北师大版（2024）九年级上册2 平行线分线段成比例优秀课后复习题

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倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.平行线分线段成比例的基本事实（重点）
知识点2.平行线分线段成比例的推论（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.运用平行线分线段成比例及推论求值
题型2.利用平行线分线段成比例的推论进行证明
【方法三】 仿真实战法
考法. 平行线分线段成比例
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论。
能熟练运用平行线分线段成比例的基本事实及其推论解决相关问题。
【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.平行线分线段成比例的基本事实（重点）
平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的线段对应成比例。
数学表达式：如图：
简单记为：
平行线分线段成比例速记口诀！！！
平行线分线段，成比例是关键。
先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。
【例1】如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．
（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．
（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长；
（2）由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长．
【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．
∴＝＝，
∴DE＝EF＝6；
（2）∵l1∥l2∥l3．
∴＝，
∴BC＝AB＝×6＝9，
∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
【变式】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）
B. 2 C. D.
【答案】D
提示：∵AG=2，GB=1，
∴AB=AG+BG=3，
∵直线l1∥l2∥l3，
∴=，
知识点2.平行线分线段成比例的推论（重点）
平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的对应线段成比例。
数学表达式：如上图1
【例2】如图，在中，点、分别在边、上，，， ．
【答案】
【分析】由，可得，根据，可得，问题随之解得．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了三角形中平行线分线段成比例的知识，掌握相应的考点知识，是解答本题的关键．
【变式】如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，AD＝3，AB＝4，AC＝6，求EC．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得：AE＝，
∴EC＝AC﹣AE＝6﹣＝．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【例3】如图，，，，求的值．
【答案】．
【解析】由，得：，又，可得，故．
【总结】考查相似三角形中“”字型的综合应用，得到比例关系．
【变式】如图，在平行四边形中，点在边上，若，则．
【答案】．
【解析】，可知，
由，可知，故．
【总结】初步认识相似三角形中的“”字型．
【方法二】实例探索法
题型1.运用平行线分线段成比例及推论求值
1.如图，中，，，，，，求的长．
【答案】．
【解析】，
，
即，求得：．
【总结】相似三角形中“”字型和“”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．
2.如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm．
（1）求DE、DF的长；
（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的长．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解；
（2）过点A作AK∥DF交BE于点J，交CF于点K，则AD＝JE＝FK＝40cm．求出BJ，可得结论．
【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝（cm），
∴DF＝DE+EF＝4+＝（cm）．
（2）如图，过点A作AK∥DF交BE于点J，交CF于点K，则AD＝JE＝FK＝40cm．
∴CK＝CF﹣FK＝40cm，
∵BJ∥CK，
∴＝，
∴＝，
∴BJ＝15cm，
∴BE＝BJ+JE＝15+40＝55cm．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
题型2.利用平行线分线段成比例的推论进行证明
3.如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD•AG＝AF•AB．
【分析】（1）由平行可得＝，可求得AC，且EC＝AC﹣AE，可求得EC；
（2）由平行可知＝＝，可得出结论．
【解答】（1）解：
∵DE∥BC，
∴＝，
又＝，AE＝3，
∴＝，
解得AC＝9，
∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6；
（2）证明：
∵DE∥BC，EF∥CG，
∴＝＝，
∴AD•AG＝AF•AB．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
4.如图，为对角线上任意一点．求证：．

【分析】根据平行四边形的性质得到，进而根据平行线分线段成比例定理得到，由此即可证明．
解：四边形为平行四边形，
，
，
∴
∴，
．
【点拨】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键．
5.如图，中，过D的直线交，及的延长线于E，F，G．求证：．
【分析】根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线分线段成比例即可求证．
解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，即．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例．
6.如图：△ABC中，MDAB，MNAE．求证：＝．
【分析】根据平行线分线段成比例定理证明即可．
解：∵MDAB，
∴＝．
∵MNAE，
∴＝．
∴＝＝，
即＝．
【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是解题关键．
7.在△ABC中，DB＝CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD•BP＝AE•CP．
【分析】过点C作CG∥DP交AB于G，根据平行线分线段成比例定理可得，，变形比例式表示DG，得，又BD＝EC，得到，化为等积式即可．
解：过点C作CG∥DP交AB于G，
∴，，
∴，，
∴，
∵BD＝EC，
∴，
∴．
【点拨】此题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是根据题意作出合适的辅助线，利用性质和等量关系求解．
8.如图，在中，点为边上一点，连接，点为中点，延长交边于点，求证：．
【分析】过点D作DF∥BE交AC于F，利用平行线分线段成比例定理推理即可．
解：过点D作DF∥BE交AC于F，
∵点为中点，
∴AH=HD，
∵DF∥BE，
∴，
∴AE=EF，
∵DF∥BE，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是恰当作平行线，熟练运用平行线分线段成比例定理进行推理证明．
9.如图，正方形的对角线交于点O，的平分线交于G，交于F，求证：．
【分析】过O作交于点P，根据正方形性质及平行线得到，，，再根据的平分线交于G可得，从而得到，即可得到，由三角形内角和可得得到，即可得到，最后根据平行线所截线段对应成比例即可得到证明．
解：过O作交于点P，
∵正方形的对角线交于点O，且，
∴，，，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
【点拨】本题考查正方形的性质及平行线所截线段对应成比例等知识，解题的关键是作出辅助线，证得．
【方法三】 仿真实战法
考法. 平行线分线段成比例
1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出＝，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝AD+BD，即可求出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．
2．（2022•临沂）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∴，
∴，
∴EC＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确使用定理得出比例式是解题的关键．
3．（2021•阿坝州）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（ ）
A．4B．6C．7D．12
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AB：BC＝DE：EF，再求出答案即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴AB：BC＝DE：EF．
∵AB：BC＝2：3，EF＝9，
∴DE＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
4．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 ．
【分析】根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ m．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AE＝EF，同理得到AD1＝3AE，计算即可．
【解答】解：∵BB1∥CC1，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），
故答案为：1.2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．证明AB＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可得结论．
【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．
∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM＝FN，
∴＝＝＝3，
∴AB＝3AD，
设AD＝DC＝a，则AB＝3a，
∵AD＝DC，DT∥AE，
∴ET＝CT，
∴＝＝3，
设ET＝CT＝b，则BE＝3b，
∵AB+BE＝3，
∴3a+3b＝3，
∴a+b＝，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （ ）

A．2B．2.5C．3D．4
【答案】C
【分析】过点D作交于F，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据O是的中点，可得，进而解答即可．
【详解】解：如图，作交于F，

∵，O是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是平行四边形对角线上的点，若，，则的长为（ ）

A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】可证，从而可求，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，掌握性质及定理是解题的关键．
3．（2023秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考开学考试）如图，在中，，且，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据，再根据平行线分线段成比例定理可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了行线分线段成比例定理，正确得到是解题的关键．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在中，点D在边上，交边于点E，若，，则线段的长为（ ）

A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例可得计算即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是找到．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．
【详解】解：A．由，得，故A选项错误；
B．由，得，又由，得，则，故B选项错误，D选项正确；
C．由，得，故C选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
6．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在中，D、E分别为边的中点，连接，点F为边上一点，，连接交于点N，则下列结论中错误的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可推出,根据中位线定理分析求解．
【详解】解：∵D、E分别为边的中点，
∴.
∴
∴, .
∴.
∵，
∴.
∴.
所以，正确，错误；
故选：C
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，中位线定理；由平行线的位置关系得到线段间数量关系是解题的关键．
7．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知，，那么下列结论中，正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解．
【详解】解：∵，，
∴，故A选项正确；
，故B选项错误；
的值无法确定，故C选项错误；
的值无法确定，故D选项错误；
故选A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题关键是掌握：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
8．（2023秋·河南许昌·九年级统考期末）已知，，，则（ ）

A．12B．18C．24D．26
【答案】C
【分析】由可得，从而得到，最后由进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例，熟练掌握此定理是解题的关键．
9．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线是矩形的一条对称轴，点在边上，将沿折叠，点恰好落在与的交点处，若，则的长为（ ）

A．4B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得，再根据三角形面积公式可求的长．
【详解】解：四边形是矩形，
，
直线是矩形的一条对称轴，
，，，
由折叠得：，，，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
解得．
故选：D．

【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是求出．
10．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是( )

A．16，6B．18，18C．16.12D．12，16
【答案】C
【分析】先论证四边形是平行四边形，再分别求出、、，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求解即可．
【详解】由平移的性质可知：，
∴四边形是平行四边形，
在中，，，，
∴
在中，，，点F是中点
∴
∵，点F是中点
∴，，
∴点D是的中点，
∴
∵D是的中点，点F是中点，
∴是的中位线，
∴
∴四边形的周长为：，
四边形的面积为：．
故选：C．
【点睛】本题考查平移的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例，三角形中位线定理等知识，推导四边形是平行四边形和是的中位线是解题的关键．
二、填空题
11．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）如图，，如果，，，那么 ．

【答案】/
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，解得，
经检验，满足所列方程，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、解分式方程，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意比例线段要对应．
12．（2023秋·山西大同·九年级统考期末）如图，在中，是的中点，是的中点，则的长为 ．

【答案】
【分析】如图，取的中点F，连接，由中位线定理得，由平行线分线段成比例定理，得，所以，得出结论．
【详解】解：如图，取的中点F，连接，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查中位线定理，平行线分线段成比例定理，添加辅助线，构造中位线是解题的关键．
13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，，则的长为 ．

【答案】
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出，再利用平行线分线段成比例求出，最后由勾股定理可得，进而解答即可．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，
∵是矩形的对角线的中点，
∴，
∴ ，，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，利用平行线分线段成比例求的长度是解题的关键．
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是 ．

【答案】6
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得，根据等边对等角可得，然后根据平行线分线段成比例定理，可得，结合即可得出答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理等知识，理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
15．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）如图，，、相交于点，，，，则的长 ．

【答案】
【分析】利用平行线证明判定三角形相似，得到线段成比例求解．
【详解】解：，
，即，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形相似判定和性质，利用这些知识是解题的关键．
16．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，平分，过点作交于点，且是的中点．若，，则的长为 ．

【答案】
【分析】作交于点，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长．
【详解】解：作交于点，

，．
是的中点，
，
，
．
，
．
平分，
．
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，证明是解答本题的关键．
17．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在中，，，点分别在边上，且，连接，相交于点，则面积最大值为 ．

【答案】
【分析】过点作，根据平行线分线段成比例定理可得则，根据已知，可得，在以为直径的圆上，设圆心为，当时，的面积最大为：，即可求出此时的最大面积．
【详解】解：，，
，
如图，过点作，

则，
，
，
，
，
，，
，
，
在以为直径的圆上，设圆心为，
当时，的面积最大为：，
此时的面积最大为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形面积公式的应用，解决本题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
18．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，矩形中，点E在边上，连接，，交于点F，若，，则边长为 ．

【答案】
【分析】连接，由矩形的性质可得，即可得到，即，再由，可得，得到，由平行线分线段成比例可得，求得，最后在和中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：连接，

∵矩形，
∴，，，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵在中，
中，，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题综合考查矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，难度比较大，解题的关键是有得到．
三、解答题
19．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，为对角线上任意一点．求证：．

【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质得到，进而根据平行线分线段成比例定理得到，由此即可证明．
【详解】证明：四边形为平行四边形，
，
，
∴
∴，
．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键．
20．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，为平行四边形的对角线上一点，，的延长线交的延长线于点，交于点，求的值．

【答案】
【分析】由，可得，即，得出，由，可得：．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，求出．
21．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）如图，已知直线、、分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．如果，，求的长．

【答案】15
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出的长，即可得出的长．
【详解】解：．
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
22．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，点D在线段上，，，，，求的长．

【答案】3
【分析】过点作交于点．由平行线的性质可得，进而可得，由等边对等角的性质可得，由平行线等分线段定理可得，再结合可得，最后将代入即可解答．
【详解】证明：过点作交于点．

，
；
又，
，
，
．
，
．
又，
．
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，掌握平行线等分线段定理是解答本题的关键．
23．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，在中，是边上的中线，于点于点．

(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)30°
【分析】（1）由三角形中线的性质可得，然后再根据三角形面积公式列等式化简即可证明结论；
（2）先说明，根据平行线等分线段可得，再结合可得，进而得到；再根据等腰三角形的性质可得，进而说明为正三角形，即；最后根据三角形的内角和定理即可解答
【详解】（1）证明：∵是的中线，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∴
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为正三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线、平行线的判定、平行等分线段定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
24．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，于点D，M是的中点，交于点P，．若，求的长．

【答案】
【分析】证明，结合，可得，，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点M是线段的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例的应用，熟记平行线分线段成比例并灵活运用是解本题的关键．
25．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，，，，点在上（与点、不重合），点在上，，当的周长与四边形的周长相等时，求的长．

【答案】
【分析】结合的周长与四边形的周长相等，可得，再由勾股定理可得，易得，然后根据“平行线分线段成比例定理”求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
26．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在等边中，点，分别在，的延长线上，且，的延长线交于点．

(1)求的度数；
(2)延长至点，使，连接交于点，依题意补全图形，猜想线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）由三角形为等边三角形，利用等边三角形的性质得到，，利用等角的补角相等得到夹角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应角相等得到，利用外角性质及等量代换即可得证；
（2）在上取，连接，证明，进而证明，根据平行线分线段成比例即可得出结论．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
则．
（2）证明：补全图形，如图所示，在上取，连接，

∵，
∴
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．