河北省示范性高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的概念进行求解.
【详解】.
故选：B
2. 以下函数中，在上单调递增且是偶函数的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本初等函数的单调性和奇偶性，结合选项依次判断即可．
【详解】对于A，函数为奇函数，故选项A错误；
对于B，函数为偶函数，且在上, 单调递减，故选项B错误；
对于C，函数为偶函数，且在上单调递减，故选项C错误；
对于D，函数为偶函数，且在上, 单调递增且恒为正，故在单调递增，故选项D正确．
故选：D
3. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】两函数的定义域和对应法则均相同，为同一函数，对四个选项一一作出判断，得到答案.
【详解】A选项，的定义域为R，的定义域为，
两函数定义域不同，A错误；
B选项，的定义域为，
的定义域为，定义域不同，B错误；
C选项，的定义域为，的定义域为R，
两函数定义域不同，C错误；
D选项，令，解得，故定义域为，
令，解得，故的定义域为，
又，故对应法则相同，故两函数为同一函数，D正确.
故选：D
4. 已知幂函数在区间上单调递减，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用幂函数的定义，得出，根据方程求出的值，然后再将的值代入函数解析式，检验所得函数的单调性，即可得出符合条件的的值．
【详解】由于是幂函数，
所以，解得或.
当时，函数为，满足在上为减函数，符合题意；
当时，函数为，不满足在上为减函数，不符合题意．
故，
故选：A.
5. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】A选项，两边同时除以得到；B选项，两边分别同时乘以和，得到；CD选项，同AB一样，由不等式性质进行推导.
【详解】A选项，因为，所以，两边同时除以得，
，A错误；
B选项，因为，所以两边同时乘以得，两边同时乘以得，
故，B错误；
C选项，因为，，则，C正确；
D选项，因为，所以，
又，故，所以，D错误.
故选：C
6. 已知函数，若，则（ ）
A. 2或-2或-1B. 2或-1C. 2或-2D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】分和两种情况，代入得到方程，舍去不合要求的解，得到答案.
【详解】若，则，解得或2（舍去），
若，则，解得（舍去），
综上，.
故选：D
7. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数以及幂函数的单调性，结合分段函数的的性质即可列不等式进而即得.
【详解】根据题意，函数是R上的增函数，
必有，解可得，
即的取值范围为
故选：C．
8. 已知函数的图象关于y轴对称，若，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A. 最大值为
B.
C. 函数的图象关于点中心对称
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】A选项，将条件变形后，由定义法得到在上单调递增，结合的图象关于y轴对称，求出有最小值，A错误；B选项，在上单调递减，B错误；C选项，的图象关于直线对称，C错误；D选项，先得到，由在上单调递增得到D正确.
【详解】A选项，，且，都有，
即，
故在上单调递增，
又的图象关于y轴对称，故在上单调递减，
故有最小值，A错误；
B选项，在上单调递减，故，B错误；
C选项，由平移法则知的图象关于直线对称，C错误；
D选项，若，则，
当，则，
当，则，
综上，，
又在上单调递增，
故，D正确.
故选：D
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 设集合，，且，则实数a的值可以是（ ）
A. 2B. 1C. D. 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出，分，和三种情况，得到实数a的值.
【详解】，
因为，
当时，，满足要求，
当时，，当时，，解得，
综上，或2或.
故选：ACD
10. 下列结论中正确有（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 已知命题“，”，则该命题的否定为“，”
C. “”是“”的充分不必要条件
D. “关于的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，解方程得到或0，A错误；B选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；C选项，解不等式得到或，C错误；D选项，由根的判别式得到不等式，求出，由得到D正确.
【详解】A选项，，解得或0，
故“”是“”的充分不必要条件，A错误；
B选项，命题“，”的否定为“，”，B正确；
C选项，，解得或，
故“”是“”的必要不充分条件，C错误；
D选项，由题意得，解得，
由于，
故“关于的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是，D正确.
故选：BD
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，则函数的最大值为
B. 已知，则的最小值为
C. 若正数x、y满足，则的最小值为3
D. 设x、y为正实数，且，则的最小值为6
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，分离常数后，利用基本不等式进行所求皆；C选项，利用基本不等式“1”的妙用进行求解；D选项，表达出，故，由基本不等式求出答案.
【详解】A选项，，，
当且仅当，时，等号成立，故A错误；
B选项，，
因为，所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
C选项，正数x、y满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立，C正确；
D选项，x、y为正实数，且，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：BCD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，结合复合函数的定义域列式求解即得．
【详解】若函数y=fx的定义域是，则函数需要满足：
则，解得，
所以的定义域是．
故答案为：
13. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为_________.
【答案】或.
【解析】
【分析】先求出时的解析式且，分，和，解不等式，求出答案.
【详解】当时，，故，
因为是定义在上的奇函数，
所以，故，所以，
，满足，
当时，令，解得，故，
当时，令，解得或，故，
综上，的解集为或.
故答案为：或.
14. 已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是_________.
【答案】或
【解析】
【分析】由题意得到，求出，，从而得到不等式，求出答案.
【详解】，，满足不等式，
故只需，
其中，当且仅当时，等号成立，
关于的函数，
当且仅当时，等号成立，
所以，解得或，
综上，实数m的取值范围是或，
故答案为：或
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知全集，集合，集合.
（1）求集合；
（2）设集合，若集合，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式得到或，根据补集和交集概念求出答案；
（2）得到为的真子集，且，从而得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
，
等价于，解得或，
故或，，
，
【小问2详解】
由（1）知，，
是的充分不必要条件，故为的真子集，
又，
故，解得，
故实数a的取值范围是.
16. 某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池，其蓄水量为，高为，底面一条边长为5m，施工方给的造价：四个侧面造价为100元/，底面造价为80元/.
（1）设此蓄水池的总造价为y元，求y关于x的函数关系式；
（2）如果你是施工方，请帮该厂设计一个总造价最低的方案，给出具体的数据参考.
【答案】（1），；
（2）长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低.
【解析】
【分析】（1）由题意表达出长方体底面的另一条边长为m，从而表达出y关于x的函数关系式；
（2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出的最小值和此时所满足的条件，得到答案.
【小问1详解】
长方体蓄水池的底面面积为，
长方体底面的另一条边长为m，
故，；
【小问2详解】
，故由基本不等式得
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时m，
故当长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低.
17. 设函数，.
（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
（2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，结合一次不等式和二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【小问1详解】
因为函数在上单调递减，
当时，即函数在上单调递减，合乎题意；
当时，因为二次函数在上单调递减，
可得，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【小问2详解】
不等式可化为，
当时，原不等式即为，解得；
当时，方程的两根分别为，.
（i）当时，，解原不等式可得；
（ii）当时，，解原不等式可得或.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
18. 已知集合，实数满足.
（1）若集合，且，，是集合中最小的三个元素，求集合A；
（2）在（1）条件下，若实数b构成的集合为B，且集合，若实数，且关于x的方程有实数解，请列出所有满足条件的有序数对.
【答案】（1）
（2），.
【解析】
【分析】（1）根据单调性得到最小的三个元素，得到答案；
（2）先求出，得到，分和，结合根的判别式得到满足的条件，求出所有满足条件的有序数对.
【小问1详解】
随着的增大而增大，
又，故集合中最小的三个元素依次为
，
故；
【小问2详解】
，
当时，或1，当时，与元素互异性矛盾，舍去，满足要求，
当时，或2，两者均满足要求，
当时，（舍去），
综上，，
，
，关于x的方程有实数解，
当时，，解得，满足要求，
故均可，满足条件的有序数对有，
当，需满足，即，
若，则，满足条件的有序数对有，
若，则，满足条件的有序数对有，
若，则，满足条件的有序数对有，
若，则，满足条件的有序数对有，
综上，满足条件的有序数对有，
.
19. 已知实数，函数，.
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）用定义证明函数在上单调递增，并判断在是否也单调，如果单调，判断是增函数还是减函数.
（3）当，时，用表示、的最大者，记为，求的最值.
【答案】（1）偶函数 （2）证明见解析，函数在上是增函数
（3）最小值为，最大值为
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可判断出函数hx的奇偶性；
（2）任取、且，作差，变形，判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；同理结合函数单调性的定义可判断出函数在上的单调性；
（3）化简函数在上的解析式，并分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在上的最小值和最大值.
【小问1详解】
因为实数，函数，，
则，其中，
，则函数hx为偶函数.
【小问2详解】
因为，任取、且，则，，
则
，即，
所以，函数在上为增函数，
函数在上也为增函数，理由如下：
因为，任取、且，则，，
则
，即，
所以，函数在上为增函数.
【小问3详解】
当时，，，
则，
因为，当时，，即，
当时，，即，
故当时，，
由对勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数，
因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
又因为函数在上连续，故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
又因为，，则，
所以，当时，函数在区间上的最小值为，最大值为.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义得出结论.