数学七年级上册（2024）3 一元一次方程的应用第1课时教案

这是一份数学七年级上册（2024）3 一元一次方程的应用第1课时教案，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。

1.通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题.
2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用.
3.用实例对一些数学猜想做出检验，提高学生发现问题和解决问题的能力.
重点：通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题.
难点：通过对“变化中的不变量”的分析，提高分析问题、解决问题的能力.

一、情境导入
一种牙膏出口处直径为5 mm，子昂每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次.该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，子昂还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这支牙膏能用多少次呢？
二、合作探究
探究点一：等长变形问题
用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2（π－2） m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大.
解析：本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长.
解：设圆的半径为r m，
则正方形的边长为[r＋2（π－2）] m.
则有2πr＝4（r＋2π－4）.解得r＝4.
所以铁丝的长为2πr＝8π（m）.
所以圆的面积是π×42＝16π（m2），正方形的面积为[4＋2（π－2）]2＝4π2（m2）.
因为16π>4π2，所以圆的面积大.
答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大.
方法总结：形状、面积不同，而周长相同可根据题意列出关于周长的等量关系式.解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而列出方程.
探究点二：等体积变形问题
用直径为90 mm的圆钢，铸造一个底面长和宽都是131 mm，高度是81 mm的长方体钢锭.问需要截取多长的一段圆钢？（结果保留π）
解析：圆钢由圆柱体变为长方体，形状变了，但体积不变.
解：设截取圆钢的长度为x mm.
根据题意，得π（ eq \f(90,2) ）2x＝131×131×81，
解方程，得x＝ eq \f(686.44,π) .
答：截取圆钢的长度为 eq \f(686.44,π) mm.
方法总结：圆钢由圆柱体变成了长方体，形状发生了变化，但是体积保持不变.“变形之前圆钢的体积＝变形之后长方体的体积”就是我们所要寻找的等量关系.
探究点三：面积变化问题
将一个长、宽、高分别为15 cm，12 cm和8 cm的长方体钢坯锻造成一个底面是边长为12 cm的正方形的长方体钢坯.试问：是锻造前的长方体钢坯的表面积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较.
解析：由锻造前后两长方体钢坯体积相等，可求出锻造后长方体钢坯的高.再计算锻造前后两长方体钢坯的表面积，最后比较大小即可.
解析：设锻造后长方体的高为x cm，依题意，得15×12×8＝12×12x.解得x＝10.
锻造前长方体钢坯的表面积为2×（15×12＋15×8＋12×8）＝2×（180＋120＋96）＝792（cm2），
锻造后长方体钢坯的表面积为2×（12×12＋12×10＋12×10）＝2×（144＋120＋120）＝768（cm2）.
因为792>768，所以锻造前的长方体钢坯的表面积较大.
方法总结：长方体的表面积为六个面的面积之和，其中上下、左右、前后面积分别相等.
三、板书设计
eq \a\vs4\al(列一元一,次方程解,应用题) → eq \a\vs4\al(等积,变形,问题) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(设未知数,根据等量关系列一元一次,方程解一元一次方程,检验解的合理性,写出答案))
教学过程中，通过对问题的探讨，使学生在动手、独立思考的过程中，进一步体会方程模型的作用，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.