湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2-3-2两条直线的交点坐标课件

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1.求两相交直线的交点坐标,其关键是解方程组,解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.(1)若一条直线的方程是斜截式,则常应用代入消元法解方程组.(2)若直线的方程都是一般式,则常应用加减消元法解方程组.2.设直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则过l1,l2交点的直线方程可设为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为参数),然后根据条件求待定系数.2.3.2 两条直线的交点坐标1 | 两条直线的交点坐标1.利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系,但是由于运算量较大,一般较少使用.2.两条直线相交的判定方法:①联立直线方程组成方程组,并解方程组,若有一组解,则两直线相交.②两直线斜率都存在且斜率不相等.③若两条直线的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2相交⇔A1B2-A2B1≠0. 2 | 两条直线的位置关系与相应方程组的解1.若两直线的方程组成的方程组无解,则两直线一定平行吗?一定.2.若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线一定相交吗?不一定.两直线的方程组成的方程组有无数组解时,两直线重合.3.m为何值时,x-y+1=0与x-2my+3=0相交?m≠ .4.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0)与直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),当A1B2=A2B1时,直线l1与l2一定没有交点吗?不一定.当A1B2=A2B1,且B1C2=B2C1时,方程组 有无数组解,从而直线l1与l2重合.知识辨析1.常规解法(方程组法):一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件求出直线方程.2.特殊解法(直线系法):先设出过两直线交点的直线方程,再结合条件利用待定系数法求出参数,最后确定直线方程. 1 求过两条直线交点的直线方程的方法  典例　经过直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点,且经过原点的直线方程是    　　　　    . 3x+19y=0 解析    解法一:联立 解得x=- ,y= .所以直线l1与l2的交点坐标为 .故过点 和原点的直线方程为y=- x,即3x+19y=0.解法二:设直线方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0(λ∈R),因为直线过原点,所以将(0,0)代入,得4+5λ=0,解得λ=- ,所以所求直线方程为y=- x,即3x+19y=0. 1.将直线方程转化为y-y0=k(x-x0)的形式,则直线必过定点(x0,y0).2.应用分离参数的方法,将直线方程转化为a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0(λ∈R),由 求出定点坐标.3.应用特殊值法,给方程中的参数赋两个特殊值,可得关于x,y的两个方程,联立方程解出x,y的值即得定点的坐标. 2 求解直线过定点问题的方法 典例　已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0为直线l的方程,求证:无论k取何实数,直线l过定点,并求出这个定点坐标. 思路点拨　可用特殊值法,分别令k=0,1,将得到的直线方程联立求得交点坐标,代入验证即可;也可以利用共点直线系方程来求解. 解析    解法一: 对于方程(k+1)x-(k-1)·y-2k=0,令k=0,得x+y=0;令k=1,得2x-2=0.解方程组 得 所以两直线的交点坐标为(1,-1).将(1,-1)代入已知直线方程的左边,得(k+1)-(k-1)·(-1)-2k=0.这表明无论k取何实数,直线l过定点(1,-1).解法二: 整理直线l的方程,得(x+y)+k(x-y-2)=0,无论k取何实数,直线l的方程为直线系l1+λl2=0的形式,因此直线l过定点,定点坐标即为方程组 的解,解方程组得 ∴无论k取何实数,直线l过定点(1,-1). 解法三:由直线l的方程得(k+1)x=(k-1)y+2k,变形为(k+1)x-(k+1)=(k-1)y+(k-1),即(k+1)(x-1)+(1-k)(y+1)=0.直线l的方程为过定点(x0,y0)的直线系方程A(x-x0)+B(y-y0)=0的形式,所以直线l必过定点,定点坐标为方程组 的解,解方程组得 ∴无论k取何实数,直线l过定点(1,-1). 1.对称点的求法(1)求点关于点的对称点坐标　　若点M(x1,y1)关于点P(a,b)的对称点为N(x,y),则由中点坐标公式可得 (2)求点关于直线的对称点坐标　　设点M(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的对称点为N(x,y),则点N的坐标可由方程组 求得.3 常见的对称问题及应用 2.在直线l上求一点P,使P到两个定点的距离之和最小的方法(1)若两个定点A,B在直线l的异侧,则当点P为直线AB与l的交点时,点P到两个定点的距离之和最小,最小值为|AB|.如图①,在直线l上任取一点P',则|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|.(2)若两个定点A,B在直线l的同侧,如图②,则作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交直线l于点P,此时点P到两个定点A,B的距离之和最小.   典例　已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),且点P在直线l上.(1)当|PA|+|PB|最小时,点P的坐标为　　　    ;(2)当||PB|-|PA||最大时,点P的坐标为　　　    . 思路点拨    (1)易知A,B两点在直线l的同侧,利用对称性将同侧两点转化为异侧两点,利用两点之间线段最短求最小值,进而得出点P的坐标.(2)根据三角形两边之差小于第三边,得出当A,B,P三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值,进而得出点P的坐标. (-2,3)(12,10)解析    (1)易知A,B两点在直线l的同侧.设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),则 解得 故A'(-2,8).因为P为直线l上一点,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,当且仅当B,P,A'三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,最小值为|A'B|,此时点P为直线A'B与直线l的交点.又直线A'B的方程为x=-2,所以 所以 故点P的坐标为(-2,3).(2)易知A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上一点,则||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值,最大值为|AB|,此时点P为直线AB与直线l的交点.又直线AB的方程为y=x-2,所以 解得 故点P的坐标为(12,10).