重市庆南开中学2023年八年级数学第一学期期末学业水平测试试题【含解析】

这是一份重市庆南开中学2023年八年级数学第一学期期末学业水平测试试题【含解析】，共21页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，如果分式的值为0，那么x的值是，已知中，比它相邻的外角小，则为等内容，欢迎下载使用。
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知，求作射线，使平分作法的合理顺序是（ ）
①作射线，②在和上分别截取，，使，③分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，内，两弧交于．
A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①
2．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM=∠CODB．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CDD．MN=3CD
3．下列根式合并过程正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（ ）
A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠A＞∠1
5．如果分式的值为0，那么x的值是（ ）
A．x=3B．x=±3C．x≠-3D．x=-3
6．如图，ABCD的对角线、交于点，顺次联结ABCD各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①⊥；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（）
A．1个；B．2个；
C．3个；D．4个．
7．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知中，比它相邻的外角小，则为
A．B．C．D．
9．如果把分式中的、的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的一半
C．扩大为原来的4倍D．保持不变
10．某校八年级一班抽取5名女生进行800米跑测试，她们的成绩分别为75，85，90，80，90（单位：分），则这次抽测成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．90，85B．85，84C．84，90D．90，90
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．据统计分析2019年中国互联网行业发展趋势，3年内智能手机用户将达到1．2亿户，用科学记数法表示1．2亿为_______户．
12．计算：3﹣2＝_____．
13．在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点关于轴对称的对称点的坐标是__________．
14．如图，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD=125°，∠A=75°，则∠B=__________°．
15．如图，直线 与 轴正方向夹角为，点在轴上，点在直线 上，均为等边三角形，则的横坐标为__________．
16．已知m+2n﹣2＝0，则2m•4n的值为_____．
17．甲、乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了10次，平均成绩均为7.5米，方差分别为，，成绩比较稳定的是__________（填“甲”或“乙”）
18．等腰三角形，，一腰上的中线把这个三角形的长分成12和15两部分，求这个三角形的底边______.
三、解答题(共66分)
19．（10分）某服装店用4500元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润2800元（毛利润＝售价一进价），这两种服装的进价、标价如表所示
（1）请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数；
（2）如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
20．（6分）八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．
请根据图中信息解决下列问题：
（1）共有多少名同学参与问卷调查；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少．
21．（6分）如图1，在长方形中，，，点在线段上以的速度由向终点运动，同时，点在线段上由点向终点运动，它们运动的时间为.
（解决问题）
若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，回答下面的问题：
(1)；
(2)此时与是否全等，请说明理由；
(3)求证：；
（变式探究）
若点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，请直接写出相应的的值；若不存在，请说明理由.
22．（8分）问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
23．（8分）某商场计划购进A、B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯进货数量的4倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
24．（8分）（1）计算：
（2）解不等式组
25．（10分）计算（1）
（2）先化简再求值：，其中
26．（10分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小明利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a，FC=DE=b，
∵
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据角平分线的作法排序即可得到答案．
【详解】解：角平分线的作法是：在和上分别截取，，使，
分别以为圆心，大于的长为半径作弧，
在内，两弧交于，作射线，故其顺序为②③①．
故选：C．
【点睛】
本题考查尺规作图-角平分线，掌握角平分线的作图依据是解题的关键．
2、D
【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
【详解】解：由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故A选项正确；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON，
∴∠OCD=∠OCM= ，
∴∠MCD=，
又∠CMN=∠AON=∠COD，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选D．
【点睛】
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．
3、D
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】A、不能合并，所以A选项错误；
B、不能合并，所以B选项错误；
C、原式=，所以C选项错误；
D、原式=，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
4、B
【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角解答．
【详解】∵∠1是三角形的一个外角，
∴∠1＞∠A，
又∵∠2是三角形的一个外角，∴∠2＞∠1，
∴∠2＞∠1＞∠A．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，熟练掌握，即可解题.
5、A
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零、分母不为零进而得出答案．
【详解】∵分式的值为1，
∴且，
解得：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为1；（2）分母不为1．这两个条件缺一不可．
6、C
【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．
【详解】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．
①∵AC⊥BD，∴新的四边形成为矩形，符合条件；
②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=DO．
∵C△ABO=C△CBO，∴AB=BC．
根据等腰三角形的性质可知BO⊥AC，∴BD⊥AC．所以新的四边形成为矩形，符合条件；
③∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CBO=∠ADO．
∵∠DAO=∠CBO，∴∠ADO=∠DAO．
∴AO=OD．
∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；
④∵∠DAO=∠BAO，BO=DO，
∴AO⊥BD，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴新四边形是矩形．符合条件．
所以①②④符合条件．
故选C．
【点睛】
本题主要考查矩形的判定、平行四边形的性质、三角形中位线的性质．
7、D
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．
8、B
【解析】设构建方程求出x，再利用三角形的内角和定理即可解决问题．
【详解】解：设．
由题意：，
解得，
，
，
故选：B．
【点睛】
考查三角形的内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
9、D
【分析】根据分式的基本性质，求得x，y的值均扩大为原来的2倍式子的值，与原式比较即可求解．
【详解】把分式中的、的值都扩大为原来的2倍，可得，
；
∴把分式中的、的值都扩大为原来的2倍，分式的值不变.
故选D.
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．
10、A
【分析】由题意直接根据众数和中位数的概念，结合题干数据求解即可．
【详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：75，80，1，90，90，
则众数为90，
中位数为1．
故选：A．
【点睛】
本题考查众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、3.32×2
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将1.2亿用科学记数法表示为：3.32×2．
故答案为3.32×2．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12、.
【分析】根据负指数幂的定义直接计算即可.
【详解】解：3﹣2＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查的知识点是负指数幂的计算，任何不等于零的数的-n(n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数，在这个幂的意义中，强调底数不等于零，否则无意义。
13、（-3，-5）
【分析】关于x轴对称的点特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据关于x轴对称的点的特点即可求解．
【详解】解：点关于轴对称的对称点的坐标（-3，-5）
故答案为：（-3，-5）
【点睛】
本题主要考查的是关于x轴对称的点的特点，掌握这个特点以及正确的应用是解题的关键．
14、50
【解析】分析：根据三角形外角的性质进行计算即可.
详解：∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝125°，∠A＝75°，


故答案为50.
点睛：考查三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
15、
【分析】分别求出的坐标，得到点的规律，即可求出答案.
【详解】设直线交x轴于A，交y轴于B，
当x=0时，y=1；当y=0时，x=，
∴A(,0)，∴B（0,1），
∴OA=,OB=1，
∵是等边三角形，
∴
∵∠BOA=，
∴OA1=OB1=OA=，A1A2=A1B2=AA1=2，A2A3=A2B3=AA2=4，
∴OA1=,OA2=2，OA3=4,
∴A1(，0)，A2(2，0)，A3（4,0），
∴的横坐标是.
【点睛】
此题考查点坐标的规律探究，一次函数的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，根据几种图形的性质求出A1，A2，A3的坐标得到点坐标的规律是解题的关键.
16、1
【分析】把2m•1n转化成2m•22n的形式，根据同底数幂乘法法则可得2m•22n=2m+2n，把m+2n=2代入求值即可.
【详解】由m+2n﹣2＝0得m+2n＝2，
∴2m•1n＝2m•22n＝2m+2n＝22＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了幂的乘方和同底数幂乘法，掌握幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则是解题关键．
17、乙
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴成绩比较稳定的是乙；
故答案为：乙．
【点睛】
本题考查根据方差判断稳定性． 方差能够反映所有数据的信息方差越大，数据波动越大,数据越不稳定；方差越小，数据波动越小，数据越稳定． 只有当两组数据的平均数相等或接近时，才能用方差比较它们波动的大小．
18、7或1
【分析】如图（见解析），分两种情况：（1）；（2）；然后分别根据三角形的周长列出等式求解即可．
【详解】如图，是等腰三角形，，BC为底边，CD为AB上的中线
设，则
依题意，分以下两种情况：
（1）
则，解得
（2）
则，解得
综上，底边BC的长为7或1
故答案为：7或1．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义、中线的定义，读懂题意，正确分两种情况是解题关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件；（2）1210元
【分析】（1）设A种新式服装购进x件，B种新式服装购进y件，根据4500元购进的两种服装销售完后毛利润为2800元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，即可求解；
（2）根据减少的收入＝每件服装少卖的价格×销售数量，即可求解．
【解答】
解：
【详解】（1）设A种新式服装购进x件，B种新式服装购进y件，
依题意得：，
解得：．
答：A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件；
（2）100×（1﹣0.9）×25+160×（1﹣0.8）×30＝1210（元）．
答：这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入1210元．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出等量关系，列出二元一次方程组，是解题的关键．
20、（1）参与问卷调查的学生人数为100人；（2）补全图形见解析；（3）估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为570人．
【分析】（1）由读书1本的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以读4本的百分比求得其人数，减去男生人数即可得出女生人数，用读2本的人数除以总人数可得对应百分比；
（3）总人数乘以样本中读2本人数所占比例．
【详解】（1）参与问卷调查的学生人数为（8+2）÷10%=100人，
（2）读4本的女生人数为100×15%﹣10=5人，
读2本人数所占百分比为×100%=38%，
补全图形如下：
（3）估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为1500×38%=570人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21、解决问题（1）1；（2）全等；（3）见解析；变式探究：1或.
【分析】解决问题
（1）当t=1时，AP的长=速度×时间；
（2）算出三角形的边，根据全等三角形的判定方法判定；
（3）利用同角的余角相等证明∠DPQ=90°；
变式探究
若与全等，则有两种情况：①≌②≌，分别假设两种情况成立，利用对应边相等求出t值.
【详解】解：解决问题
（1）∵t=1，点P的运动速度为，
∴AP=1×1=1cm；
（2）全等，理由是：
当t=1时，可知AP=1，BQ=1，
又∵AB=4，BC=3，
∴PB=3，
在△ADP与△BPQ中，
，
∴△ADP≌△BPQ（SAS）
（3）∵△ADP≌△BPQ，
∴∠APD=∠PQB，
∵∠PQB+∠QPB=90°，
∴∠APD+∠QPB=90°，
∴∠DPQ=90°，即DP⊥PQ.
变式探究
①若≌，
则AP=BQ，
即1×t=x×t，
x=1；

②若≌，
AP=BP，即点P为AB中点，
此时AP=2，t=2÷1=2s，
AD=BQ=3，
∴x=3÷2=cm/s.
综上：当与全等时，x的取值为1或.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，注意在运动中对三角形全等进行分类讨论，从而得出不同情况下的点Q速度.
22、 (1)见解析；（1）△DEF是正三角形；理由见解析；（3）c1=a1+ab+b1
【解析】试题分析：（1）由正三角形的性质得∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；、
（1）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,证出∠FDE=∠DEF=∠EFD,即可得出结论；
（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG＝60°，在RtΔADG中，DG=b,AG=b, 在RtΔABG中，由勾股定理即可得出结论.
试题解析： （1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠1，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠1=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（1）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示：
∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c1=（a+b）1+（b）1，
∴c1=a1+ab+b1．
考点：1.全等三角形的判定与性质；1.勾股定理.
23、（1）75盏；25盏 （2）购进A型台灯20盏，B型台灯80盏；1元
【分析】（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为（100﹣x）盏，然后根据进货款＝A型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．
【详解】解：（1）设购进A型台灯x盏，则购进B型台灯（100﹣x）盏，
由题意可得：30x+50（100﹣x）＝3500
∴x＝75
∴100﹣x＝25
答：购进A型台灯75盏，购进B型台灯25盏；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，
y＝15x+20（100﹣x）＝﹣5x+2000
又∵100﹣x≤4x，
∴x≥20
∵k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小
∴当x＝20时，y取得最大值，最大值是1．
答：购进A型台灯20盏，购进B型台灯80盏时获利最多，此时利润为1元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，（2）题中理清题目数量关系并列式求出x的取值范围是解题的关键．
24、（1）（2）
【分析】（1）分别化简三个二次根式，再合并同类二次根式；
（2）分别解出两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出不等式组的解集．
【详解】（1）计算：
解：原式
（2）
解不等式得：
解不等式得：
所以不等式组的解集为．
【点睛】
（1）题考查二次根式的加减，（2）题考查解不等式组，数量掌握运算法则是解题的关键．
25、（1）；（2），
【分析】（1）根据分式的减法法则计算即可；
（2）先根据分式的各个运算法则化简，然后代入求值即可．
【详解】解:
当时，
原式
【点睛】
此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的各个运算法则是解决此题的关键．
26、见解析
【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，用两种方法表示出，两者相等，整理即可得证．
【详解】证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，可得BF=b-a
∵，


【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出是解题的关键．
类型价格
A型
B型
进价（元/件）
60
100
标价（元/件）
100
160
类型
价格
进价/（元/盏）
售价/（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70