个定值是．
组别
体育活动时间/分钟
人数
10
30
10
种玫瑰花
种玫瑰花
进价（元）
售价（元）