2022年四川省泸州市龙马潭区中考数学一模试卷（含解析）

2022年四川省泸州市龙马潭区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 新型冠状病毒属于属的新型冠状病毒，有包膜，颗粒呈圆形或者椭圆形，常为多形性，最大直径约米，将用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是

A.
B.
C.
D.

4. 下列各式中，计算错误的是

A.  B.  C.  D.

5. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是

A.  B.  C.  D.

6. 今年月，我市某公司举行考试招聘，其中名应聘者的基本能力得分如下表所示：

则这名应聘者的基本能力得分的众数、中位数分别是

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

7. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是

A. 对角线互相垂直 B. 两组对角分别相等
C. 对角线互相平分 D. 两组对边分别平行

8. 如图，中，对角线、相交于点，交于点，连接，若的周长为，则的周长为

A.  B.  C.  D.

9. 已知关于的方程无解，则实数的取值是

A.  B.
C.  D.

10. 如图，为的直径，弦于点，于点，若，，则的长度是

A.
B.
C.
D.

11. 如图，正方形中，，分别在边，上，，相交于，若，，则的值是

A.
B.
C.
D.

12. 抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12分）

13. 把多项式分解因式的结果是______．
14. 不等式的非负整数解是______．
15. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则______．
16. 如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则面积的最小值是______．
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：．
18. 化简：．
19. 如图，已知点、、、在同一条直线上，，，求证：．
    
     

20. 我市在创建全国文明城市过程中，决定购买，两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买种树苗棵，种树苗棵，要元；若购买种树苗棵，种树苗棵，则需要元．
    求购买，两种树苗每棵各需多少元？
    考虑到绿化效果和资金周转，购进种树苗不能少于棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过元，若购进这两种树苗共棵则有哪几种购买方案？
21. 为庆祝中国共产党建党周年，我区某校组织全校名学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：级为特等奖，级为一等奖，级为二等奖，级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：
    
    本次被抽取的部分人数是______ 名；
    扇形统计图中表示级的扇形圆心角的度数是______ ，并把条形统计图补充完整；
    根据抽样结果，请估计该校获得特等奖的人数为______ 名；
    某班有名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率．
22. 学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．结果精确到参考数据：，，，
    求灯杆的高度；
    求的长度．

23. 如图，已知反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过反比例函数图象上的点．
    求反比例函数与一次函数的表达式；
    一次函数的图象分别与轴、轴交于、两点，与反比例函数图象的另一个交点为点，连结、，求的面积．
24. 如图，为的直径，为的切线，为弦，连接，，交于点，交于点，连接，，且．
    求证：为的切线；
    若，求证：；
    在的条件下，若，求、的长及的面积．
25. 如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点
    求抛物线的解析式；
    点在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积．
    直线经过、两点，点在抛物线位于轴左侧的部分上运动，直线经过点和点，是否存在直线，使得直线、与轴围成的三角形和直线、与轴围成的三角形相似？若存在，求出直线的解析式，若不存在，请说明理由．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义可知．
主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

2.【答案】

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：从左边看有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形．
故选：．
找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

4.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故选：．
利用关于轴对称点的坐标特点可得答案．
此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
 

6.【答案】

【解析】解根据表中数据可知，得分的人数最多，故众数为，
中位数为第个和第个得分的平均数，第个数为，第个数为，故中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义解答即可．
本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解答此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：、正确．对角线互相垂直是菱形具有而平行四边形不具有的性质；
B、错误．两组对角分别相等，是菱形和平行四边形都具有的性质；
C、错误．对角线互相平分，是菱形和平行四边形都具有的性质；
D、错误．两组对边分别平行，是菱形和平行四边形都具有的性质；
故选：．
本题考查菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，属于中考基础题．
根据菱形、平行四边形的性质一一判断即可．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，解答本题的关键是判断出 是线段 的中垂线．先判断出 是 的中垂线，得出 ，从而可得出 的周长 ，再由平行四边形的周长为 ，即可得出答案．
【解答】
解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
平行四边形的周长为 ，
，
，
是线段 的中垂线，
，
的周长 ．   

9.【答案】

【解析】解：关于的方程，去分母得，
，
整理得，，
由于关于的方程无解，
所以，或产生增根，
当时，的值不存在，当时，，
因此或，
故选：．
将关于的分式方程去分母，整理成整式方程，使整式方程未知数的系数为，或是分式方程产生增根即可．
本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程产生增根的意义是解决问题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：于点．
．
，．
．
．
，．
∽．
，即：．
．
．
．
故选：．
根据垂径定理求出可得的长度，利用∽，求出，即可求解．
本题考查垂径定理，三角形相似的判定和性质、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．
 

11.【答案】

【解析】解：如图，延长，交于点，

，
设，，
则，
，
∽，
，
，，
，
∽，
，
设，，
，，
，
故选B．
通过证明∽，可得，，通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点，正确作出辅助线并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】本题考查抛物线与 轴的交点，二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．
根据给出的对称轴求出函数解析式为 ，将一元二次方程 的实数根可以看作 与函数 的有交点，再由 的范围确定 的取值范围即可求解．
【解答】解： 抛物线 的对称轴为直线 ，
，
，
一元二次方程 的实数根可以看作 与函数 的有交点，
方程在 的范围内有实数根，
当 时， ；
当 时， ；
函数 在 时有最大值 ；
．
故选： ．   

13.【答案】

【解析】解：，
故答案为：．
先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
本题考查了提公因式法和公式法进行分解因式，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
 

14.【答案】，，，

【解析】解：解不等式可得：，
不等式的非负整数解为、、、；
故答案为：、、、．
先求不等式的解集，然后确定不等式的非负整数解．
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：根据题意得：
，
解得：，
，，



，
解得：符合题意，
故答案为：．
根据“已知，是关于的一元二次方程的两个实数根”，得到，得到关于的一元一次不等式，解之即可得到的取值范围，根据根与系数的关系，结合“”，得到关于的一元一次方程，解之即可．
本题考查了根与系数的关系，正确掌握判别式公式和根与系数的关系是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：设与的切点为点，连接，当与相切时，最短，此时面积的最小，如下图，

四边形为矩形，
，，，
，
是的切线，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
∽，
，
设，则，，
，
，
解得舍或，
，
面积的最小值为：，
故答案为：．
设与的切点为点，连接，当与相切时，最短，此时面积的最小，先根据勾股定理求得，再由三角形的面积求得，进而证明∽，得相似比，根据相似比设出，进而由勾股定理列出的方程，求得的值，便可求得结果．
本题主要考查了矩形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形的面积公式，关键是确定最短时点的位置．
 

17.【答案】解：

．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：


．

【解析】将分式的分子分母分解因式，将括号内的式子通分，然后先约分第一个分式，再加括号内的式子的结果，然后计算即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
在和中，，
≌；
，
，
即．

【解析】【试题解析】

欲证，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而可以得出，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得，都减去一段即可得证．本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．
本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．

20.【答案】解：设购买种树苗每棵需元，种树苗每棵需元，
依题意得：，
解得：．
答：购买种树苗每棵需元，种树苗每棵需元．
设购进种树苗棵，则购进种树苗棵，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，
共有种购买方案，
方案：购进种树苗棵，种树苗棵；
方案：购进种树苗棵，种树苗棵．

【解析】设购买种树苗每棵需元，种树苗每棵需元，利用总价单价数量，结合“购买种树苗棵，种树苗棵，需要元；购买种树苗棵，种树苗棵，需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进种树苗棵，则购进种树苗棵，利用总价单价数量，结合“购进种树苗不能少于棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

21.【答案】   

【解析】解：本次抽样测试的人数是名，
故答案为：；
扇形统计图中表示级的扇形圆心角的度数是，
条形图中，级的人数为：名，
故答案为：，
把条形统计图补充完整如图：

估计该校获得特等奖的人数为：名，
故答案为：；
把小利、小芳、小明、小亮分别记为、、、，
画树状图如图：

共有个等可能的结果，小利被选中的结果有个，
小利被选中的概率为：．
由级的人数和所占百分比即可求解；
由乘以级所占的比例即可；
全校学生名乘以获得特等奖的人数所占的比例即可；
画树状图，由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
 

22.【答案】解：延长交于点，
则，
在中，，，
，，
在中，，
，
；
在中，，
，
．

【解析】延长交于点，根据直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可；
根据正切的定义求出，进而求出．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．
 

23.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，解得，故反比例函数的表达式为，
一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
，解得，
一次函数的表达式；
由，解得或，
点，
在一次函数中，令，得，解得，故点，
．

【解析】根据待定系数法，将点的坐标分别代入两个函数的表达式中求出待定系数，可得答案；
利用的面积减去的面积．
本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标问题，用待定系数法求出函数表达式是解题的关键，转化思想是解题关键，将三角形的面积转化成两个三角形的面积的差．
 

24.【答案】证明：如图，连接、，

是的切线，
，
在和中，
，
≌，
，
是圆的半径，
为的切线；
证明：是的切线，
由弦切角定理可得：，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
解：如图，设与的交点为，

，，
垂直平分，
，．
，
是的中位线．
，
，
．
．
，，
∽．
．
设，则，
．
．
解得：．
，
．
．
，，
∽．
．
．
的面积．

【解析】连接、，利用切线的性质，通过证明≌，得到，则利用切线的判定定理即可得出结论；
利用弦切角定理和相似三角形的判定定理即性质定理解答即可得出结论；
设与的交点为，利用切线长定理和线段垂直平分线的判定定理，得到垂直平分；利用三角形的中位线定理和相似三角形的判定定理与性质定理，设，列出方程即可求得的长；利用∽，得出比例式，求得圆的半径的平方，利用圆的面积公式即可得出结论．
本题主要考查了圆的切线的判定与性质，切线长定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆的面积，连接过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

25.【答案】解：
把、两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
抛物线解析式为；
如图，连接，过作轴的平行线，交于点，交轴于点，

在中，令可得，解得或，
点坐标为，
，且，
，
，，
直线解析式为，
设点坐标为，则点坐标为，
点在第四限，
，
，
当有最大值时，的面积最大，则四边形的面积最大，
，
当时，，则，
此时点坐标为，，
即当点坐标为时，四边形的面积最大，最大面积为；
当点在轴下方时，如图，设直线交轴于点，交直线于点，

则，
当和相似时，必有，
又，
，
，
在和中

≌，
，
点坐标为，
设直线解析式为，把、两点坐标代入可得，解得，
直线解析式为；
当点在轴上方时，此时直线与中的直线关于轴对称，
解析式为；
综上可知存在满足条件的直线，其解析式为或．

【解析】由、两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
连接，则的面积是不变的，过作轴，交于点，设出点坐标，可表示出的长，可知当取最大值时的面积最大，利用二次函数的性质可求得点的坐标及四边形的最大面积；
设直线与轴交于点，交直线于点，由于，所以当和相似时，必有，则可证得≌，可求得的长，可求出点坐标，利用、两的点坐标可求得直线的解析式．
本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等．在中确定出的值最大时四边形的面积最大是解题的关键，在中确定出满足条件的直线的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第问和第问难度较大．