山东省单县第一中学2024-2025学年高三上学期期末押题考试数学试题

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考试时间：120分钟；卷面分值：150分；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量a=(4,2),b=(m,n)，则向量a,b不能作为平面内的一组基底的概率为（ ）
A．112B．16C．14D．13
【答案】A
【分析】由向量平行的数量积得到4n=2m，再由古典概率计算即可.
【详解】a=4,2,b=m,n且a,b不能作为基底，则4n=2m，即m=2n，
当m=2时，n=1；当m=4时，n=2；当m=6时，n=3；
两次投掷得到点数的总可能性为6×6=36种，
所以所求的概率P=336=112.
故选：A．
2．若点A1,2在圆x2+y2+2x−4y+a=0外，则实数a的取值范围为（ ）
A．a>1B．10)的最小正周期为π，
所以ω=2ππ=2，
因为fπ12=sin2×π12+π6=sinπ3=32，所以AC错误；
fπ6=sin2×π6+π6=sinπ2=1，所以B错误，D正确.
故选：D
7．已知定义在[0,+∞)上的函数f（x）满足对∀x1,x2∈[0,+∞)，x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>2，若f(1)=2024，则不等式f(x−2024)>2(x−1013)的解集为（ ）
A．(2023,+∞)B．(2024,+∞)C．(2025,+∞)D．(1012,+∞)
【答案】C
【分析】变形给定的不等式，构造函数g(x)=f(x)−2x并确定单调性，再利用单调性求解不等式.
【详解】由f(x2)−f(x1)x2−x1>2，得[f(x2)−2x2]−[f(x1)−2x1]x2−x1>0，令g(x)=f(x)−2x，
则g(x2)−g(x1)x2−x1>0，因此函数g(x)在[0,+∞)上单调递增，由f(1)=2024，得g(1)=2022，
由f(x−2024)>2(x−1013)，得f(x−2024)−2(x−2024)>2022，即g(x−2024)>g(1)，
则x−2024>1，解得x>2025，所以原不等式的解集为(2025,+∞).
故选：C
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用函数单调性定义判断单调性是解题的关键.
8．设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于τ,∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）τ中任意多个元素的交集属于τ；则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X=0,1,2，对于下面给出的四个集合τ：
①τ=∅,0,2,0,1,2；
②τ=∅,0,1,0,1,0,1,2;
③τ={∅,0,1,0,2,1,2}；
④τ=∅,2,0,2,1,2,0,1,2
其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】C
【分析】利用定义结合集合间的基本关系与运算计算即可.
【详解】①τ=∅,0,2,0,1,2,0∪2=0,2∉τ
故①不是集合X上的拓扑的集合τ；
③τ=∅,0,1,0,2,1,2,0,1∪0,2=0,1,2∉τ，
故③不是集合X上的拓扑的集合τ；
对于选项②④
满足：（1）X属于τ，∅属于τ；
（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）τ中任意多个元素的交集属于τ，
综上得，是集合X上的拓扑的集合τ的序号是②④
故选：C
【点睛】思路点睛：新定义问题关键在于理解题意，将问题转化为集合间的基本关系即可.
二、多选题
9．若(1+2x)2024=a0+a1x+a2x2+⋯+a2024x2024，则下列正确的是（ ）
A．a0=2024B．a0+a1+⋯+a2024=32024
C．a0−a1+a2−a3+⋯+a2024=1D．a1−2a2+3a3−⋯−2024a2024=−2024
【答案】BC
【分析】利用赋值法计算可判断A错误，BC正确，对二项展开式两边同时求导并令x=−1计算可判断D错误.
【详解】对于A：令x=0，则a0=1，故A错误；
对于B：令x=1，则a0+a1+⋯+a2024=32024，故B正确；
对于C：令x=−1，则a0−a1+a2−a3+⋯+a2024=1，故C正确；
对于D，由(1+2x)2024=a0+a1x+a2x2+⋯+a2024x2024，
两边同时求导得2024×2×(1+2x)2023=a1+2a2x+3a3x2+⋯+2024a2024x2023，
令x=−1，则a1−2a2+3a3+⋯−2024a2024=−4048，故D错误.
故选：BC.
10．已知x>0,y>0且2x+y=4则（ ）
A．xy的最小值是2B．1x2+4y2 的最小值是2
C．2x+1y+1xy 的最小值是210D．x+2yx+4y的最小值是6
【答案】BD
【分析】对条件式子变形，运用基本不等式求最值，逐个判断即可.
【详解】对于A选项，因为x>0,y>0， 2x+y≥22xy.
由于2x+y=4，所以4≥22xy，得到xy≤2.
当且仅当2x=y=2时等号成立，即x=1，y=2时等号成立.
xy的最大值是2，故A错误.
对于B选项，因2x+y=4，两边平方得(2x+y)2=16，则4x2+4xy+y2=16.
则1x2+4y2=116(4x2+4xy+y2)1x2+4y2=1164+16x2y2+4yx+16yx+y2x2+4
=11616x2y2+4yx+16xy+y2x2+8=x2y2+y216x2+y4x+xy+12 ，
对于x2y2+y216x2≥2x2y2×y216x2=12，当且仅当x2y2=y216x2取等号，即y=2x取等号；
对于y4x+xy≥2y4x×xy=1，当且仅当y4x=xy取等号，即y=2x取等号；
则1x2+4y2≥12+1+12=2.当且仅当y=2x取等号，
结合2x+y=4,则x=1，y=2取得最值.故B正确.
对于C选项，(2x+1)(y+1)xy=2xy+2x+y+1xy=2xy+(2x+y)+1xy，
因为2x+y=4，所以式子变为2xy+4+1xy=2xy+5xy=2xy+5xy.
则2xy+5xy≥22xy×5xy=210.当且仅当2xy=5xy时等号成立，即xy=52，
结合2x+y=4，则2×52y+y=4，整理得到y2−4y+5=0，此时无正数解，
则(2x+1)(y+1)xy取不到最小值.故C错误.
对于D选项，先化简式子
x+2yx+4y=1+2yx+4y=1+(2yx+4y)=1+2yx+2x+yy=2yx+2xy+2 ,
2yx+2xy≥22yx×2xy=4，当且仅当2yx=2xy时等号成立，即x=y取得最值.
结合2x+y=4,则x=43,y=43.所以x+2yx+4y≥6.当且仅当x=43,y=43取最小值.
故D正确.
故选：BD.
11．已知f(x)=sinx+1sinx，则（ ）
A．f(x)为偶函数B．2π是f(x)的最小正周期
C．f(x)在区间(π2,π)上单调递增D．f(x)的值域为[0,+∞)
【答案】ACD
【分析】根据奇偶函数定义判断A，取特值判断B，根据符合函数单调性判断C，根据偶函数及在x>0时的值域判断D.
【详解】由f(x)=sinx+1sinx可知sinx≠0，x≠kπ,k∈Z，定义域为x|x≠kπ,k∈Z，
故定义域关于原点对称，又f−x=f(x)，所以函数为偶函数，故A正确；
取x=−π2，则f(−π2)=2，f(2π−π2)=−1+1=0，即f(−π2)≠f(2π−π2)，所以2π不是函数的周期，故B错误；
当x∈(π2, π)时，f(x)=sinx+1sinx，令t=sinx∈0,1且为减函数，
而y=t+1t在t∈0,1时单调递减，所以由复合函数的单调性知，f(x)=sinx+1sinx单调递增，故C正确；
由f(x)为偶函数，只需研究x>0时f(x)的值域，当x>0时，f(x)=sinx+1sinx，
因为f(x+2π)=sinx+2π+1sinx+2π=sinx+1sinx，即x>0时，2π是函数的一个周期，当00时，fx>0，所以f1=1，
令x=1，y=0可得f1=f1f0+f0+f1，即f0=0；
（2）f2x−a≥afx−5对任意x恒成立⇒f2x+2fx−a≥afx−5对任意x恒成立，
令fx=t，以下探讨fx=t的取值范围．
令y=−x可得f0=f−xfx+fx+f−x⇒fx=−f−xf−x+1=−1+1f−x+1，
当x0，则−10，fx2>−1
则fx1−fx2=fx1−x2+x2−fx2=fx1−x2fx2+fx1−x2=fx1−x2fx2+1>0，
所以函数 y=f(x)在R上单调递增，
∵f3=f1f2+f2+f1=7，
∴fx+1+fx≥7⇒fx+1+fx≥f3⇒x+1+fx≥3
令Fx=x+1+fx，Fx在R上单调递增，且F1=3
x+1+fx≥3⇔Fx≥F1⇒x≥1，
所以原不等式解集为：1,+∞.