九年级上学期第一次月考数学试题 (30)

这是一份九年级上学期第一次月考数学试题 (30)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将变形得：3（a+b）=5b，所以可以求出的值．
【详解】解；由得：3a=2b，让等式两边都加上3b，可得：3（a+b）=5b，
因此，故选C．
【点睛】在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求．
2. 将图1所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：图形的旋转要找准旋转点、旋转角度和旋转方向，将图1以圆心为旋转中心顺时针旋转90°得到A，逆时针旋转90°得到B，旋转360°得到C，旋转180°得到D.
考点：图形的旋转.
3. 在比例尺为的地图上测得A、B两地间的图上距离为，则A、B两地间的实际距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例尺的定义建立方程求解即可得．
【详解】设A、B两地间的实际距离为，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列方程的解，
，
A、B两地间的实际距离为，
故选：C．
【点睛】本题考查了比例线段，掌握理解比例尺的定义是解题关键．
4. 如图，已知且，则的长为（ ）

A. 12B. 13C. 18D. 21
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由定理得，即可求解；理解平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
解得：，
故选：D．
5. 如图，在正方形网格中（小正方形的边长为1），有5个点，M，N，O，P，Q，以O为圆心，为半径作圆，则在外的点是（ ）
A. MB. NC. PD. Q
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内，根据点与圆的位置关系即可求解．
【详解】解：∵，，，，
∴在外的点是P，
故选：C．
6. 如图，关于抛物线，下列说法正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质逐项进行分析即可求解．
【详解】A、∵抛物线开口向上，
∴，
故A不正确，不符合题意；
B、∵对称轴在y轴的左侧，
∴，
又，
∴
故B不正确，不符合题意．
C、观察函数图象，可知：抛物线与y轴交于负半轴，
∴，
故C正确，符合题意；
D、∵抛物线与x轴交于两点，
∴，
故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
7. 如图所示是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，该拱门半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了拱高的定义，垂径定理，勾股定理；圆心为，连接，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解；理解拱高的定义，能结合垂径定理熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．
【详解】解：圆心为，连接，
设，
，
，
，
在中，
，
，
解得：；
；
故选：B．
8. 建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米，
∴，
故选：D．
9. 把抛物线向右平移个单位得到一条新抛物线，若点，在新抛物线上，且，则的值可以是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，由二次函数的平移规律得平移后得到的抛物线为，由二次函数的性质得：当、在对称轴的左侧时，，即可求解；当、在对称轴的两侧时，同理可求；掌握二次方函数图象的平移规律，理解抛物线的开口向上时，到对称轴距离越远的点对应的函数值越大，据此进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：平移后得到的抛物线为，
对称轴为直线，
，
抛物线的开口向上，
到对称轴距离越远的点对应的函数值越大，
，，
当、在对称轴的左侧时，
，
解得：，
当、在对称轴的两侧时，
，
解得：；
故选：A．
10. 已知二次函数)图象上部分点的坐标的对应值如表所示，则方程的根是（ ）
A. 0或8B. 或C. 或D. 1或7
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线经过点得到，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，由于方程变形为，则方程的根理解为函数值为1所对应的自变量的值．
【详解】解：由抛物线经过点得到4，
∵抛物线经过点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线经过点，
∴抛物线经过点，
∴二次函数解析式为，
∴方程变形为根理解为函数值为1所对应的自变量的值，
∴方程的根为．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 已知线段，，则a，b的比例中项线段长是______.
【答案】4
【解析】
【分析】设线段a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义可知，，求得c的值，注意两条线段的比例中项为正数．
【详解】解：设线段a，b的比例中项为c，
∵c是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，
∴，
即，
∴（负数舍去），
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了比例线段．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果，即，那么b叫做a与c的比例中项．
12. 在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，则△ABC的外接圆半径长为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】由在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，可判定△ABC是直角三角形，然后由直角三角形的斜边即是它的外接圆的直径，求得答案．
【详解】∵在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，且AB是斜边，
∴△ABC的外接圆半径长为：AB=5．
故答案为5．
【点睛】此题考查了三角形的外接圆与勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意判定△ABC是直角三角形是关键．
13. 如图，在▱中，，，为延长线上一点，且，连接交于点，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出，，，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
∴，
，
设，则，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14. 已知，则函数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用二次函数性质求函数值取值范围，将二次函数化为顶点式，由二次函数性质得当时，函数值取得最小值，当时，函数值取得最大值，会利用二次函数的性质求最值是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
抛物线的对称轴为直线，
，
当时，
，
，
抛物线开口向上，
当时，
，
，
函数的取值范围是；
故答案：．
15. 如图，抛物线交轴正半轴于点，过点作轴交抛物线于另一点，点在轴上，点在抛物线上．当四边形是菱形时，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，由菱形的性质得，，由二次函数的性质得直线是抛物线的对称轴，由得，即可求解；掌握菱形的性质和二次函数的性质，由性质得到直线是抛物线的对称轴是解题的关键．
【详解】解：如图，连接交于，
当时，，
，
四边形是菱形，
，
，
轴，
轴，
，
，
直线是抛物线的对称轴，
抛物线
，
，
，
，
解得：；
故答案：．
16. 如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，点在上，沿折叠．如图1，当点对应点落在上时，_____；如图2，连接，当点对应点落在上时，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】过点H作的平行线交，于点Q，R，由矩形的判定及性质，由折叠的性质得，，，由勾股定得可求出， 再由勾股定理得，即可求解； 延长，交于点M，折叠的性质及等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得，由正切函数得，可得，即可求解．
【详解】解：如图1，过点H作的平行线交，于点Q，R，
四边形，四边形，四边形均是矩形，
，
，
由翻折得：，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
解得：；
延长，交于点M，如图所示：
∵四边形为正方形，
，
，
∴，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：（）；
故答案：，．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理；掌握折叠的性质，能相关是线段转化到直角三角形中，熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
三、解答题（本题有6小题，共56分。解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 已知拋物线的顶点为1,0．
（1）求，值；
（2）过点作轴的平行线交抛物线于，两点，求的长度．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，
（1）由顶点即可求解；
（2）由，轴得时代入解析式，即可求；．
掌握二次函数的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：顶点为
，
解得：，
，；
【小问2详解】
解：由（1）得
，
，轴，
当时，
，
解得：，，
．
18. 如图，在的方格纸中，小正方形的边长为，的顶点均在格点上，请按要求画图（仅用无刻度的直尺，保留作图痕迹）．
（1）在图1中，以点为旋转中心，把顺时针旋转；
（2）在图2中，在上作点，使得的面积为2．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查旋转作图，相似三角形的判定与性质，掌握利用旋转的性质作图方法，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）取格点E，F，G，H，连接EF，交BC于点D，可得，则，即，可得，利用三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：如图，
为所求作；
【小问2详解】
解：如图，
点D即为所求．
19. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为线段上一点，且．
（1）求证：∽；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质，推出，即可进行证明；
（2）根据平行四边形对边相等，相似三角形对应边成比例，即可进行求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法以及相似三角形对应边成比例．
20. 如图，已知，经过圆心，且分别垂直弦，于点，点．
（1）求证：；
（2）若，求圆的半径长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理等；
（1）与交于，连接，由等腰三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，同理可证，即可得证；
（2）可判定是等边三角形，由等边三角形的性质得，，由余弦函数得，即可求解；
掌握相关的判定方法及性质，判定出是等边三角形是解题的关键．
【小问1详解】
解：与交于，连接，
，
，
是的垂直平分线，
，
同理可证：，
；
【小问2详解】
解：由（1）得
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
圆的半径为．
21. 如图，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作拋物线，抛物线解析式的二次项系数为．已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为米，距地面均为1米．
（1）请在图中建立直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
（2）现有一身高为米的同学也想参加这个活动，请问他在跳绳时，头顶与用绳之间的最大竖直距离为多少（假定当绳用到最高处时，学生双脚处于落地状态）；
（3）若参加跳绳的学生身高均为米，为保证安全，要求相邻学生之间的安全距离不小于米，问跳绳时，甩绳内部最多可容纳多少名学生？
【答案】（1）直角坐标系见解析，
（2）0.30625米
（3）甩绳内部最多可容纳9名学生
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．熟练掌握建立适当坐标系，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，是解决问题的关键．
（1）以甲所在的地面为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，设抛物线的函数表达式为，代入0,1和，求出b，c即可；
（2）求出的最大值2.05625米，再减去1.75米，即可得到结果；
（3）解方程，两根之差除以0.4，取结果的整数部分加1，即得．
【小问1详解】
以甲所在的地面为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，如图，
设抛物线的函数表达式为，
由题意可知，0,1和都在该抛物线上，
∴，
解得，，
故抛物线的函数表达式为：；
【小问2详解】
∵，
∴当时，，甩绳与地面最大距离2.05625米，
∴ (米)，
故他在跳绳时，头顶与甩绳之间的最大竖直距离为0.30625米；
【小问3详解】
在中，
令，得，
解得，，，
∴，
取8，得，
故甩绳内部最多可容纳9名学生．
22. 如图，已知拋物线的对称轴为直线，且经过点，B4,0，连接，动点从点出发在线段上以每秒2个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，连接，，设运动时间为秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①当时，求点的坐标；
②点为抛物线对称轴上一点，若以、、、为顶点的四边形（为边）是平行四边形，求的值；
（3）以为旋转中心，把绕点顺时针旋转得到，若点落在的内部，请直接写出的取值范围_____________．
【答案】（1）
（2）①②或
（3）
【解析】
【分析】（1）由拋物线的对称轴得，将点，B4,0代入，即可求解；
（2）①过作轴交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； ②同理可求：，，可得，，(ⅰ)当构成以为对角线的平行四边形，设，由平移得向右平移个单位，再向上平移个单位得到，向右平移个单位，再向上平移个单位得到，由平移得到与平移得到的方式相同，即可求解；(ⅱ)当构成以为对角线的平行四边形，同理可求；
（3）过轴交于，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，可求，待定系数法可求直线的解析式为，(ⅰ)当在直线上时，代入可求的值；(ⅱ) 当在直线上时，同理可求．
【小问1详解】
解：拋物线的对称轴为直线，
，
，
，
将点，B4,0代入，
，
解得：，
，
抛物线的解析式：；
【小问2详解】
解：①当时，
，
，B4,0，
，，
，
过作轴交于，
轴，
，
，
，
解得：，
，
，
，
；
②由题意得
，，
由①同理可得：
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
(ⅰ)如图，当构成以为对角线的平行四边形，
设，
向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
四边形是平行四边形，
，
，
平移得到与平移得到的方式相同，
，
解得：；
(ⅱ)如图，当构成以为对角线的平行四边形，
向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
同理可得：，
解得：；
综上所述：的值为或；
【小问3详解】
解：过作轴交于，过作交于，
，
，
由旋转得：，
，
，
，
在和中，
，
()，
，
，
由②得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
(ⅰ)当在直线上时，
，
解得：；
(ⅱ) 当在直线上时，
同理可求直线的解析式为，
，
解得：，，
经检验：，是此方程的解，
，
，
点落在的内部，
；
故答案：．x
…
0
8
…
y
…
4
1
4
…