甘肃省靖远县第一中学2024-2025学年高三上学期高考模拟（11月月考）数学试题

这是一份甘肃省靖远县第一中学2024-2025学年高三上学期高考模拟（11月月考）数学试题，共14页。试卷主要包含了本卷侧重，本卷怎么考，本卷典型情境题，本卷测试范围，已知抛物线，已知集合，若实数，满足，已知函数的定义域为，，，则等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1．本卷侧重：高考评价体系之创新性．
2．本卷怎么考：①考查新颖的试题设问方式（题3、13）；②考查新颖的试题呈现方式（题7、9）．
3．本卷典型情境题：题3、7、9、14、19．
4．本卷测试范围：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数满足，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若，则实数（ ）
A．B．0C．0或D．0或
3．如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（ ）
A．18B．15C．16D．21
4．在中，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业的岗位分布条形图（图2），则下列结论错误的是（ ）
A．快递行业从业人员中，“90后”占一半以上
B．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的
C．快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多
D．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多
6．已知抛物线：，若抛物线上的点处的切线恰好与圆：相切，则（ ）
A．B．C．D．
7．在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为．关于函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域为B．是偶函数
C．不是周期函数D．是单调递减函数
8．已知函数，将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），从而得到函数的图象，若在区间上恰有一个极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合，若实数，满足：对任意的，都存在，则称是集合的“围栏实数对”．若集合，则下列集合中存在集合的“围栏实数对”的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数的定义域为，，，则（ ）
A．B．C．D．为奇函数
11．如图所示，，，是圆锥底面圆周上的三个点，若是边长为的等边三角形，，，分别为，的中点，为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．B．平面
C．平面D．三棱锥与三棱锥公共部分的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则__________．
13．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，其中点位于第二象限，若，则双曲线的离心率为__________．
14．已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数”．若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）若数列是公比大于1的等比数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
16．（15分）如图所示，在四棱台中，平面，，，，．
（1）记平面与平面的交线为，证明：平面．
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
17．（15分）为圆：上任意一点，另有一点，线段的垂直平分线和半径相交于点．
（1）当点在圆上运动时，求动点的轨迹方程；
（2）直线与相交于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，求证：点到直线的距离为定值．
18．（17分）已知函数．
（1）当时，证明：函数在区间上单调递增．
（2）证明：当时，．
（3）证明：对正整数恒成立．
19．（17分）在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．
（1）若，求．
（2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0时接收台收到信号为0的概率为，发出信号1时接收台收到信号为1的概率为．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：．
高考模拟·数学
参考答案
1．答案A
解题分析 由题意得，即．
2．答案C
解题分析 由题意得，则，解得或．
3．答案A
解题分析 当中间数为3时，有（个）；
当中间数为4时，有（个）．
故共有（个）．
4．答案B
解题分析 ∵在中，，∴，
∴．
5．答案D
解题分析 由题图可知，快递行业从业人员中，“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确；
快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为，超过，所以快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90”后的人数超过总人数的，B正确；
快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为，超过“80前”的人数占总人数的百分比，C正确；
快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为，小于“80后”的人数占总人数的百分比，但“80后”从事技术岗位的人数占“80后”人数的百分比未知，D不一定正确．
6．答案A
解题分析 因为点在抛物线：上，
所以抛物线的方程为．
由，可得，则，
所以抛物线在处的切线斜率为，
则切线方程为，即．
圆：的圆心坐标为，半径为，
又抛物线在点处的切线恰好与圆相切，所以可得，
解得或（舍去）．
7．答案C
解题分析 由，
因为，所以，可得，即，故A项错误；
因为的定义域为，且，所以是奇函数，故B项错误；
，因为是增函数，是增函数且恒为正数，所以是减函数，故是增函数，故D项错误；
由D项可知函数在上单调递增，所以当时，，所以函数不是周期函数，故C项正确．
8．答案B
解题分析 ，
又将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），从而得到函数的图象，
所以，．
当时，，
因为在上恰有一个极值点，所以，解得．
9．答案ABC
解题分析 由题意可知，所有满足题意的有序实数对所构成的集合为，则点分布的范围为以，，，为顶点的正方形及其内部，A，B，C项分别表示直线，圆，抛物线，它们与该正方形及其内部均有公共点，选项D为双曲线，它与正方形没有公共点．
10．答案ABD
解题分析 令，，则，将代入得，即，故A项正确；
由，令，可得，若存在使得，
则上式变为，显然不成立，所以，
又，
，所以，故B项正确；
将整理为，
因为，即，所以，故C项错误；
令，
则，
且，所以为奇函数，故D项正确．
11．答案：ABD
解题分析 因为是等边中边上的高，所以，
因为，，分别是，的中点，所以，显然，故A项错误；
因为三角形是边长为的等边三角形，三角形为等腰三角形，
是的中点，所以，
而，所以，这表明与不垂直，故B项错误；
因为，分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，故C项正确；
连接，交于点，连接并延长，
则由对称性可知必定交于点，
则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥，
因为，分别是，的中点，
所以为的重心，所以，
由上易知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，所以圆锥的高为，
所以，
所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积为，故D项错误．
12．答案
解题分析 因为，
所以，所以．
13．答案
解题分析 设，，．易知，
令，，则，，，解得，则，．
在中，由，得，
则，的离心率为．
14．答案
解题分析 因为且在上单调递减，所以有唯一零点2．
设为函数的一个零点，则，所以，
故函数在区间上有零点，
由，得．
令，，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，，，，
所以，从而．
15．解题分析 （1）设等比数列的公比为，
则解得所以．
（2）因为，所以，
数列的前项和为①，
②，
①式减去②式得，
所以．
16．解题分析 （1）因为，平面，平面，
所以平面．
又平面，平面平面，所以．
因为平面，平面，所以．
在中，，，，
由余弦定理可得，
所以，所以．
因为，平面，
所以平面，所以平面．
（2）因为，平面，所以平面，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
设平面的法向量为，则
令，得，所以．
因为是平面的一个法向量，记平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17．解题分析 （1）由为垂直平分线上的点，可得，因为，
所以，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，所以，，故，所以动点的轨迹方程为．
（2）设，，①当直线斜率不存在时，由椭圆的对称性可知，，，因为以为直径的圆经过坐标原点，故，即，也就是，又点在椭圆上，所以，所以，此时点到直线距离；
②当直线斜率存在时，设：，由消去，可得，所以，，因为以为直径的圆过坐标原点，所以，于是，
又因为，所以，将，代入，整理得．
所以点到直线的距离为．
综上可知，点到直线的距离为定值．
18．解题分析 （1），令，则，
由解得，由解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以函数在区间上单调递增．
（2）当时，，由（1）知，当时，，即，所以．
（3）由（2）知，，所以对于恒成立，
由此，，，
所以，
故．
19．解题分析 （1）因为，所以，
所以．
（2）（ⅰ）记发出信号0和1分别为事件，收到信号0和1分别为事件，
则，，，，
所以，
所以．
（ⅱ）由（ⅰ）知，则，
则．
设，则，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即（当且仅当时取等号），
所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以．题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
A
B
D
A
C
B
ABC
ABD
ABD
0
1
2