安徽省阜阳市2023-2024学年九年级上学期第二次联考数学试题

这是一份安徽省阜阳市2023-2024学年九年级上学期第二次联考数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．下列标志图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2． 将关于x的一元二次方程x2+x−1=2(x−3)化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．1，−4B．−1，5C．−1，−5D．1，−6
3．把抛物线y=(x−2)2+3先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(−1，2)B．(1，−2)C．(−1，−2)D．(1，2)
4．如图，已知点C为⊙O上一点，OC平分弦AB，连接OA，OB，BC．若∠A=40°，则∠C的度数是（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
5．在一只不透明的口袋中放入除颜色外规格完全相同的白球x个，黑球8个，黄球4个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为13，则x的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC，ED交于点F．若∠BCD=40°，则∠AFE的度数是（ ）
A．50°B．60°C．65°D．70°
7．如图，已知⊙O的半径为9，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，连接OD、AC分别与BD，OD交于点E，F，若点E是BD的中点，则DF的长是（ ）
A．7B．6C．4D．3
8．如图，在正方形ABCD中，AB=5，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF=1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2.5B．3C．10D．4
9．已知二次函数y=x2+2(a−2)x−a+2的图象与x轴最多有一个公共点，且二次函数y=a2−2ab−3的最小值为3，则b的值为（ ）
A．−12B．32或−32C．−52或−32D．−52
10．已知△ABC是边长为3的等边三角形，⊙A的半径为1，D是BC上一动点，DM，DN分别与⊙A相切于点M，N，⊙A的另一条切线EF交DM，DN于点E，F，切点为G，则△DEF周长l的取值范围是（ ）
A．42≤l≤6B．4≤l≤23C．23≤l≤42D．42≤l≤210
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的较小值为 ．
12．已知点P(m−n，1)与点Q(5，m+n)关于原点对称，则nm的值为 ．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=8，点E，F分别是边AB，AD上的两点，连接EF，以EF为直径的半圆分别与矩形的另外两边相切，则图中阴影部分的周长为 （结果保留π）
14．已知二次函数y=−x2+2ax−a2+a−1的顶点M在第一象限．
⑴点M的坐标是 ．（用含a的式子表示）
⑵若抛物线与x轴交于A，B两点，连接AM，BM，∠AMB=90°，则a的值是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：x2−32=4x．
16．如图，在8×8的网格中，点O及△ABC的顶点A，B，C均在网格的格点上．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB1C1，请画出△AB1C1；
（2）若△ABC与△A2B2C2关于点O成中心对称，请画出△A2B2C2，
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在正方形ABCD中，AB=23，点F为CB延长线上一点，连接AF，且∠BAF=30°，把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADE的位置，点E恰好落在边CD上，求线段EF的长．
18．小明将四张正面分别标有数字−3，−1，1，3的卡片（除数字外其他都相同）置于暗箱内摇匀，从中随机抽取两张，求所抽卡片上的数字至少有一个是方程x2−2x−3=0的解的概率．
五、（本大题共2小题，每小题10分，㴖分20分）
19．已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，c0；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，求m的取值范围．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB上的一点O为圆心，以OA为半径作⊙O，与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积．（结果保留π）
六、（本题满分12分）
21．2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会正式开幕．吉祥物“小喜”，以合肥市鸟喜鹊为原型，活泼可爱、神情欢快，突出了地域特色，也体现了合肥开放包容、热情友好的城市气质．某商家新开发了一款“小喜”玩偶套装，每套成本为30元，规定销售单价不低于成本且不高于52元，且为整数．销售一段时间发现，每天的销售量y（套）与售价x（元/套）满足一次函数关系，部分数据如表所示．
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么售价应定为每套多少元？
（3）若要使每天销售所得利润不低于1200元，请写出所能确定的售价x的值．
七、（本题满分12分）
22．如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于点E，点F为⊙O上一点，点D关于CF的对称点G恰好在直径AB上，连接CG，DG，AF，DB．
（1）求证：△CGD是等边三角形；
（2）若⊙O的半径为2，∠ABC=67.5°，求劣弧CD的长；
（3）若BD=6，AE：BE=5：1，求EG的长．
八、（本题满分14分）
23．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)交x轴于A(−2，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C，直线y=kx+m(k0，抛物线开口向上，
当t2时，∵1≤m≤2，y随m增大而减小，
∴m=2 ，y值最小，此时最小值为(2−t)2−t2−3=−4t+1
∵y=m2−2tm−3的最小值为3，
∴−4t+1=3
解得t=−12（舍去）；
综上，若y=m2−2tm−3的最小值为3，则t=−52．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数与x轴交点问题，二次函数图象性质，二次函数的最值求解．由二次函数y=x2+2(m−2)x−m+2的图象与x轴最多有一个公共点，得Δ=[2(m−2)]2−4(−m+2)≤0，求得1≤m≤2，再根据y=m2−2tm−3的最小值为3，分类讨论求出t值．
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接AD，AN.∵DM，DN分别切⊙A于点M，N，∴DM=DN，AN⊥DN．
同理EM=EG，FN=FG，∴△DEF的周长l=DE+DF+EF=DE+ME+DF+FN=DM+DN=2DN．
在Rt△AND中，DN=AD2−AN2，∴点D与点B或点C重合时，DN取得最大值．∵AB=BC=AC=3，∴DN=AD2−AN2=32−12=22，∴2DN=42；
当点D是BC的中点时，DN取得最小值．∵△ABC是等边三角形，∴BD=CD=32．
在Rt△ABD中，AD=AB2−BD2=32−(32)2=332，∴DN=AD2−AN2=(332)2−12=232，
∴2DN=23，∴23≤l≤42．
故答案为：C．
【分析】根据切线长定理和切线的性质求解。连接AD，AM，由切线长定理和切线性质、勾股定理求得l=2AD2−1，根据垂线段最短可得，当AD⊥BC时，AD最小，求出AD最小值为332，当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时AD=3，即可得出332≤AD≤3，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案．
11．【答案】-1
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意，得(x−2)2×3=27
x−2=±3
即x=5或−1
∴输入x的较小值为−1
故答案为：−1
【分析】根据程序图、一元二次方程的解法求解。由程序图可列方程(x−2)2×3=27，解方程即可．
12．【答案】18
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P(m−n,1)与点Q(5,m+n)关于原点对称，
∴m−n=−5m+n=−1，
解得m=−3n=2，
∴nm=(2)−3=18，
故答案为：18．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，解二元一次方程方程组，负整指数幂运算法则求解。先利用关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称，它们的横坐标、纵坐标各互为相反数，得到方程组m−n=−5m+n=−1，解之求出m、n的值，代入算式计算即可求解．
13．【答案】20+5π
【知识点】矩形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如下图，设EF中点为O，半圆与BC相切于点G，与CD相切于点N，连接GO、NO并延长，交AD、AB于点H、M，连接OA，
即点O为半圆圆心，
设半圆的半径为r，即OE=OF=ON=OG=r，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠C=∠ABC=∠BAD=90°，AD∥BC，AB∥CD，
∵半圆与BC相切于点G，与CD相切于点N，
∴OG⊥BC，ON⊥CD，
∴OH⊥AD，OM⊥AB，
∴四边形AMOH、MBGO、OGCN、HOND均为矩形，
∴OH=AM，DH=ON=r，BM=OG=r，
∵AB=9，AD=8，
∴AH=AD−DH=8−r，OH=AM=AB−BM=9−r，
在Rt△AEF中，EF中点为O，
∴OA=12EF=r，
在Rt△AOH中，由勾股定理可得AH2+OH2=OA2，
即(8−r)2+(9−r)2=r2，
整理可得r2−34r+145=0，
解得r1=5，r2=29（不合题意，舍去），
∴OA=OF=OE=5，AM=OH=4，AH=OM=3，
∴HF=OF2−OH2=52−42=3，ME=OE2−OM2=52−32=4，
∴DF=8−3−3=2，BE=9−4−4=1，
∴C阴影=BE+BC+CD+DF+C半圆
=1+8+9+2+5π
=20+5π．
故答案为：20+5π．
【分析】根据矩形的性质、切线的性质、斜边中线的性质、扇形的面积公式求解。设EF中点为O，半圆与BC相切于点G，与CD相切于点N，连接GO、NO并延长，交AD、AB于点H、M，连接OA，设半圆的半径为r，即OE=OF=ON=OG=r，由切线的性质可得OG⊥BC，ON⊥CD，易得四边形AMOH，MBGO，OGCN，HOND均为矩形，AH=8−r，OH=AM=9−r，在Rt△AEF中，由斜边中线的性质可得OA=12EF=r，在Rt△AOH中，由勾股定理可列式并求解可得r=5，再进一步确定HF=3，ME=4，得答案．
14．【答案】(a，a−1)；2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵y=−x2+2ax−a2+a−1=−(x2−2ax+a2)+a−1=−(x−a)2+a−1，∴顶点M的坐标为(a，a−1)．
（2）当y=0时，−(x−a)2+a−1=0，解得x1=a+a−1，x2=a−a−1，∴点A，B的坐标为(a+a−1，0)，(a−a−1，0)，∴AB=a+a−1−(a−a−1)=2a−1．由抛物线的对称性可知，AM=BM.∵∠AMB=90°，∴△ABM是等腰直角三角形，∴a−1=12×2a−1，解得a1=1（舍去），a2=2，即a的值为2．
【分析】（1）根据配方法把一般式转化为顶点式求解；
（2）令y=0，求出点A,B的坐标，由抛物线的对称性可得△ABM是等腰直角三角形，即可求解．
15．【答案】解：移项，得x2−4x=32，
配方，得x2−4x+4=32+4，
即(x−2)2=36，
开平方，得x−2=±6，
∴x1=8，x2=−4.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程．配方法的基本步骤是：移项，化二次项系数为1，配方，写成标准形式，用直接开平方法求解。
16．【答案】（1）解：见解析，△AB1C1即为所求．
（2）解：见解析，△A2B2C2即为所求
【知识点】中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）如图，△AB1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【分析】（1）根据旋转的性质找到点B、C的对应点B1、C1，连接A、B1、C1，则△AB1C1即为所求；
（2）根据中心对称图形的性质，分别找到点A、B、C的对应点A2、B2、C2，顺次连接A2、B2、C2，则△A2B2C2即为所求；
17．【答案】解：∵把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADE的位置，
∴△ADE≌△ABF，∠EAF=90°，
∴AE=AF，即△AEF为等腰直角三角形．
又∵∠BAF=30°，∴AF=2BF，
∴AB=AF2−BF2=(2BF)2−BF2=3BF．
∵AB=23，∴3BF=23，即BF=2，
∴AF=AE=2BF=4，
∴EF=AF2+AE2=42．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质、正方形的性质、30度角的直角三角形的性质求解。由旋转的性质可得 △AEF为等腰直角三角形 ，利用30度直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质计算．
18．【答案】解：x2−2x−3=0，得(x−3)(x+1)=0，
∴x−3=0或x+1=0，解得x1=3，x2=−1．
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所抽卡片上的数字至少有一个是方程x2−2x−3=0的解的结果有(−3，−1)，(−3，3)，(−1，−3)，(−1，1)，(−1，3)，(1，−1)，(1，3)，(3，−3)，(3，−1)，(3，1)，共10种，
∴所抽卡片上的数字至少有一个是方程x2−2x−3=0的解的概率为1012=56．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】根据概率的计算和一元二次方程解进行解答。利用因式分解法解x2−2x−3=0这个方程，找到满足条件的情况，再用树状图法计算总的情况数量，最后利用概率公式去计算求解．
19．【答案】（1）证明：∵抛物线经过(1，1)，c