2025中考数学二轮专题-瓜豆原理轨迹最值问题（直线型）-专项训练【含答案】

这是一份2025中考数学二轮专题-瓜豆原理轨迹最值问题（直线型）-专项训练【含答案】，共36页。
2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，D是BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为

3．如图，AD是等边三角形ABC的BC边上的高，点E是AD上的一个动点（点E不与点A重合），连接CE．将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接DF、CF，若AB＝6，则线段DF长度的最小值是

4．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），点B是y轴正半轴一动点，以AB为边在AB的下方作等腰直角△ABP，且∠ABP＝90°．点B在y轴上运动时，OP的最小值为 ．

5．如图，∠AOB＝60°，点C，D在射线OA上，且OC＝4，CD＝2，P是射线OB上的动点，Q是线段DP的中点，则线段CQ长的最小值为 ．

6．如图，∠AOB＝60°，点C，D在射线OA上，且OC＝2CD＝4，P是射线OB上的动点，Q是线段DP的中点，则线段CQ长的最小值为 ．

7．如图，已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF．若，DE＝BF，则AE+DF的最小值为 ．

8．如图，AD是等边△ABC的BC边上的高，点E是AD上的一个动点（点E不与点A重合），连接CE，以CE为边构造等边△CEF．若AB＝6，则线段DF+CF长度的最小值是 ．

9．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝8，E、F分别为AD、BC上两个动点，且∠EFC＝60°，连接AF，CE，当AF+EF+CE最小时，BF的长为 ．

10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．

11．如图，腰长为8的等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转45°，得到线段AE，连接CE，则线段CE长的最小值是 ．

12．如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段FE，连接AF，若AB＝4，，则CF的长为 ．

13．如图，边长为12的等边三角形ABC中，E是高AD上的一个动点，连结CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到CF，连结DF．则在点E运动过程中，线段DF长度的最小值是 ．

14．如图，边长为2的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ．

15．如图，边长为6的等边三角形ABC中，AD⊥BC，E是AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接EF，则△CEF面积的最大值与最小值之比为 ．

16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E为AD所在直线上的一个动点．连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转120°后得到对应的线段CF，连接DF，则线段DF的最小值为 ．

17．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D在边AB上，AD＝2，点E是BC上一点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转60°得DF，连接CF，则CF的最小值是 ．

18．如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为 ．

19．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，OP的最小值为 ．

三．解答题（共5小题）
20．同学们准备研究“最值问题”，回顾已有知识，发现涉及到“最值”的有“两点之间，线段最短”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，同学们进行了如下探究：
（1）最值初体验
如图1，∠AOC＝60°，D是∠AOC角平分线上一点，点E在OC上，EO＝ED＝2．P为射线OA上一动点，连接DP，则线段DP的最小值为 ；
（2）探究与迁移
如图2，小明发现如果△ABC是边长为4的等边三角形，点O是AC边上的中点，P是BC边上的一个动点（点P不与B，C重合），连接AP，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接OP′，此时线段OP′的长度有一个最小值，请你画出图形并帮助小明同学求出此最小值；
（3）拓展与应用
如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5．点P是射线AC上的一个动点，连接PB，将线段PB绕点B逆时针旋转60°得到BP′，连接CP′，请直接写出线段CP′的最小值．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA＝4，OC＝3．点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE，当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是多少？

22．问题提出
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M为△ABC内一点，将线段AM绕点A按逆时针方向旋转∠BAC的度数得到AN，连接NC，BM，则∠NCA与∠MBA的数量关系为 ，MB与CN的数量关系为 ．
问题解决
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝75°，AB＝AC＝8，过B点的射线BD交AC边于点D，且∠ABD＝45°，M为射线BD上一动点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转75°，得到AN，连接NC，当△ANC为直角三角形时，求BM的长．
拓展探究
（3）如图3，矩形ABCD中，CD＝2，∠DAC＝30°，E为直线AC上一动点．将DE绕D逆时针旋转90°，得到DF，连接BF，则BF的最小值为 ．（直接写出结果）
23．如图，∠AOB＝60°，点C、D分别在射线OA、OB上，且满足OC＝4．将线段DC绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE．过点E作OC的平行线，交OB反向延长线于点F．
（1）根据题意完成作图；
（2）猜想DF的长并证明；
（3）若点M在射线OC上，且满足OM＝3，直接写出线段ME的最小值．
24．如图，AD是等边三角形ABC的高，点E是AD上的一个动点（点E不与点A重合），连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接BF、CF．
（1）猜想：△CEF是 三角形；
（2）求证：AE＝BF；
（3）若AB＝4，连接DF，在点E运动的过程中，请直接写出DF的最小值 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．如图，已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF．若AB＝，DE＝BF，则AE+DF的最小值为（ ）
A．4B．5C．4D．4
【解答】解：如图，延长DC到P使CD＝CP，连接AP，交BC于F，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴AE＝AF，
∵∠BCD＝90°，CD＝CP，
∴DF＝PF，
∴AE+DF＝AF+PF＝AP，
∵点A、F、P在一条直线上，
∴AP的长为AE+DF的最小值，
∵AB＝，
∴AD＝CD＝，DP＝2AC＝2，
∴AP＝＝5，即AE+DF的最小值为5，
故选：B．
2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，D是BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为（ ）
A．B．C．﹣1D．2﹣
【解答】解：如图，在AB上截取AF＝AC＝2，
∵旋转
∴AD＝AE
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°
∴AB＝2，∠B＝∠BAC＝45°，
∴BF＝2﹣2
∵∠DAE＝45°＝∠BAC
∴∠DAF＝∠CAE，且AD＝AE，AC＝AF
∴△ACE≌△AFD（SAS）
∴CE＝DF，
当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，
∴DF最小值为＝2﹣
故选：D．
3．如图，AD是等边三角形ABC的BC边上的高，点E是AD上的一个动点（点E不与点A重合），连接CE．将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接DF、CF，若AB＝6，则线段DF长度的最小值是（ ）
A．3B．C．1.5D．1
【解答】解：如图，连接BF，
∵AD是等边三角形ABC的BC边上的高，AB＝6，
∴BD＝CD＝3，∠CAD＝∠BAD＝30°，
∵将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到EF，
∴CE＝EF，∠CEF＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CE＝CF，∠ECF＝60°＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCF，
在△ACE和△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CAE＝30°，
∴点F在射线BF上运动，
当DF⊥BF时，DF有最小值，
此时，∵DF⊥BF，∠CBF＝30°，
∴DF＝BD＝1.5，
∴线段DF长度的最小值是1.5，
故选：C．
二．填空题（共16小题）
4．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），点B是y轴正半轴一动点，以AB为边在AB的下方作等腰直角△ABP，且∠ABP＝90°．点B在y轴上运动时，OP的最小值为 2 ．
【解答】解：过P作PC⊥y轴于C，如图：
∵∠ABP＝90°，
∴∠ABC+∠PBC＝90°，
又∵∠PBC+∠BPC＝90°，
∴∠ABC＝∠BPC，
又∵AP＝BP，
∴△AOB≌△BCP（AAS），
∴PC＝OB，BC＝OA＝4，
设OB＝PC＝x，
由勾股定理得：
OP2＝x2+（4﹣x）2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，
∴当x＝2时，OP最小，OP＝2．
故答案为：2．
5．如图，∠AOB＝60°，点C，D在射线OA上，且OC＝4，CD＝2，P是射线OB上的动点，Q是线段DP的中点，则线段CQ长的最小值为 ．
【解答】解：如图所示，取OD的中点E，连接EQ，
又∵Q是DP的中点，
∴EQ是△DOP的中位线，
∴EQ∥OP，
∴∠CEQ＝∠AOB＝60°，即点Q在过点E且平行于OB的直线上运动，
如图，当∠CQE＝90°时，CQ⊥EQ，依据垂线段最短可知，此时CQ最短，
∵OC＝4，CD＝2，E是OD的中点，
∴CE＝OC﹣OE＝4﹣OD＝4﹣3＝1，
∴Rt△CEQ中，CQ＝CE×sin∠CEQ＝1×＝，
故答案为：．
6．如图，∠AOB＝60°，点C，D在射线OA上，且OC＝2CD＝4，P是射线OB上的动点，Q是线段DP的中点，则线段CQ长的最小值为 ．
【解答】解：取OD的中点E，连接EQ，
∵Q是DP的中点，
∴EQ是△DOP的中位线，
∴EQ∥OP，
∴∠CEQ＝∠AOB＝60°，
即点Q在过点E且平行于OB的直线上运动，
当∠CQE＝90°时，CQ⊥EQ，
由垂线段最短可知，此时CQ最短，
∵OC＝2CD＝4，
∴CD＝2，
∴OD＝OC+CD＝6，
∵E是OD的中点，
∴OE＝OD＝3，
∴CE＝OC﹣OE＝4﹣3＝，
在Rt△CEQ中，∠ECQ＝90°﹣∠CEQ＝90°﹣60°＝30°，
∴EQ＝CE＝，
∴CQ＝＝＝，
即线段CQ长的最小值为，
故答案为：．
7．如图，已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF．若，DE＝BF，则AE+DF的最小值为 5 ．
【解答】解：如图，延长DC到P使CD＝CP，连接AP，交BC于F，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴AE＝AF，
∵∠BCD＝90°，CD＝CP，
∴DF＝PF，
∴AE+DF＝AF+PF＝AP，
∵点A、F、P在一条直线上，
∴AP的长为AE+DF的最小值，
∵AB＝，
∴AD＝CD＝，DP＝2DC＝2，
∴AP＝，即AE+DF的最小值为5．
故答案为：5．
8．如图，AD是等边△ABC的BC边上的高，点E是AD上的一个动点（点E不与点A重合），连接CE，以CE为边构造等边△CEF．若AB＝6，则线段DF+CF长度的最小值是 ．
【解答】解：如图，连接BF，
∵AD是等边三角形ABC的BC边上的高，AB＝6，
∴BD＝CD＝3，∠CAD＝∠BAD＝30°，
∵△CEF是等边三角形，
∴CE＝CF，∠ECF＝60°＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCF，
在△ACE和△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CAE＝30°，
∴点F在射线BF上运动，
作点C关于直线BF的对称点C'，连接C'F，C'D，C'B，
则C'F＝CF，△BCC'是等边三角形，且C'D是边BC上的高，C'D＝，
∵DF+CF＝DF+C'F≥C'D，
∴DF+CF长度的最小值是C'D的长，
∴线段DF长度的最小值是，
故答案为：．
9．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝8，E、F分别为AD、BC上两个动点，且∠EFC＝60°，连接AF，CE，当AF+EF+CE最小时，BF的长为 3 ．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H，则四边形ABHE是矩形，
∴EH＝AB＝2，
∵∠EHF＝90°，∠EFH＝60°，
∴∠FEH＝30°，
∴EF＝2FH，
∴FH＝2，EF＝4，
设BF＝x，则CH＝8﹣x﹣2＝6﹣x，
∴AF+EC＝+，
欲求AF+EC的最小值，相当于在x轴上 寻找一点P（x，0），使得P到M（0，2），N（6，2）的距离和最小（如图1中），
作点M关于x轴的对称点F，连接FN，
∵F（0，﹣2），N（6，2），
∴直线FN的解析式为y＝x﹣2，
令y＝0，可得x＝3，
∴x＝3时，PM+PN的值最小，此时BF＝3，
故答案为：3．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．
【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝
故答案为．
11．如图，腰长为8的等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转45°，得到线段AE，连接CE，则线段CE长的最小值是 ．
【解答】解：∵腰长为8的等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝45°，
如图，在AB上截取AH＝AC，连接HD，
∵线段AD绕点A逆时针旋转45°，得到线段AE，
∴AD＝AE，
∵∠DAE＝BAC＝45°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC即∠HAD＝∠CAE，
在△HAD与△CAE中，
，
∴△HAD≌△CAE（SAS），
∴HD＝CE，
∴当HD⊥BC时，HD有最小值，即CE有最小值，
∵AC＝BC＝AH＝8，∠ACB＝90°，
∴，∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴，
∵DH⊥BC，
∴∠BHD＝∠DBH＝45°，
∴，
故答案为：．
12．如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段FE，连接AF，若AB＝4，，则CF的长为 ．
【解答】解：∵将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段FE，
∴CE＝FE，∠CEF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠ECF＝60°，CE＝CF，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，AB＝4，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝4，∠ADB＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，，
∴，∠ACE+∠ECB＝∠ACB＝60°，∠BCF+∠ECB＝∠ECF＝60°，
∴∠ACE＝∠BCF，
在△ACE和△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠CAE＝∠CBF＝30°，
∴∠ABF＝∠ABC+∠CAE＝60°+30°＝90°，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在Rt△CDE中，CD＝2，
∴，
∴．
故答案为：．
13．如图，边长为12的等边三角形ABC中，E是高AD上的一个动点，连结CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到CF，连结DF．则在点E运动过程中，线段DF长度的最小值是 3 ．
【解答】解：CD绕C点逆时针旋转60°得到CM，连接BM，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BCM＝60°，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△BCM（SAS），
∴BM＝AD，∠ADC＝90°，
当DF⊥BM时，DF有最小值，
∵D是BC的中点，
∴DF＝CM，
∵BC＝12，
∴DF＝3，
∴线段DF长度的最小值为3，
故答案为：3．
14．如图，边长为2的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ．
【解答】解：取AC的中点G，则CG＝CD，
∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠DCE＝∠ACF，
∴△CDE≌△CGF（SAS），
∴∠FGC＝∠EDC＝90°，
∴点F在直线BG上运动，
过点D作DH⊥BG，此时DF的最小值即为DH，
∵BD＝BC＝1，
∴DH＝，
故答案为：．
15．如图，边长为6的等边三角形ABC中，AD⊥BC，E是AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接EF，则△CEF面积的最大值与最小值之比为 4：1 ．
【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD．
∵E是AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接EF，
∴点E与A重合时，△CEF面积最大；点E与D重合时，△CEF面积最小．
∵CE＝CF，∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
而所有的等边三角形都相似，
∴△CEF面积的最大值与最小值之比＝（AC：CD）2＝4：1．
故答案为4：1．
16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E为AD所在直线上的一个动点．连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转120°后得到对应的线段CF，连接DF，则线段DF的最小值为 3 ．
【解答】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H，
菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠BCD＝120°．
∵∠ECF＝120°，
∴∠1＝∠2．
由旋转可得：EC＝FC，
在△BEC和△DFC中，
，
∴△DCF≌△BCE（SAS），
∴DF＝BE，
即求DF的最小值转化为求BE的最小值．
∵在Rt△AHB中，∠BAH＝60°，AB＝2，
∴BH＝2×sin60°＝3，
当E与H重合时，BE最小值是3，
∴DF的最小值是3．
故答案为：3．
17．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D在边AB上，AD＝2，点E是BC上一点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转60°得DF，连接CF，则CF的最小值是 ．
【解答】解：如图，把△CDB绕点D逆时针旋转60°，得到△C′DB′，
∵∠B＝∠BDB′＝60°，
∴B′在BC上，BB′＝BD＝4．
∵∠C′B′D＝60°，
∴∠CB′C′＝60°，
∴B′C′∥AB，
过点C作CF′⊥B′C′时，此时的CF′就是CF最小值的情况．
∵B'C＝BC﹣BB'＝2，
∴CF'＝B'C×cs∠CB'C'＝2×＝
∴CF最小值为．
故答案为：
18．如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为 3 ．
【解答】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H，
菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠BCD＝120°．
∵∠ECF＝120°，
∴∠BCD＝∠ECF，
∴∠BCE＝∠DCF
由旋转可得：EC＝FC，
在△BEC和△DFC中，
，
∴△DCF≌△BCE（SAS），
∴DF＝BE，
即求DF的最小值转化为求BE的最小值．
∵在Rt△AHB中，∠BAH＝60°，AB＝2，
∴BH＝2×sin60°＝3，
当E与H重合时，BE最小值是3，
∴DF的最小值是3．
故答案为：3．
19．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，OP的最小值为 ．
【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F，
∴∠AED＝60°，
∴AO＝OE＝3，
∴OE＝，
∵△ADE和△ABP是等边三角形，
∴AB＝AP，AD＝AE，∠BAP＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠PAE，
在△ADB和△AEP中，
，
∴△AEP≌△ADB（SAS），
∴∠AEP＝∠ADB＝120°，
∴∠OEF＝60°，
∴OF＝OE＝3，∠OFE＝30°，
∴点P在直线EF上运动，
当OP⊥EF时，OP最小，
∴OP＝OF＝，
则OP的最小值为，
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
20．同学们准备研究“最值问题”，回顾已有知识，发现涉及到“最值”的有“两点之间，线段最短”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，同学们进行了如下探究：
（1）最值初体验
如图1，∠AOC＝60°，D是∠AOC角平分线上一点，点E在OC上，EO＝ED＝2．P为射线OA上一动点，连接DP，则线段DP的最小值为 ；
（2）探究与迁移
如图2，小明发现如果△ABC是边长为4的等边三角形，点O是AC边上的中点，P是BC边上的一个动点（点P不与B，C重合），连接AP，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接OP′，此时线段OP′的长度有一个最小值，请你画出图形并帮助小明同学求出此最小值；
（3）拓展与应用
如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5．点P是射线AC上的一个动点，连接PB，将线段PB绕点B逆时针旋转60°得到BP′，连接CP′，请直接写出线段CP′的最小值．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DF⊥OA于F，EH⊥OD于H，
∵∠AOC＝60°，OB平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝30°，
又∵EO＝ED＝2．EH⊥OD，
∴OH＝HD，HE＝OE＝1，OH＝HE＝，
∴OD＝2OH＝2，
∵∠AOD＝30°，DF⊥OA，
∴DF＝OD＝，
故答案为：；
（2）如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵点O是AC边上的中点，
∴CO＝2，
∵将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，
∴∠ACP'＝60°，
∴当P'O⊥AB时，OP'有最小值，
此时，OP'⊥CA，∠ACP'＝60°，
∴∠COP'＝30°，
∴CP'＝1，OP'＝CP'＝；
（3）取AB的中点H，连接PH，CH，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，
∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，
∵点H是AB的中点，
∴AB＝2BH＝2AH，
∴BH＝BC，AH＝BH＝，
∵将线段PB绕点B逆时针旋转60°得到BP′，
∴BP＝BP'，∠PBP'＝60°＝∠ABC，
∴∠P'BC＝∠PBH，
∴△BCP'≌△BHP（SAS），
∴CP'＝PH，
∴当PH有最小值时，CP'有最小值，
当PH⊥AC时，PH有最小值为AH＝，
∴CP′的最小值为．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA＝4，OC＝3．点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE，当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是多少？
【解答】解：如图所示：过点D作DG⊥OA，过点E作HE⊥DG．
∵DG⊥OA，HE⊥DG，
∴∠EHD＝∠DGA＝90°．
∴∠GDA+∠DAG＝90°．
∵四边形ADEF为正方形，
∴DE＝AD，∠HDE+∠GDA＝90°．
∴∠HDE＝∠GAD．
在△HED和△GDA中，
∴△HED≌△GDA．
∴HE＝DG＝3，HD＝AG．
设D（a，3），则DC＝a，DH＝AG＝4﹣a．
∴E（a+3，7﹣a）．
∴OE＝＝．
当a＝2时，OE有最小值，最小值为5．
22．问题提出
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M为△ABC内一点，将线段AM绕点A按逆时针方向旋转∠BAC的度数得到AN，连接NC，BM，则∠NCA与∠MBA的数量关系为 ∠NCA＝∠MBA ，MB与CN的数量关系为 MB＝CN ．
问题解决
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝75°，AB＝AC＝8，过B点的射线BD交AC边于点D，且∠ABD＝45°，M为射线BD上一动点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转75°，得到AN，连接NC，当△ANC为直角三角形时，求BM的长．
拓展探究
（3）如图3，矩形ABCD中，CD＝2，∠DAC＝30°，E为直线AC上一动点．将DE绕D逆时针旋转90°，得到DF，连接BF，则BF的最小值为 +2 ．（直接写出结果）
【解答】解：（1）由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，
∴∠BAC﹣∠CAM＝∠NAM﹣∠CAM，
即：∠MAB＝∠NAC，
∵AB＝AC，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴MB＝CN，∠NCA＝∠MBA，
故答案为：∠NCA＝∠MBA，MB＝CN；
（2）由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，
∴∠BAC﹣∠CAM＝∠NAM﹣∠CAM，
即：∠MAB＝∠NAC，
∵AB＝AC，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠AMB＝∠ANC，
①当△ANC为直角三角形，∠ANC＝90°时，
∴∠AMB＝∠ANC＝90°，
∵∠ABD＝45°，
∴△ABM为等腰直角三角形，
∵AB＝AC＝8，
∴BM＝AB＝4；
②当△ANC为直角三角形，∠CAN＝90°时，
∴∠BAM＝∠CAN＝90°，
∵∠ABD＝45°，
∴△ABM为等腰直角三角形，
∵AB＝AC＝8，
∴BM＝AB＝8；
综上，BM的长为4或8；
（3）如图，作DM⊥AC于M，FH⊥AC于H．DN⊥FH于N，
∴四边形DMHN是矩形，
∴∠DME＝∠DEF＝∠MDN＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠MDE＝∠NDF，
∵DE＝DF，
∴△MDE≌△NDF（AAS），
∴DM＝DN，
∴点F在直线l上运动，四边形DMHN是正方形，
根据垂线段最短可知，当BF⊥直线l时，BF的值最短，
矩形ABCD中，CD＝2，∠DAC＝30°，
∴∠DCA＝60°，AD＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，
∵DM⊥AC，
∴∠CDM＝30°，
∴CM＝1，DM＝，
∴MH＝DM＝，AM＝3，
∴AH＝3+，
作BP⊥AC于P，BG⊥直线l于G，
∴四边形BPHG是矩形，
∴BG＝PH，
∵∠BAC＝60°，AB＝CD＝2，
∴∠ABP＝30°，
∴AP＝1，
∴BG＝PH＝AH﹣AP＝3+﹣1＝+2．
即BF的最小值为+2．
故答案为：+2．
23．如图，∠AOB＝60°，点C、D分别在射线OA、OB上，且满足OC＝4．将线段DC绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE．过点E作OC的平行线，交OB反向延长线于点F．
（1）根据题意完成作图；
（2）猜想DF的长并证明；
（3）若点M在射线OC上，且满足OM＝3，直接写出线段ME的最小值．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）连接CE，OE，在射线OP上截取OP，使得OP＝OC，连接CP．
∵OC＝OP，∠COP＝60°，
∴△COP时等边三角形，
∵DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠PCO＝∠DCE＝60°，CP＝CO，CD＝CE，
∴∠PCD＝∠OCE，
在△PCD和△OCE中，
，
∴△PCD≌△OCE（SAS），
∴∠CPD＝∠COE＝60°，PD＝OE，
∵EF∥OC，
∴∠EFO＝∠COP＝60°，
∵∠EOF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△EOF是等边三角形，
∴OF＝OE＝PD，
∴DF＝OP＝OC＝4；
（3）过点M作MH⊥OE于点H．
由（2）可知，∠EOF＝60°，
∴点E在射线OE上运动，
∴当线段ME与MH重合时，ME的值最小，
在Rt△OMH中，∠OMH＝30°，
∴OH＝OM＝，
∴MH＝＝＝．
24．如图，AD是等边三角形ABC的高，点E是AD上的一个动点（点E不与点A重合），连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接BF、CF．
（1）猜想：△CEF是 等边 三角形；
（2）求证：AE＝BF；
（3）若AB＝4，连接DF，在点E运动的过程中，请直接写出DF的最小值 1 ．
【解答】（1）解：结论：△CEF是等边三角形．
理由：∵CE＝EF，∠CEF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
故答案为：等边．
（2）证明：∵△ABC，△CEF都是等边三角形，
∴CA＝CB，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF．
（3）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝BC＝4，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，BD＝CD＝2，
∵△ACE≌△BCF，
∴∠CAE＝∠CBF＝30°，
∴点F使得运动轨迹是射线BF（与BC的夹角为30°），
∴当DF⊥BF时，DF的值直线，最小值＝BD•sin30°＝2×＝1，
故答案为：1．
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