人教版（2024）八年级数学上册第十三章轴对称13.3等腰三角形教案

这是一份人教版（2024）八年级数学上册第十三章轴对称13.3等腰三角形教案，共28页。
13.3.1　等腰三角形第1课时　等腰三角形的性质 课时目标1.探索并证明等腰三角形的两个性质,培养学生的探究精神和推理能力.2.会应用等腰三角形概念和性质解决问题,培养应用意识.3.经历观察实验、猜想证明,发展合情推理能力和演绎推理能力.4.结合等腰三角形的性质的探索和证明过程,体会轴对称在研究几何问题中的作用,培养学生对知识的迁移能力. 学习重点探索并证明等腰三角形的性质. 学习难点性质1中辅助线的添加和对性质2的理解. 课时活动设计情境引入学校开展实践活动,八年级的两位同学将一块等腰三角板放在国旗台上,在三角板顶点放一根绑着石块的绳子,他们发现绳子过三角板底边中点,就说国旗台是水平的.你知道为什么吗? 设计意图:从学生身边熟悉的国旗台是否水平的实践活动出发,利用等腰三角板工具,引出课题,进一步让学生感知数学来源于生活,也能解决很多生活问题,培养学生应用数学思维思考现实世界的能力,培养科学态度和理性精神.探究新知通过剪纸,得到等腰三角形,认识边(腰和底)、角(底角和顶角),归纳等腰三角形的概念.问题1:利用长方形纸片和剪刀,你能按照上图的方式剪出一个三角形吗?你能说明剪出的图形有什么特征吗?师生活动,学生动手操作,然后小组交流.解:上述过程中,剪刀剪过的两条边是相等的,即AB=AC,所以剪出来的三角形是等腰三角形.问题2:仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片,你能发现哪些角重合?哪些边重合?等腰三角形是轴对称图形吗?是的话,对称轴是什么?小组合作交流.分析:学生在教师设置的问题的启发下得出证明思路,只需证明两个三角形全等即可,即可以作出底边上的中线即可.解:已知△ABC为等腰三角形,AB=AC,作底边BC的中线AD,在△ABD和△ACD中,∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD=∠CAD,∠ABD=∠ACD,∠ADB=∠ADC,AB=AC,BD=CD.所以∠BAD与∠CAD重合,∠ABD与∠ACD重合,∠ADB与∠ADC重合,AB与AC重合,BD和CD重合,等腰三角形是轴对称图形,对称轴是角平分线,是底边上的高,是底边上的中线.问题3:学生剪下的等腰三角形纸片大小不同,形状各异,是否都具有上述所概括的特征?小组交流讨论.解:都具有上述所概括的特征.问题4:在练习本上任意画一个等腰三角形,把它剪下来,折一折,上面得出的结论仍然成立吗?由此你能概括出等腰三角形的性质吗?师生活动,学生动手操作,相互比较,互动交流,师生共同归纳.分析:教师通过上述问题,和学生归纳出性质的简写形式,并着重引导学生分析“三线合一”的含义.归纳:等腰三角形的性质.性质1　等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);性质2　等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成“三线合一”).性质2可分解为:(1)等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线和高;(2)等腰三角形底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线;(3)等腰三角形底边上的高也是顶角平分线和底边上的中线. 设计意图:数学学习是螺旋式上升的,学生小学时已经对等腰三角形有了初步的认识,现在让学生通过动手操作,在反复比较的过程中归纳总结等腰三角形的性质,体会认识事物的一般方法——由特殊到一般,进一步培养学生的抽象概括能力,让学生真正理解“三线合一”的含义,不仅培养学生的动手能力,还能培养学生的抽象概括能力和几何直观能力.例题精讲例　如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.分析:本题共三个等腰三角形(△ABC,△DAB和△BCD),设∠A=x,可以利用等腰三角形的性质1和三角形的外角性质,将∠BDC用2x表示;利用等腰三角形的性质1,可知∠C=∠BDC,即∠C也可用2x表示;再利用等腰三角形的性质1,可知∠ABC=∠C,即∠ABC也可用2x表示:由三角形内角和定理即可求出△ABC各角的度数.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.解得x=36°.所以在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°. 设计意图:让学生进一步理解等腰三角形的性质的意义,熟练运用等腰三角形的性质进行简单的求解,启发学生建立知识之间的普遍联系,培养学生的逻辑推理能力和方程思想.巩固训练1.(1)在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠B=35°,则∠A=　110°　. (2)等腰三角形的一个内角是100°,则这个三角形的底角的度数是　40°　. (3)等腰三角形的一个内角是50°,则这个三角形的底角的度数是　65°或50°　. 2.如下图所示,△ABC是等腰直角三角形(AB=AC,∠BAC=90°),AD是底边BC上的高.求∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,并写出图中所有相等的线段.解:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°.∵△ABC是等腰直角三角形,AD是△ABC底边上的高,∴AD是∠BAC的角平分线,是BC边上的中线.∴∠BAD=∠DAC=45°,BD=CD.∴∠B=∠BAD=45°,∠C=∠DAC=45°.∴AD=BD=CD.∴相等的线段:AD=BD=CD,AB=AC.3.已知点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC.(1)如图1,若AD=AE,求证:BD=CE;(2)如图2,若BD=CE,F为DE的中点,求证:AF⊥BC.证明:(1)∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.∴∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.∴∠ADB=∠AEC.在△ABD与△ACE中,∠ADB=∠AEC,∠B=∠C,AB=AC,∴△ABD≌△ACE(AAS).∴BD=CE.(2)∵F为DE的中点,∴DF=EF.∵BD=CE,∴BD+DF=CE+EF.∴BF=CF.∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.∴AF为△ABC的中线,也是高线.∴AF⊥BC. 设计意图:在解题过程中学生可能会出现两种方法,需要进行对比,让学生体会三线合一的重要性.在等腰三角形有关计算或证明中,有时需要添加辅助线,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.通过练习,有利于培养学生应用知识的能力,让学生体会知识的转化.课堂小结1.回顾引入中的问题,你能应用本节课的知识解决一下吗?2.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容,并请学生回答以下问题:(1)本节课学习了哪些主要内容?(2)我们是怎么探究等腰三角形的性质的?(3)“三线合一”的含义是什么?请举例说明.(4)本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法? 设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学内容和研究方法,把握本节课的重点——等腰三角形的性质,体会轴对称在研究几何问题中的重要作用.引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心内容,掌握数形结合研究问题和建立不等式方程(组)解决问题的方法,提升知识转化和迁移能力.课堂8分钟.1.教材第81,82页习题13.3第1,2,4题.2.七彩作业. 教学反思  第2课时　等腰三角形的判定 课时目标1.通过对等腰三角形判定定理的证明,发展学生的归纳猜想能力,培养学生的推理能力.2.应用等腰三角形判定定理解决问题,培养学生应用意识和创新能力.3.提高学生证明文字命题的能力,培养举一反三、灵活变换的能力,培养数学文字语言向符号语言的转化能力.4.体会数学源于实际,运用于实际的应用价值,领悟数学中的转化思想,欣赏数学的几何美、对称美. 学习重点等腰三角形判定定理及应用. 学习难点等腰三角形性质和判定的互逆关系. 课时活动设计回顾旧知1.上节课我们学习了等腰三角形,现在大家来回忆一下,等腰三角形的定义和等腰三角形有哪些性质?老师指定学生回答.解:等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形是等腰三角形;等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角);(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).2.如图,已知AC=BD,是否能根据上节课所学的等边对等角得到这两条边所对的角∠ABC=∠DAB呢?如果不可以,那是为什么呢?解:不能根据等边对等角得到这两条边所对的角∠ABC=∠DAB,因为AC和BD不在同一个三角形内,等边对等角是指在同一个三角形内的边角关系. 设计意图:前面学习的全等知识是两个图形之间的关系,而等边对等角是同一个三角形内的边角关系,这也是本节判定要强调的.学生在学习时既要注意知识的迁移性又要重视知识间相互联系的特性,培养学生掌握对比的学习方法.情境引入如图,位于海上B,C两处的两艘救生船都接到A处遇险船只的报警,当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)? 设计意图:数学来源于生活,数学教学中要善于培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力,学生凭借上节课的知识可能会猜测答案,但究其原因可能不是太清楚.教师通过设置悬念激起学生学习本节课的兴趣,提高学习效率.探究新知等腰三角形的判定问题:如图,在△ABO中,∠B=∠A,那么它们所对的边OA和OB有什么数量关系?学生猜想:相等.追问1:如何验证你的猜想?小组交流,展示方法.解:方法一:作∠O的平分线OT交AB于点T,证明△OAT≌△OBT(AAS),∴OA=OB(全等三角形对应边相等)方法二:过O点作OD⊥AB,垂足为点D,证明△AOD≌△BOD(AAS),∴OA=OB(全等三角形对应边相等).追问2:做AB的中线OD,能证明OA=OB吗?尝试一下.分析:等腰三角形性质有“三线合一”,方法一和二分别做角平分线和一边上的高,因此,学生很自然会想到做中线是否可以?经过尝试,SSA不能证明全等,所以得不到结论.追问3:根据以上分析你能总结出什么结论?归纳如下:1.等腰三角形的判定方法:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).2.符号语言:在△ABC中,∵∠B=∠C,(已知)∴AC=AB.(等角对等边)即△ABC为等腰三角形. 设计意图:学生通过多种方法证明、归纳结论,培养学生抽象概括能力,助于学生知识体系和学习方法的培养,文字语言向符号语言的转化,锻炼学生语言表达能力.探究新知你还有其他判定方法吗?问题:已知:三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边.求证:这个三角形是等腰三角形.小组合作,教师找小组代表回答.已知:∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC.求证:AB=AC.分析:要证明AB=AC,可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2,所以可设法找出∠B,∠C与∠1,∠2的关系.证明:∵AD∥BC,∴∠1=∠B(两直线平行,同位角相等),∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).已知∠1=∠2,所以∠B=∠C.∴AB=AC(等角对等边). 设计意图:探索多种方法证明,加深学生对判定定理的理解与灵活应用.探究新知已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h,求作这个等腰三角形.BC=a,底边上的高为h.方法一:本题逆用等腰三角形的性质2(三线合一),已知底边和高,同时也是中线,所以可以考虑做底边的垂直平分线,然后截取高h;方法二:已知底边,做等腰三角形就是要找到顶点,即找点到线段AB的端点距离相等,所以想到做底边的垂直平分线.作法:(1)作线段AB=a.(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D.(3)在MN上取一点C,使DC=h.(4)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形. 设计意图:条条大道通罗马,不同的理解方法用到的知识点不同,要给学生足够的思考空间,多角度展现学生的想法,这样的课堂对学生思维的训练和培养才是真正有效的.典例精讲例　在△ABC中,AB=AC,倘若不留神,它的一部分被墨水涂没了,只留下一条底边BC和一个底角∠C,请问,有没有办法把原来的等腰三角形画出来?解:方法1:量出∠C度数,画出∠B=∠C,∠B与∠C的边相交得到顶点A.方法2:作BC边上的垂直平分线,与∠C的一边相交得到顶点A.方法3:对折. 设计意图:一题多解、拓宽思路、开阔视野,及时巩固本节课所学内容.巩固训练1.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°.(1)∠1=　72°　,∠2=　36°　; (2)图中的等腰三角形分别是　△ABD,△ABC,△BCD　. 第1题图第2题图2.如图,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3 cm,则CD等于　3 cm　. 3.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.求证:AB=AD.证明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∴∠ADB=∠ABD.∴AB=AD.如图,把一张长方形的纸沿着对角线折叠,重合部分是一个等腰三角形吗?为什么?解:是等腰三角形.理由如下:由折叠性质可知∠EBD=∠CBD.∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.∴∠EBD=∠ADB.∴EB=ED.即△EBD为等腰三角形. 设计意图:巩固本节课知识的同时,使学生从思维上、能力上、方法上都得到训练,培养学生几何直观和推理能力.课堂小结1.谈谈今天的收获.2.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容,并请学生回答以下问题:(1)本节课学习了哪些主要内容?(2)我们是怎么探究等腰三角形的判定的?(3)本节课你学到了哪些方法? 设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学内容和研究方法,把握本节课的核心内容,引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,掌握几何直观和模型观念,提升知识转化和迁移能力.课堂8分钟.1.教材第82页习题13.3第5,7题.2.七彩作业. 教学反思  13.3.2　等边三角形第1课时　等边三角形的性质和判定 课时目标1.掌握等边三角形定义,理解等边三角形和等腰三角形的关系,培养学生的抽象概括能力.2.经历类比过程,探索等边三角形的性质和判定,培养学生的推理能力和模型观念.3.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明,培养学生的推理、运算能力和应用意识.4.培养学生参与数学学习活动的积极性,增强对数学的好奇心和求知欲. 学习重点理解并掌握等边三角形的概念、性质和判定. 学习难点理解并掌握等边三角形判定定理的探究与证明,灵活的运用等边三角形的性质与判定方法解决相关问题. 课时活动设计回顾旧知1.等腰三角形的性质和判定?2.三角形按边的关系怎么分类?解:分类为 设计意图:本节课研究的等边三角形是特殊的等腰三角形,回忆等腰三角形的性质和判定以及三角形的分类,有助于类比研究本节内容,忆旧知导新课,帮助学生明确研究方向和内容,培养学生用类比思想研究问题,锻炼数学思维.探究新知等边三角形的性质1.你能归纳等边三角形的定义并结合图形写出符号语言吗?解:文字语言:三边都相等的三角形叫做等边三角形(正三角形).符号语言:∵AB=AC=BC,∴△ABC是等边三角形.2.类比等腰三角形的性质,你能得到等边三角形什么性质?解:(1)三条边相等;(2)三个角相等,都是60°.3.等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴?学生动手作图,找学生回答问题.解:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的角平分线都“三线合一”,等边三角形有3条对称轴.4.你能运用类比的方法探索等腰三角形与等边三角形的联系与区别吗?解:等腰三角形和等边三角形边、角、对角线的联系与区别.　　 设计意图:学生动手折叠或者作图验证猜想,得出等边三角形满足“三线合一”,有3条对称轴.熟练掌握等腰三角形与等边三角形的联系与区别,经历猜想、验证、归纳的过程,让学生体验研究的方法和思路,培养严谨的科学态度和模型观念.典例精讲例1　如图,在等边△ABC中,BC=10,BD⊥AC于点D,则(1)AC=　10　; (2)∠A=　60°　; (3)∠ABD=　30°　; (4)AD=　5　. 例2　如图,△ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE,若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数.分析:利用等边三角形三个角都是60°可得∠ACD是120°,再通过等腰△EBD的性质就可得出答案.学生独立完成,小组内交流.解:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵∠ABE=40°,∴∠EBC=60°-40°=20°.∵BE=DE,∴∠EBD=∠D=20°.∵∠ACD=180°-60°=120°,∴∠CED=180°-120°-20°=40°. 设计意图:本环节设计的2个例题,巩固等边三角形边、角、三线合一的性质,选题有梯度,分层设置.第2小题强调等边三角形每个角都是60°这个隐含条件以及三角形内角和定理和外角定理的综合应用,巩固性质,培养学生运用数学的能力,提升推理能力和运算能力.探究新知等边三角形的判定1.类比等腰三角形的判定方法,你能得出等边三角形的判定方法吗?　　2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?学生讨论得出:一共有两种情况,等腰三角形的顶角是60°或等腰三角形的一个底角是60°.分别用三角形的内角和及等腰三角形两底角相等求出另外两个角从而得出三个内角都是60°,验证是等边三角形. 设计意图:用类比的方法探究等边三角形的判定,使学生在掌握知识的同时更好地把握住了研究问题的方法,培养了学生方法的掌握和知识体系的形成,注重对学生能力的培养.典例精讲例1　根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.解:图形(2)(3)(5)(6)是等边三角形,图形(1)不是等边三角形,图形(4)不一定是等边三角形.例2　如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证:△ADE是等边三角形.证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ABC是等边三角形.变式训练(1)如图1,若点D,E在边AB,AC的延长线上(如图1),且DE∥BC,结论还成立吗?(2)如图2,若点D,E在边AB,AC的反向延长线上(如图2),且DE∥BC,结论依然成立吗?(3)题(1)中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.解:(1)结论仍成立.(2)结论仍成立.(3)△ADE还是等边三角形.理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.∴∠EAD=60°.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE=60°.∴△ADE还是等边三角形. 设计意图:根据图形结构和题设条件多方位进行变式,达到一题多练的目的,培养学生几何直观和空间观念,使学生抓住图形的本质,发展模型观念.巩固训练1.△ABC为等边三角形,点M是BC边上任意一点,点N是CA边上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交于Q点,求∠BQM的度数.解:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC,∠ABC=∠C=∠BAC=60°.在△AMB与△BNC中,AB=AC,∠ABM=∠BCN,BM=CN,∴△AMB≌△BNC.∴∠BAM=∠CBN.∵∠BQM是△ABQ的外角,∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ.∵∠BAM=∠CBN.∴∠BQM=∠CBN+∠ABQ=∠ABC.∵∠ABC=60°,∴∠BQM=60°.2.在等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试证明你的结论.解:△APQ是等边三角形.证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,∴△ABP≌△ACQ.∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°.∴△APQ是等边三角形. 设计意图:本题组设计两个题目,分别是等边三角形性质和全等的综合应用、等边三角形判定和全等的综合应用.利用三角形全等转化边和角相等是几何常考知识点,也是初中阶段的重点,选题具有典型性,培养学生综合分析问题的能力,进一步培养推理意识和能力.课堂小结1.谈谈今天的收获.2.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容,并请学生回答以下问题:(1)本节课学习了哪些主要内容?(2)我们是怎么探究等边三角形的性质和判定的?(3)本节课你学到了哪些方法? 设计意图:通过小结,引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,掌握几何直观和模型观念,提升知识转化和迁移能力.课堂8分钟.1.教材第80页练习第1,2题.2.七彩作业. 教学反思  第2课时　含30°角的直角三角形的性质 课时目标1.掌握含30°角的直角三角形的性质,培养学生抽象概括能力.2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行简单计算和证明,培养运算能力和应用意识.3.经历探索含30°角的直角三角形的性质的过程,“探索——发现——猜想——证明”,让学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系. 学习重点含30°角的直角三角形性质定理的发现与证明. 学习难点含30°角的直角三角形性质定理的探索与应用. 课时活动设计回顾旧知等边三角形的性质和判定? 设计意图:本节知识是在等边三角形的基础上结合“三线合一”探究的,复习旧知体现知识的延续性,为本节课的探究做准备,培养学生研究问题的方法和几何直观性.探究新知1.将两个含有30°角的三角尺摆放在一起.你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?学生自主探究分析:学生在得出结论的过程中可能会用到测量、观察、推理等多种方式,让学生经历观察、猜想、验证的过程,体会知识的形成原理,培养学生勇于探究的精神.结论:将两个含30°角的三角尺拼在一起,得到一个等边三角形,再利用这个图形的轴对称性,得出BC=12AB.2.你能证明你的发现吗?有哪些方法?学生经过探究共有三种方法证明:证法一:∵∠BAC=∠CAD=30°,∴∠BAD=60°.又∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=60°.∴△BAD是等边三角形,线段AB=AD=BD.又∵线段BC=CD,∴线段AB=AD=BD=2BC=2CD.可以得出BC=12AB.证法二:延长BC到D,使BD=AB,连接AD.在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.∴△ABD是等边三角形.又∵AC⊥BD,∴BC=12BD.∴BC=12AB.点拨:倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍,即1倍、2倍等.证法三:在BA上截取BE=BC,连接EC.∵∠B=60°,BE=BC,∴△BCE是等边三角形.∴∠BEC=60°,BE=EC.∵∠A=30°,∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC.∴AE=BE=BC.∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=12AB.点拨:在证明中,在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段的方法就是截半法. 设计意图:通过开放性问题的设置给学生提供足够的思考空间,拓宽学生的思路,体会多种方法证明的过程,开阔学生视野,培养学生发散性思维,提升学生的能力.归纳总结含30°角的直角三角形的性质:文字语言:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.符号语言:如图,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴BC=12AB 即a=12c. 设计意图:通过证明验证结论,归纳概括为定理,培养学生抽象能力.本环节通过文字语言、符号语言、图形语言三种形式表述定理,培养学生三种语言的相互转化能力和用数学语言表达问题的能力.典例精讲例1　如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4 m,∠A=30°.立柱BC,DE要多长?分析:找到两个基本条件(直角三角形,30°角)是根本.解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,∴BC=12AB,DE=12AD.∴BC=12×7.4=3.7(m).又∵点D是AB的中点,∴AD=12AB=12×7.4=3.7(m).∴DE=12AD=12×3.7=1.85(m).故立柱BC长3.7 m,DE长1.85 m.例2　已知等腰三角形的底角为15°,腰长为2a.求腰上的高.分析:通过三角形的外角和定理找到30°角.解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=15°.∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=30°.∵CD是腰AB上的高,∴△ACD是直角三角形.∴在Rt△ACD中,AC=2a,∠DAC=30°,∴CD=12AC=a. 设计意图:使学生熟练掌握等腰三角形的性质,在解题过程中根据文字语言写图形语言和符号语言,培养几何转化能力.巩固训练1.在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,DA⊥BA于点A,BD=6 cm,则AD=　3 cm　. 第1题图第2题图第3题图2.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于点C,PD⊥OA于点D,若PC=3,则PD等于(　C　)A.3　　　　　　　B.2　　　　　　　C.1.5　　　　　　　D.13.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC的中点,DE⊥AC.则AB?AE=　4?1　. 4.(双垂直结构)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB,AB=4.则BC=　2　,BD=　1　. 5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,∠B和∠A各是多少度?边AB与BC之间有什么关系?解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,∴∠B=60°,∠A=30°.∴BC=12AB.6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF为AB的垂直平分线,EF交BC于点F,交AB于点E,BF=5 cm,求CF的长.解:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.∵EF为AB的垂直平分线∴∠B=∠BAF=30°.∴BF=AF=5,∠AFC=60°.∴∠FAC=90°.∴AF=12CF.∴CF=2AF=2BF=2×5=10(cm). 设计意图:通过巩固训练,培养学生知识体系的形成,提升学生学数学、用数学的能力,增强其应用意识和创新意识.课堂小结1.谈谈今天的收获.2.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容,并请学生回答以下问题:(1)本节课学习了哪些主要内容?(2)我们是怎么探究含30°的直角三角形的性质的?(3)含30°的直角三角形的性质的作用?(4)本节课你学到了哪些方法? 设计意图:通过小结,引导学生从知识内容和学习过程及研究方法多方面总结自己的收获,掌握几何直观和模型观念,提升知识转化和迁移能力.课堂8分钟.1.教材第83页习题13.3第14,15题.2.七彩作业. 教学反思  名称图形边角重要线段对称性等腰三角形两腰相等两个底角相等顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合轴对称图形,有一条对称轴等边三角形三条边相等三个角相等,且都为60°每条边上的中线、高和它所对角的角平分线都互相重合轴对称图形,有三条对称轴图形等腰三角形等边三角形判定从边看:两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形从角看:两个角相等的三角形是等腰三角形三个角都相等的三角形是等边三角形