江西省吉安市2025届九年级上学期第一次检测数学试卷(含答案)

这是一份江西省吉安市2025届九年级上学期第一次检测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．一元二次方程的常数项是( )
A.1B.C.4D.
2．下列四边形中,是中心对称图形而不是轴对称图形的是( )
A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形
3．如若关于x的方程有一个根为,则a的值是( )
A.9B.5C.3D.
4．如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,添加下列一个条件,能使矩形ABCD成为正方形的是( )
A.B.C.D.
5．要组织一场篮球联赛,每两队之间只赛一场,计划安排15场比赛,如果邀请x个球队参加比赛,根据题意,列出方程为( )
A.B.
C.D.
6．小明用四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的三个图案,其中是菱形的有( )
A.0B.1C.2D.3
二、填空题
7．若关于x的方程是一元二次方程,则a的取值范围是______.
8．已知方程的一个解为,另一个解为______.
9．如图,在直角坐标系中,矩形,点B的坐标是,则的长是______.
10．若m是方程的一个根,则代数式的值为______.
11．如图,在四边形中,对角线,且,,E,F,G,H分别是四边的中点,则四边形的面积为______.
12．如图,矩形ABCD中,,,点E是边CD的中点,点P在AB边上运动,点F为DP的中点；当为等腰三角形时,则AP的长为______.
三、解答题
13．(1)用适当的方法解方程：
(2)已知：如图,菱形中,点E,F分别在,边上,,连接,.求证：.
14．x取何值时,多项式的值与的值互为相反数？
15．如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,过点C作,过点D作,CE与DE相交于点E.
(1)求证：四边形OCED是矩形.
(2)若,,求矩形OCED的面积.
16．如图,在菱形中,,垂足为点E,请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图.
(1)在图1中,画出线段的中点M；
(2)在图2中,过点C画出边上的高.
17．已知关于x的一元二次方程.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为,,且满足,求实数m的值.
18．如图.利用一面墙(墙的长度不限),用的篱笆围成一个矩形场地.设矩形与墙垂直的一边,矩形的面积为
(1)若面积,求的长；
(2)能围成的矩形吗？说明理由.
19．定义：如果关于x的方程(,、、是常数)与(,、、是常数),其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足,,,则称这两个方程互为“对称方程”.例如：方程的“对称方程”是,请根据上述内容,解决以下问题：
(1)写出方程的“对称方程”：____________________.
(2)若关于x的方程与互为“对称方程”,
①__________、__________.
②求方程的解.
20．【操作感知】如图1,在矩形纸片的边上取一点P,沿折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接、.,则的大小为______度.
【迁移探究】如图2,将矩形纸片换成正方形纸片,将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠,并延长交于点Q,连接.
(1)证明：；
(2)若正方形的边长为4,点P为中点,则的长为______.
21．【课本再现】如图,画,并画出斜边上的中线,量一量,看与有什么关系,相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想.
已知：如图,在中,,是斜边上的中线.
求证：.
证明：延长至点E,使,连结,.
(1)【定理证明】请根据以上提示,结合图1,写出完整的证明过程.
(2)【结论应用】如图2,在四边形中,,,,E是的中点,连接,.求的度数.
22．“”这个结论在数学中非常有用,有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如：,∵,∴,∴.试利用“配方法”解决下列问题：
(1)填空：____________；
(2)已知,求的值；
(3)比较代数式：与的大小.
23．中,,,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)探究猜想,如图1,当点D在线段BC上时,
①BC与CF的位置关系为______；
②BC、CD、CF之间的数量关系为______；
(2)深入思考,如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①、②是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)拓展延伸,如图3,当点D在线段BC的延长线上时,正方形ADEF对角线交于点O.若已知,,请求出OC的长.
参考答案
1．答案：D
解析：一元二次方程的常数项是；
故选D.
2．答案：A
解析：平行四边形,是中心对称图形,而不是轴对称图形,故A符合题意；
矩形,是中心对称图形,也是轴对称图形,故B不符合题意；
菱形,是中心对称图形,也是轴对称图形,故C不符合题意；
正方形,是中心对称图形,也是轴对称图形,故D不符合题意.
故选：A.
3．答案：B
解析：由题意得
,
解得：；
故选：B.
4．答案：B
解析：∵四边形ABCD为矩形,
∴要使其为正方形,只需要使矩形ABCD为菱形即可,
∴可添加.
故选：B.
5．答案：C
解析：设邀请x个球队参加比赛,
根据题意可得：,
故选C.
6．答案：D
解析：四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的三个图案中,
第一个与第三个四边形的四条边都相等,
∴第一个与第三个图形是菱形,
如图,
由四个全等的含角的直角三角板拼成的四边形,
∴,,
∴四边形是平行四边形,
∵,,
∴,,
∴,
∴,
∴四边形是菱形；
故选D.
7．答案：
解析：由题意,得：,
∴；
故答案为：.
8．答案：2
解析：
∴或
解得,,
即另一个解为,
故答案为：2.
9．答案：
解析：∵点B的坐标是,
∴,
∵四边形是矩形,
∴.
故答案为：.
10．答案：2024
解析：∵m是方程的一个根,
∴,
∴,
∴,
故答案为：.
11．答案：12
解析：∵点E、F分别为边AB、BC的中点,
∴,,
∵,
∴,
同理,,,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴四边形EFGH是矩形,
∴矩形EFGH的面积.
故答案为：12.
12．答案：3或或
解析：∵四边形是矩形,
∴,
∵E为的中点,1
∴.
设,则
①当时,如图1,
在中,,,
∴,
∵F为的中点,
∴,
∵,,
∴,
解得,,
经检验,是原方程的解,但不合题意,舍去,
∴,即；
②当时,连接如图2,
在中,,,
∴,
∵E为的中点,F为的中点,
∴是的中位线,
∴,
∵,
∴,
解得,,,
经检验,,是原方程的解,但不合题意,舍去,
∴,即；
③当时,过点F作,垂足为点H,垂足为点G如图3,
∴四边形是矩形,,,
∴,
∵,
∴
∴,
∴,
∴,
综上,的值为3或或.
故答案为3或或.
13．答案：(1),
(2)见解析
解析：(1)
∴,
则或,
解得,；
(2)证明：∵四边形是菱形,
∴,,
∵,
∴.
14．答案：或1
解析：根据题意,得：
整理得：
则
或
解得：,
当x取或1时,代数式:的值与的值互为相反数
15．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：∵,,
∴四边形OCED是平行四边形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴,即,
∴四边形OCED是矩形.
(2)∵在菱形ABCD中,,
∴.
又∵,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
∴
∴矩形OCED的面积是.
16．答案：(1)图1中AC与BD交点即是M
(2)图2中CN就是AD边上的高
解析：如图1
作法：连接BD交AC于M,则点M就是求作的点.理由如下：
∵菱形ABCD
∴AC与BD互相平分(菱形是特殊的平行四边形,平行四边形对角线互相平分)
∴M是AC的中点.
(２)如图2
作法：连接EM并延长交AD于N,连接CN,则CN就是求作的高.理由如下：
∵菱形ABCD
∴
∴
又∵M是AC的中点
∴
∴
∴
∴四边形ECNA是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平形四边形)
又∵
∴四边形ECNA是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)
∴于N
∴CN是AD边上的高.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)关于x的一元二次方程有实数根,
,
解得：,
即m的取值范围是；
(2),,
,
,
,即,
解得或.
；
.
故m的值为2.
18．答案：(1)或
(2)不能,理由见解析
解析：(1)矩形与墙垂直的一边,矩形的面积为,则长为,则,
当时,
,
解得或,
故的长为或.
(2)不能围成的矩形,理由如下：
设矩形场地的宽为,则长为,
依题意列方程：,
即,
∵,
∴方程无实数解,
故矩形场地的面积不能达到.
19．答案：(1)
(2)①0；1；②,
解析：(1)由题意得：的“对称方程”是；
(2)由,移项可得：,
由互为“对称方程”的定义可得,
,,
解得：,,
化为,
,
,.
20．答案：【操作感知】：30
(1)见解析
(2)
解析：【操作感知】：由折叠知,,,,
∵,
∴,
∴,
∴,
故答案为：30；
【迁移探究】(1)证明：∵正方形纸片按照【操作感知】进行折叠,
∴,,
在和中,
,
∴,
即；
(2)设的长为x,
∵正方形的边长为4,点P为中点,
∴,,,
在中,,
即,
解得
故答案为：.
21．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)补全后的证明过程如下：
证明：延长至点E,使,连接,,
是斜边上的中线,
,
又,
四边形是平行四边形,
又,
四边形是矩形,
,
.
(2)如图,连接,
,,,
,
,
E是的中点,
,,,
,,,
,
,
.
22．答案：(1)-2,1
(2)1
(3)
解析：(1),
故答案为：-2,1；
(2),
,
则,,
解得,,
则；
(3)
,
∵,
∴,
∴.
23．答案：(1)①垂直；②
(2)成立；证明见解析
(3)
解析：(1)①正方形ADEF中,,
∵,
∴,
在与中,
,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
即；
故答案为：垂直；
②,
∴,
∵,
∴；
故答案为：；
(2)成立；不成立,.理由如下：
∵正方形ADEF中,,
∵,
∴,
在与中,
,
∴,
∴,
∵,,
∴.
∴,
∴,
∴.
∵,,
∴.
(3)∵,,
∴,
∴,
∴,
由(2)同理可证得,
∴,,
∵四边形ADEF是正方形,
∴,
∵,
∴,
∴.