北师大版初中八年级数学上册专项素养综合练(四)新定义题型课件

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新定义题型专项素养综合全练(四)类型一　三角形中的新定义1.我们新定义一种三角形:两边长的平方和等于第三边长的平方的4倍的三角形叫常态三角形.例如:一个三角形的三边长分别是5,6,8,因为62+82=4×52=100,所以这个三角形是常态三角形.(1)若△ABC的三边长分别是2, ,4,则此三角形　　　    常态三角形(填“是”或“不是”).(2)若Rt△ABC是常态三角形,则此三角形的三边长之比为    　　    (从小到大排列).(3)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD=AD=DB,若△BCD是常态三角形,求△ABC的面积.  解析    (1)是.(2) ∶ ∶ .详解:不妨设Rt△ABC三边长分别为a,b,c,其中c为斜边长,4a2=b2+c2,则a2+b2=c2,∴4a2=b2+a2+b2,∴ a= b,∴ = ,∴a∶b∶c= ∶ ∶ .(3)设CD=x(x>0),则AB=2x.∵△BCD是常态三角形,∴有以下两种可能:①当x2+x2=4BC2=4×62=144时,x2=72,∴x=6 ,∴AB=12 ,由勾股定理得AC= = =6 ,则S△ABC= AC·BC= ×6 ×6=18 ;②当x2+62=4x2时,x2=12,∴x=2 ,∴AB=4 ,由勾股定理得AC= = =2 ,则S△ABC= AC·BC= ×2 ×6=6 .综上,△ABC的面积为6 或18 .类型二　二次根式中的新定义2.(2024陕西咸阳彩虹学校期中)定义一种新运算“△”,a△b=a2-ab,则 △1的值为 (　    )A.1- 　    B.1+ C.2- 　    D.2+ C3.(2024江西吉安期末)对于X,Y定义一种新运算“*”:X*Y=aX+bY,其中a,b为常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.若 - +b=1成立,则2*3=　　　    . 7解析　∵ - +b=1,∴a-2≥0,且2-a≥0,∴a=2,∴b=1,∴X*Y=2X+Y,∴2*3=2×2+3=7.故答案为7.类型三　直角坐标系中的新定义4.(2024甘肃兰州期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点M(a,b),对于点P(x,y),将点Q(x+a,y-b)称为点P关于点M的关联点.(1)点P(-6,7)关于点M(2,3)的关联点Q的坐标是　　　    .(2)若点P(x,y)关于点M(a,b)的关联点为P',直线PP'∥x轴,且线段PP'的长度为2,求a,b的值.(3)点P(-1,t-1),N(2t,5t)关于点M(3,b)的关联点分别是点P1,N1,且点P1在x轴上,点O为坐标原点,三角形OP1N1的面积为3,求点N1的坐标.解析    (1)∵P(-6,7),M(2,3),∴-6+2=-4,7-3=4,∴点P(-6,7)关于点M(2,3)的关联点Q的坐标是(-4,4).(2)∵点P(x,y)关于点M(a,b)的关联点为P',∴P'(x+a,y-b),∵直线PP'∥x轴,∴y=y-b,即b=0,∵线段PP'的长度为2,∴分两种情况:①当点P'在点P的左侧时,x-(x+a)=2,即a=-2;②当点P'在点P的右侧时,x+a-x=2,即a=2.综上所述,a=±2,b=0.(3)∵点P(-1,t-1),N(2t,5t)关于点M(3,b)的关联点分别是点P1,N1,∴P1(2,t-1-b),N1(2t+3,5t-b),∵点P1在x轴上,∴t-1-b=0,即b=t-1,∴P1的坐标是(2,0),N1的坐标为(2t+3,4t+1),∵三角形OP1N1的面积为3,∴ ×2×|4t+1|=3,即|4t+1|=3,∴4t+1=3或4t+1=-3,∴t= 或t=-1,∴点N1的坐标为(4,3)或(1,-3).