数学必修 第四册10.3 复数的三角形式及其运算优秀当堂检测题

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题型一 复数的辐角主值
1．（21-22高二上·辽宁·开学考试）z=1−3i（i是虚数单位），则z的辐角主值argz=（ ）
A．53πB．116πC．−π3D．−π6
2．（22-23高一·全国·课时练习）下列结论中正确的是（ ）．
A．复数z的任意两个辐角之间都差2π的整数倍；
B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；
C．实数0不能写成三角形式；
D．复数0的辐角主值是0．
3．（多选）（23-24高三上·山东滨州·期末）已知复数z=1+i（i为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）
A．z的共轭复数是z=−1+iB．z=2
C．z的辐角主值是π4D．2iz=1+i
4．（2024高一下·全国·专题练习）设复数z＝(1－3i)5，则z的模为 ，辐角的主值为 ．
题型二 复数化为三角形式
1．（2024高一下·全国·专题练习）复数z=sin15∘+i⋅cs15∘的三角形式是（ ）
A．cs195∘+i⋅sin195∘ B．sin75∘+i⋅cs75∘
C．cs15∘+i⋅sin15∘D．cs75∘+i⋅sin75∘
2．（21-22高一·全国·课时练习）复数z=−4i化成三角形式，正确的是（ ）
A．4cs3π2+isin3π2B．−4cs3π2+isin3π2
C．4cs3π2−isin3π2D．−4cs3π2−isin3π2
3．（22-23高一·全国·课后作业）将复数1+i表示成三角形式是 ．（用辐角主值）
4．（21-22高一·湖南·课时练习）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)12csπ4−isinπ4；
(2)−12csπ3+isinπ3；
(3)12sin3π4+isin3π4；
(4)cs7π5+isin7π5．
题型三 复数三角形式化为代数式
1．（19-20高一下·辽宁·期末）把复数z1与z2对应的向量OA，OB分别按逆时针方向旋转π4和5π3后，重合于向量OM且模相等，已知z2=−1−3i，则复数z1的代数式和它的辐角主值分别是（ ）
A．−2−2i，3π4B．−2+2i,3π4C．−2−2i,π4D．−2+2i,π4
2．（2024高一下·全国·专题练习）设复数z满足z+2的辐角的主值为π3，z−2的辐角的主值为5π6，则z=
（用代数形式表示）．
3. （19-20高一·全国·课时练习）把复数z1与z2对应的向量OA，OB分别按逆时针方向旋转π4和5π3后，与向量OM重合且模相等，已知z2=−1−3i，求复数z1的代数式和它的辐角主值.
4．（2024高一下·全国·专题练习）已知z1=8cs240°+isin240°，z2=2cs150°−isin150°，求z1z2的代数形式．
题型四 复数三角形式的乘除法、乘方运算
1.（2024高一下·全国·专题练习）计算(cs36∘+isin36∘)−5的结果为（ ）
A．−1B．1
C．2D．12
2．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）设z1=2csπ4−isinπ4，z2=1+i，z3=2cs2π3+isin2π3，则（ ）
A．z1z2=2 B．z2z1=1
C．z1z2z3=−2+23iD．argz1+argz2+argz3=2π3
3．（2024高一下·全国·专题练习）计算下列各式，并作出几何解释：
(1)4cs300°+isin300°÷2cs3π4+isin3π4
(2)−12+32i÷2csπ3+isinπ3.
4．（2024高一下·江苏·专题练习）计算下列各式的值：
(1)8sinπ6+icsπ63；
(2)3(cs7π4+isin7π4)÷(cs3π4+isin3π4).
题型五 取值范围最值问题
1．（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）复数z1=−12+32i2的虚部是 ；若复数z2满足z2=1,i为虚数单位，则z2+1+i的取值范围为 .
2．（2024高一下·全国·专题练习）将复数1+3i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转角θ，所得向量对应的复数是－2i，则角θ的最小正值是 ．
3．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若csπ8+isinπ8n是纯虚数（其中i是虚数单位），则正整数n的最小值为 .
4．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）已知关于z的方程z2+3z+2=0．
(1)在复数域范围内求该方程的解集；
(2)已知该方程虚根分别为Z1、Z2，若z满足z−z1=z−z2，求z−1−11i的最小值．
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数z1=r1csθ1+isinθ1，z2=r2csθ2+isinθ2r1,r2>0，则z1z2=r1r2csθ1+θ2+isinθ1+θ2.设z=−12−32i，则z2024的虚部为（ ）
A．−32B．32C．1D．0
2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）eix=csx+isinx被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1=r1eiθ1 =r1csθ1+isinθ1,z2=r2eiθ2=r2csθ2+isinθ2，则我们可以简化复数乘法z1z2=r1r2eiθ1+θ2=r1r2csθ1+θ2+isinθ1+θ2．
(1)已知z1=32csπ6+isinπ6,z2=2csπ3+isinπ3，求z1z2；
(2)已知O为坐标原点，z1=i,z2=1−i，且复数z1,z2在复平面上对应的点分别为A,B，点C在AB上，且AC=2CB，求|OC|；
(3)利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下：
cs2x+isin2x=ei(2x)=eix2=(csx+isinx)2=cs2x−sin2x+i⋅2sinxcsx，所以cs2x=cs2x−sin2x,sin2x=2sinxcsx．
类比上述过程，求出sin3x,cs3x．（将sin3x表示成sinx的式子，将cs3x表示成csx的式子）（参考公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3）
3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知：
①任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(csθ+isinθ)的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角，r(csθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角形式．
②eix=csx+isinx被称为欧拉公式，是复数的指数形式．
③方程xn=1（n为正整数）有n个不同的复数根．
(1)设ω=−12+32i，求ω2024；
(2)试求出所有满足方程x6=1的复数x的值所组成的集合；
(3)复数z=csπ1012+isinπ1012，求(z−1)z2−1⋯z2023−1．