2024年四川省泸州市龙马潭区中考二模数学试卷(解析版)

这是一份2024年四川省泸州市龙马潭区中考二模数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列4个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2. 近几年，雅安市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，年突破亿大关．亿这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】亿，
故选：B．
3. 一个正六边形的边长为6，则它的边心距是（ ）
A. 3B. C. D. 12
【答案】C
【解析】如图，正六边形的中心是O，一边是，过O作与G，
则：，，，
∴为等边三角形，，
∴，
∴，即边心距是；
故选C．
4. 小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2=70°，则∠1=（ ）
A. 22°B. 20°C. 25°D. 30°
【答案】B
【解析】如图，过F作FG∥AD，则FG∥BC，
∴∠2=∠EFG=70°，
又∵∠AFE=90°，
∴∠AFG=90°-70°=20°，
∴∠1=∠AFG=20°，
故选：B．
5. 若式子有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A. m＞﹣2B. m＞﹣2且m≠1
C. m≥﹣2D. m≥﹣2且m≠1
【答案】D
【解析】由题意可知：，∴m≥﹣2且m≠1，
故选D．
6. 某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（ ）
A. 1.2和1.5B. 1.2和4
C. 1.25和1.5D. 1.25 和4
【答案】A
【解析】10名学生的每天阅读时间的平均数为；
学生平均每天阅读时间出现次数最多的是1.5小时，共出现4次，因此众数是1.5；
故选：A．
7. 关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由得：，
由得：，
∵不等式组恰好有3个整数解，∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴，解得，
故选：B．
8. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 2﹣B. 2﹣C. 4﹣D. 4﹣
【答案】A
【解析】如图，过A作AE⊥BC于E，
∵AB=2，∠ABC=30°，
∴AE=AB=1，
又∵BC=4，
∴阴影部分的面积是×4×1-=2-π，
故选A．
9. 已知，．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
依题意得：，．∴，∴，
故选：C．
10. 如图，，分别与相切与点A，B，E，连接并延长与的延长线相交于点F．已知，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，
分别与相切与点，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，，
在中，，
，．
故选：A．
11. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH=AM=×2=，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH=，
∴AB=2+，
∴AC=AB=（2+）=2+2，
∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴，即，
∴ON=1．
故选：C．
12. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（﹣，﹣），（﹣，﹣），…，都是和谐点．若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，m的取值范围是（ ）
A. m≤4B. m≥2
C. 2≤m≤4D. 2＜m＜4
【答案】C
【解析】将点代入得：，即，
二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
二次函数与有且只有一个交点，
关于的一元二次方程只有一个实数根，
此方程根的判别式，即，
联立，解得，
则函数为，
当时，，解得或，
画出二次函数的图象如下：
则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，取得最大值，最大值为1，
当时，函数的最小值为，最大值为1，
，
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 已知点与点关于原点对称，则的值为______．
【答案】3
【解析】点与点关于原点对称，
，，
故．
故答案为：3．
14. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______．
【答案】．
【解析】画树状图得：
∵共有6种等可能结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，∴能让灯泡L1发光的概率为：=．
15. 已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是_____．
【答案】7
【解析】∵a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴
∵，
∴当时，函数有最小值，最小值为7．
16. 如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是______．

【答案】
【解析】连接，

∵正方形，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为圆心，2为半径的上，
如图，当在对角线延长线上时，最大，

在中，，∴，
即长度的最大值为.
三、解答题（本大题共3个小题，每题6分，共18分）
17. 计算．
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中
解：原式，
当时，原式．
19. 如图，已知，，，试证明：．
证明：，，
，，
在与中，，，
，．
四、解答题（本大题共2个小题，每题7分，共14分）
20. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们的喜欢，为了抓住商机，某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元，用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元．
（2）若该商店计划购进这两种纪念品共150件，且B种纪念品的数量不超过A种纪念品数量的2倍，设购进A种纪念品为m件，总费用为w元，请设计出最省钱的购进方案．
解：（1）设每件A纪念品的进价为x元，则每件B纪念品的进价为元．
根据题意，得，解得，
经检验是原方程的解，
∴，
答：每件A纪念品的进价为50元，每件B纪念品的进价为20元．
（2）设购进A纪念品m件，购进A、B两种纪念品的总费用为W元．
则购进B纪念品件．
根据题意，得．
∵B的数量不超过A的2倍，
∴，∴．
∵，∴W随m的增大而增大．∴当时，W最小．
此时，
答：当购进A纪念品50件，B纪念品100件时，总费用最少．
21. 为庆祝中国共产党成立周年，文昌中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
各组别人数占比情况
（1）分别求，的值；
（2）若把每组中各学生的成绩用该组数据的组中值代替（如～的组中值为），估计全校学生的平均成绩；
（3）现要将组的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用数状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率．
解：（1）由题意得：，则，
（2）（分），
即估计全校学生的平均成绩为82.5分；
（3）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有4种，
甲、乙两位同学分到同一组的概率为．
五、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分）
22. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、且与x轴相交于点D，过A点作AC⊥x轴，垂足为C．
（1）求出一次函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点P是一次函数图象上的动点，若把分成面积比等于的两部分，求点P的坐标．
解：（1）∵点在反比例函数的图象上
，反比例函数为，
∵反比例函数的图象经过点，，，
，，把A、B的坐标代入，
得，解得，
一次函数的解析式为．
（2）观察图象，不等式的解集为：或．
（3）作于M，轴于N，轴于F，则，设与y轴交于点E，
．
，，，，．
把分成面积比等于2：3的两部分，
同理，
把分成面积比等于2：3的两部分，
∵直线交坐标轴于D、E，
，，
∵把分成面积比等于2：3的两部分，
或．
23. 在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算建筑物的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：）
解：作交于点E，作交于点F，
作交于点H，
则，，，
∵，∴设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴，，
∴，，
设，则，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：该建筑物的高度约为31.9m．
六、解答题（本大题共2个小题，每题12分，共24分）
24. 如图，是的直径，是的弦，，垂足是点H，过点C作直线分别与，的延长线交于点E，F，且．
（1）求证：是的切线．
（2）如果，
①求的长．
②求的面积．
解：（1）连接、，如图，
∵是的直径，
∴，，
∵，
∴平分弦，平分，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是切线；
（2）①∵，，
∴在（1）的结论中有，，
∴在中，，
同理利用勾股定理，可求得，，
∴，，即，
中，，
∵是的切线，
∴，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴，
②过F点作，交的延长线于点P，如图，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，，，，
∴，解得：，
∴，
故的面积为．
25. 如图，抛物线经过点，且交x轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点D作轴，垂足为M，点P在直线下方抛物线上运动，过点P作，，求的最大值，以及此时点P的坐标．
（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程．
解：（1）把，代入中得：
，∴，
∴抛物线解析式为；
（2）设直线解析式为，设交于H，
∴，∴，
∴直线解析式为，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴
∴
（3）∵抛物线交y轴于点C．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于把原抛物线向上平移个单位长度，再向左平移1个单位长度，
∵原抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线解析式为；
如图所示，取点，连接，
∵，，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴与抛物线 的交点即为点G，
同理可得直线的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），
∴点G的坐标为；
同理当取点时，可证明是等腰直角三角形，且，
∴，
∴与抛物线 的交点即为点G的位置，
同理可得直线的解析式为，
连接得，
解得或（舍去），
∴点G的坐标为；
综上所述，点G的坐标为或．
课外阅读时间（小时）
0.5
1
1.5
2
人数
2
3
4
1
组别
成绩范围
频数
A
2
B
C
9
D