九年级上学期第二次月考数学试题 (1)

这是一份九年级上学期第二次月考数学试题 (1)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列四个图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2. 如果圆O的半径为，点P到圆心O的距离为，那么点P与圆O的位置关系是（ ）
A. 点P在圆O外B. 点P在圆O上C. 点P在圆O内D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，掌握当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．比较点P到圆心O的距离与圆O的半径，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，点P到圆心O的距离小于圆O的半径，
点P在圆O内，
故选：C．
3. 已知点，在反比例函数的图象上，则的大小关系是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键；
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论．
【详解】∵点在反比例函数的图象上，
∴，
又∵，
∴．
故选：D．
4. 袋中装有4个红球和2个黄球，这些球的形状、大小、质地完全相同．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A. 摸出的三个球中至少有一个红球B. 摸出的三个球中有两个球是黄球
C. 摸出的三个球都是红球D. 摸出的三个球都是黄球
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可．
【详解】解：A、∵袋中装有4个红球和2个黄球，
∴摸出的三个球中至少有一个红球是必然事件，故不符合题意；
B、∵袋中装有4个红球和2个黄球，
∴摸出的三个球中有两个球是黄球是可能事件，故不符合题意；
C、∵袋中装有4个红球和2个黄球，
∴摸出的三个球都是红球是可能事件，故不符合题意；
D、∵袋中装有4个红球和2个黄球，
∴摸出的三个球都是黄球是不可能事件，故符合题意．
故选D．
5. 已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A. y＝﹣3（x﹣1）2+3B. y＝3（x﹣1）2+3C. y＝﹣3（x+1）2+3D. y＝3（x+1）2+3
【答案】A
【解析】
【分析】利用顶点式求二次函数的解析式：设二次函数y＝a（x−1）2＋3，然后把（0，0）代入可求出a的值．
【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点，
设二次函数y＝a（x−1）2＋3，
把（0，0）代入得0＝a＋3解得a＝−3．
故二次函数的解析式为y＝−3（x−1）2＋3．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了待定系数法求二次函数的解析式．
6. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？大意是：如图，为的直径，弦，垂足为点E，寸，寸，则直径为（）
A. 13寸B. 18寸C. 24寸D. 26寸
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，解方程直接可得的值，即为圆的直径．
【详解】连接，
∵，且寸，
∴寸，
设圆的半径的长为，则
∵，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：，
化简得：，
即，
∴(寸)，
故选：D．
7. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价没上涨1元，其销售量就减少5元”的含义．
根据获得的利润销售量每个利润，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元；即每个利润为元，销售量为：个，结合获得的利润为元，可得与的函数关系式，化简即可．
【详解】上涨前每件商品的利润为元，能卖出200个，上涨元后利润为元，能卖出个，根据题意得：
即：
故选：C
8. 如图，将△ABC绕点P顺时针旋转得到△，则点P的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别找到两组对应点A与，C与，然后作线段和的垂直平分线，它们的交点即为所求．
【详解】解：∵将以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到，
∴点A的对应点为点，点C的对应点为点，
如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为，
∴旋转中心P的坐标为．
故选B．
【点睛】本题主要考查旋转中心的确定，掌握两组对应点连成的线段的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为，反比例函数的图像与菱形对角线交于点，连接，当轴时，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，锐角三角函数，待定系数法确定反比例函数解析式，延长交轴于，如图，根据菱形的性质得，则轴，再由得到，则根据锐角三角函数及含的直角三角形的性质得到，，接着根据菱形的性质得，，于是在中可计算出，则，即可得解．掌握菱形的性质及锐角三角函数是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交轴于，
∵菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，
∴，
∴轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵轴，
在中，，
∴，
∵反比例函数的图像经过点，
∴．
故选：D．
10. 如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（ ）
①；②；③平分；④．

A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】①根据旋转的性质知，因为，，所以，可得的度数；
②因为与不一定相等，根据三角形相似的判定即可作出判断；
③证明，得，即可；
④，，，根据勾股定理判断．
【详解】解：①∵将绕点顺时针旋转后，得到，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
②∵，，
∴，
但与不一定相等，
∴与不一定相似，故结论②错误；
③∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴平分，故结论③正确；
④∵，，
∴，
∴，
∵将绕点顺时针旋转后，得到，
∴，
∴，
又∵，
∴，故结论④正确，
∴结论正确的个数有个．
故选：C．
【点睛】本题属于图形的旋转变换，考查了旋转的性质，相似的判定，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握旋转的性质、勾股定理及相似的判定是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 已知点与点关于原点对称，则______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，横纵坐标互为相反数，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
12. 一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用概率公式即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查求概率，掌握概率公式是解题的关键．
13. 如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，垂足分别为E，C．若测得，楼高是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．证明，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：楼高是．
故答案为：．
14. 如图，反比例函数的图象经过点，则当函数值时，自变量x的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】将A（-1，-1）代入反比例函数解析式求出k的值，再利用函数的性质和图象即可求出满足题意x的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点A（-1，-1），
∴，
解得k=1，
∴
∴该函数图象在第一、三象限，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
当x0时，y﹥0，
当y=1时，，x=1，
x的取值范围为0＜x≤1，
故答案为：0＜x≤1．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，解题的关键是利用数形结合的方法．
15. 如图，已知的顶点坐标为，若抛物线与该直角三角形无交点，则a的取值范围是_______
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，
根据二次函数的性质可得：越大，开口越小，越小，开口越大进行求解，
【详解】解：当经过点时，
，
即，
当时，抛物线与该直角三角形无交点，
当经过点时，
，
即，
当时，抛物线与该直角三角形无交点，
综上，a的取值范围是或，
故答案为：或．
16. 如图，在正方形中，边长为4，记对角线、交O点，将一个直角三角板的直角顶点放在O点，过D点作于点H，_______，连接，现将直角三角板绕点O旋转一周，在旋转的过程中，的最小值是_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此题考查的是点与圆的位置关系、正方形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
根据已知可得的长，根据圆的性质可知点H的运动轨迹为以为直径的圆上，当过圆心时，即为最小值，根据平行线分线段成比例定理求的值，利用勾股定理可得答案．
【详解】解：∵四边形为正方形，边长为4，
，
，
∴点H的运动轨迹是以为直径的圆上，
取的中点，以为圆心，为半径作圆，连接与交于点，直线与交于点M，则为最小值，即当H运动到时，最小，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为：，
故答案为：
三、解答题（本大题共8小题，第17~19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24小题12分，共60分）
17. 如图，将放于平面直角坐标系中，得到顶点坐标为，，．以B为旋转中心，在平面直角坐标系内将顺时针旋转．
（1）画出旋转后的；
（2）写出点、的坐标．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】本题主要考查图形的旋转变换，找出变换前后的图形上的对应点，是解题的关键．
（1）根据题意，画出的各个顶点的对应点，再顺次连接起来，即可画出；
（2）根据所作图形即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
由图象可得：，．
18. 由物理学知识知道，在力的作用下，物体会在力F的方向上发生位移，力F所做的功满足：，当W为定值时，F与s之间的函数图象．如图所示，点为图象上一点．
（1）试确定F与s之间的函数表达式；
（2）当时，s是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，求反比例函数的解析式，关键是建立函数关系式，会运用函数关系式解答题目的问题．
（1）根据点把代入中求W，可确定F与s之间的函数表达式；
（2）把代入（1）中的公式求s．
【小问1详解】
解：根据题意，把代入中，
得，
；
【小问2详解】
代入中，得．
19. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率：
（1）两次取出小球标号相同；
（2）两次取出的小球标号的和等于4.
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】试题分析：首先根据题意进行列表，然后求出各事件的概率．
试题解析：
（1）P（两次取得小球的标号相同）=；
（2）P（两次取得小球的标号的和等于4）=．
考点：概率的计算．
20. 已知，在中，，分别是边，上的点，连接，，，和相交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，求值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质：
（1）根据，，即可求得答案．
（2）根据，即可求得答案．
【小问1详解】
∵，，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
21. 二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
（1）二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线 ．
（2）求该二次函数的解析式．
（3）直接写出当时，求y的取值范围 ．
【答案】（1）上，
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及其性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）当时，；当时，，可得对称轴，由表中数据，利用待定系数法即可求得的值，即可判断开口方向；
（2）由表中数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当和时的值，结合顶点的坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，；当时，，
二次函数图象的对称轴为直线，
将，，代入，
得：，
解得：，
二次函数的表达式为；
∵，
∴二次函数的图象开口向上，
故答案为：上，；
【小问2详解】
由（1）可知二次函数的表达式为；
【小问3详解】
解：当时，；
当时，．
又二次函数图象的顶点坐标为，抛物线开口向上，
当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，
当时，．
故答案为：．
22. 如图，点A，B，C都在⊙O上，连接AC，过B点作交OC的延长线于点D，连接AB，∠A＝∠D＝30°，OC＝2
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求由线段BD，CD与弧BC所围成的阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接OB，先由圆周角定理求出∠BOC=60°，即可利用三角形内角和定理求出∠OBD=90°，由此即可证明结论；
（2）先求出BD的长，再根据进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，连接OB，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
又∵∠D=30°，
∴∠OBD=180°-∠BOD-∠D=90°，即OB⊥BD,
又∵OB是圆O的半径，
∴BD是圆O切线；
小问2详解】
解：在Rt△BOD中，OB=OC=2，∠D=30°，∠OBD=90°，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，解直角三角形，三角形内角和定理，圆周角定理，不规则图形面积，正确作出辅助线是解题的关键．
23. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．
（1）问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．
【答案】（1），45；
（2）和β的大小无变化；
（3）△BCE的面积为 或．
【解析】
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断．
（2）结论：和β的大小无变化．如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．证明△DAB∽△EAC，即可解决问题．
（3）分两种情形：①当点E在线段AB上时，②当点E在线段BA的延长线上时，分别求解即可．
【小问1详解】
解：如图1中，
∵∠B＝90°，BA＝BC，
∴∠A＝45°，AC＝ =AB，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴BD＝AB，EC＝AC，
∴＝，β＝45°；
故答案为，45．
【小问2详解】
解：结论：和β的大小无变化．理由如下：
如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．
由（1）得：AE＝AD，AC＝AB，∠DAE＝∠BAC，
∴＝，∠DAB＝∠EAC，
∴，
∴△DAB∽△EAC，
∴＝＝，∠OBK＝∠OCA，
∵∠BOK＝∠COA，
∴∠BKO＝∠CAO＝45°，即β＝45°，
∴和β的大小无变化．
【小问3详解】
解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
∴，
∵点E分别是边AC的中点，
∴，
当点E在线段AB上时，，
∴S△BCE＝ =，
当点E在线段BA的延长线上时，，
∴S△BCE＝ =．
综上所述，△BCE的面积为 或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
24. 定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友谊四边形”．我们熟知的平行四边形就是“友谊四边形”，
（1）如图1，在4×4的正方形网格中有一个Rt△ABC，请你在网格中找格点D，使得四边形ABCD是被AC分割成的“友谊四边形”，（要求画出点D的2种不同位置）
（2）如图2，BD平分∠ABC，BD＝4，BC＝8，四边形ABCD是被BD分割成的“友谊四边形”，求AB长；
（3）如图3，圆内接四边形ABCD中，∠ABC＝60，点E是的中点，连结BE交CD于点F，连结AF，∠DAF＝30°
①求证：四边形ABCF是“友谊四边形”；
②若△ABC的面积为6，求线段BF的长．
【答案】（1）详见解析；（2）AB＝6或8．（3）①详见解析；②2
【解析】
【分析】（1）由题意可找到点D位置；
（2）分△ABD∽△CBD，△ABD∽△DBC两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AB的长度；
（3）①由题意可得∠ABE=∠EBC=30°，由三角形内角和定理和圆的内接四边形性质可得∠BAF=∠BFC，可证△ABF∽△FBC，即四边形ABCF是“友谊四边形”；
②由相似三角形的性质可得BF2=AB•BC，由三角形面积公式可求AB×BC=6，即可求BF的长．
【详解】解：（1）画出点D的2个位置．
（2）∵四边形ABCD为被BD分割友谊四边形
∴△ABD与△DBC相似，
若△ABD∽△CBD
则
∴AB＝BC＝8
若△ABD∽△DBC
则
∴AB＝＝6
综上所述：AB＝6或8．
（3）①∵E是的中点，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝30°，
∴∠C+∠BFC＝150°，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∵∠DAF＝30°，
∴∠C+∠BAF＝150°，且∴∠C+∠BFC＝150°，
∴∠BAF＝∠BFC，且∠ABE＝∠CBE
∴△ABF∽△FBC．
∴四边形ABCF为友谊四边形
②如图，过点A作AG⊥BC交BC与G，连接AC，
∵△ABF∽△FBC，
∴
∴BF2＝AB•BC，
∵S△ABC＝BC×AG＝BC×AB×sin60°＝6
∴AB×BC＝6
∴AB×BC＝24＝BF2，且BF＞0，
∴BF＝2x
…
0
1
2
…
y
…
2
7
…