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第三章 必刷小题5 导数及其应用-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）
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A.(－1,1) B.(0,1)C.[1，＋∞) D.(0，＋∞)
令y′<0，得0
将x＝1代入3x－y－2＝0，得y＝1，则f(1)＝1，即1＋a＋b＝1，①∵f(x)＝x2＋ax＋b，∴f′(x)＝2x＋a，则f′(1)＝3，即2＋a＝3，②联立①②，解得a＝1，b＝－1.
3.(2023·重庆联考)如图所示是函数y＝f(x)的图象，其中f′(x)为f(x)的导函数，则下列大小关系正确的是A.f′(－2)>f′(1)>f′(3)B.f′(－2)>f′(3)>f′(1)C.f′(3)>f′(1)>f′(－2)D.f′(3)>f′(－2)>f′(1)
由已知可得，函数y＝f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在(－1,1]上单调递减，在(1,2]上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，函数f(x)在x＝1处取得极小值，所以f′(－2)>0，f′(1)＝0，f′(3)<0，所以f′(－2)>f′(1)>f′(3).
4.(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝ x2－(1＋a)x＋aln x在x＝a处取得极小值，则实数a的取值范围为A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)C.(0,1] D.(0,1)
要使函数f(x)在x＝a处取得极小值，则a>1.
5.已知函数f(x)＝3x＋2sin x，若a＝ ，b＝f(2)，c＝ ，则a，b，c的大小关系是A.a
又由2＝lg24
则f′(r)＝0.4πr2(3－r)，令f′(r)＝0，得r＝3，当r∈(0,3)时，f′(r)>0，当r∈(3,8]时，f′(r)<0，因此函数f(r)在(0,3)上单调递增，在(3,8]上单调递减，即当r＝3时，f(r)取最大值，所以当每瓶液体材料的利润最大时，r＝3.
7.(2023·商洛统考)拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫作f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)＝(x－2)ln x在[1,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为A.0 B.1 C.2 D.3
设x0为函数f(x)＝(x－2)ln x在[1,2]上的“拉格朗日中值点”，
又g(1)＝1－2＝－1<0，g(2)＝1＋ln 2－1＝ln 2>0，由零点存在定理可得，存在唯一的x0∈[1,2]，使得g(x0)＝0.
8.(2023·山东多校联考)已知函数f(x)＝xex，若f(x)≥ax－ a恒成立，则实数a的最大值为
A. B.e＋1C.2e D.e＋4
由题意可得f(x)＝xex，则f′(x)＝(x＋1)ex，当x>－1时，f′(x)>0；当x<－1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
设切点为 ，
则切线斜率a＝f′(x0)＝ ，所以该切线方程为y－ ，
则0－ ，
当x0＝1时，a＝f′(1)＝2e；
结合图象可得，实数a的取值范围为 ，
即实数a的最大值为2e.
二、多项选择题9.下列函数中，存在极值点的是
对于D，函数y＝－2x3－x，y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x是减函数，没有极值点.
10.(2024·运城模拟)下列不等式恒成立的是A.ex≥x＋1 B.ln x≤x－1C.sin x≤x D.ex≥2x＋1
对于A，设f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0，即ex≥x＋1，故A正确；对于B，设g(x)＝ln x－x＋1，x>0，
当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max＝g(1)＝0，即ln x≤x－1，故B正确；
对于D，当x＝1时，e<2＋1，故D错误.
11.函数f(x)满足f′(x)f(1) D.ef(1)
即ef(2)>f(3)，e2f(－1)>f(1)，ef(0)>f(1)，ef(1)>f(2).
12.(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心D.直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1.
所以函数f(x)在R上有且只有一个零点，故B错误；因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)＝x3－x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0,1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称中心，故C正确；
若x0＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y＝2x上；若x0＝－1，则切点坐标为(－1,1)，但点(－1,1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误.
三、填空题13.函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________.
令y＝f(x)＝xex，则f′(x)＝(1＋x)ex，
14.若函数f(x)＝ax＋ex在(－∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是____________.
由题意知，f′(x)＝a＋ex≤0在(－∞，1]上恒成立，得a≤(－ex)min，又函数y＝－ex在(－∞，1]上单调递减，所以(－ex)min＝－e，所以a≤－e.
因为f(x)－f(－x)＝2sin x，所以f(x)－sin x＝f(－x)－sin(－x)，设g(x)＝f(x)－sin x，x∈R，可得g(x)＝g(－x)，所以g(x)为偶函数，在[0，＋∞)上有f′(x)>cs x，所以g′(x)＝f′(x)－cs x>0，x∈[0，＋∞)，故g(x)在[0，＋∞)上单调递增，根据偶函数的对称性可知，g(x)在(－∞，0)上单调递减，
因为不等式有正整数解，
当x>1时，ln x>0，m>0，
所以当10；当x>e时，f′(x)<0，
A.(－1,1) B.(0,1)C.[1，＋∞) D.(0，＋∞)
令y′<0，得0
将x＝1代入3x－y－2＝0，得y＝1，则f(1)＝1，即1＋a＋b＝1，①∵f(x)＝x2＋ax＋b，∴f′(x)＝2x＋a，则f′(1)＝3，即2＋a＝3，②联立①②，解得a＝1，b＝－1.
3.(2023·重庆联考)如图所示是函数y＝f(x)的图象，其中f′(x)为f(x)的导函数，则下列大小关系正确的是A.f′(－2)>f′(1)>f′(3)B.f′(－2)>f′(3)>f′(1)C.f′(3)>f′(1)>f′(－2)D.f′(3)>f′(－2)>f′(1)
由已知可得，函数y＝f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在(－1,1]上单调递减，在(1,2]上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，函数f(x)在x＝1处取得极小值，所以f′(－2)>0，f′(1)＝0，f′(3)<0，所以f′(－2)>f′(1)>f′(3).
4.(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝ x2－(1＋a)x＋aln x在x＝a处取得极小值，则实数a的取值范围为A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)C.(0,1] D.(0,1)
要使函数f(x)在x＝a处取得极小值，则a>1.
5.已知函数f(x)＝3x＋2sin x，若a＝ ，b＝f(2)，c＝ ，则a，b，c的大小关系是A.a
又由2＝lg24
则f′(r)＝0.4πr2(3－r)，令f′(r)＝0，得r＝3，当r∈(0,3)时，f′(r)>0，当r∈(3,8]时，f′(r)<0，因此函数f(r)在(0,3)上单调递增，在(3,8]上单调递减，即当r＝3时，f(r)取最大值，所以当每瓶液体材料的利润最大时，r＝3.
7.(2023·商洛统考)拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫作f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)＝(x－2)ln x在[1,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为A.0 B.1 C.2 D.3
设x0为函数f(x)＝(x－2)ln x在[1,2]上的“拉格朗日中值点”，
又g(1)＝1－2＝－1<0，g(2)＝1＋ln 2－1＝ln 2>0，由零点存在定理可得，存在唯一的x0∈[1,2]，使得g(x0)＝0.
8.(2023·山东多校联考)已知函数f(x)＝xex，若f(x)≥ax－ a恒成立，则实数a的最大值为
A. B.e＋1C.2e D.e＋4
由题意可得f(x)＝xex，则f′(x)＝(x＋1)ex，当x>－1时，f′(x)>0；当x<－1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
设切点为 ，
则切线斜率a＝f′(x0)＝ ，所以该切线方程为y－ ，
则0－ ，
当x0＝1时，a＝f′(1)＝2e；
结合图象可得，实数a的取值范围为 ，
即实数a的最大值为2e.
二、多项选择题9.下列函数中，存在极值点的是
对于D，函数y＝－2x3－x，y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x是减函数，没有极值点.
10.(2024·运城模拟)下列不等式恒成立的是A.ex≥x＋1 B.ln x≤x－1C.sin x≤x D.ex≥2x＋1
对于A，设f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0，即ex≥x＋1，故A正确；对于B，设g(x)＝ln x－x＋1，x>0，
当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max＝g(1)＝0，即ln x≤x－1，故B正确；
对于D，当x＝1时，e<2＋1，故D错误.
11.函数f(x)满足f′(x)
即ef(2)>f(3)，e2f(－1)>f(1)，ef(0)>f(1)，ef(1)>f(2).
12.(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心D.直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1.
所以函数f(x)在R上有且只有一个零点，故B错误；因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)＝x3－x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0,1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称中心，故C正确；
若x0＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y＝2x上；若x0＝－1，则切点坐标为(－1,1)，但点(－1,1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误.
三、填空题13.函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________.
令y＝f(x)＝xex，则f′(x)＝(1＋x)ex，
14.若函数f(x)＝ax＋ex在(－∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是____________.
由题意知，f′(x)＝a＋ex≤0在(－∞，1]上恒成立，得a≤(－ex)min，又函数y＝－ex在(－∞，1]上单调递减，所以(－ex)min＝－e，所以a≤－e.
因为f(x)－f(－x)＝2sin x，所以f(x)－sin x＝f(－x)－sin(－x)，设g(x)＝f(x)－sin x，x∈R，可得g(x)＝g(－x)，所以g(x)为偶函数，在[0，＋∞)上有f′(x)>cs x，所以g′(x)＝f′(x)－cs x>0，x∈[0，＋∞)，故g(x)在[0，＋∞)上单调递增，根据偶函数的对称性可知，g(x)在(－∞，0)上单调递减，
因为不等式有正整数解，
当x>1时，ln x>0，m>0，
所以当1
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