2025年高考数学一轮复习-第六章-第二节-平面向量的基本定理及坐标表示-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第六章-第二节-平面向量的基本定理及坐标表示-专项训练【含解析】，共13页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。
A. e1+e2和e1−e2B. 3e1−4e2和6e1−8e2
C. e1+2e2和2e1+e2D. e1和e1+e2
2. 已知向量AB=1,3,BC=2,4,BD=1,2，则2AC−CD=（ ）.
A. 5,16B. 7,−16C. 7,16D. 5,12.
3. 设x，y∈R，向量a=x,2，b=1,y，c=−2,2，且a⊥c，b//c，则x+y=（ ）.
A. 0B. 1C. 2D. 3
4. （改编）已知向量a=λ+1,−2，b=1,3，若a⊥b，则a+b=（ ）.
A. 10B. 103C. 5D. 52
.
5. （改编）已知向量a=3,4，则与a垂直的单位向量为（ ）.
A. (45,−35)B. (−35,45)C. ±(45,−35)D. ±(35,−45)
6. 如果e1,e2是平面α 内两个不共线的向量，那么下列说法错误的是（ ）.
①a=λe1+μe2λ,μ∈R可以表示平面α 内的所有向量；
②对于平面α 内任一向量a，使a=λe1+μe2λ,μ∈R的实数对λ,μ有无穷多个；
③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则λ1λ2=μ1μ2；
④若存在实数λ ，μ 使得λe1+μe2=0，则λ=μ=0.
A. ①②B. ②③C. ③④D. ②
7. （改编）已知在△ABC中，D为边AB上一点且满足AD=2DB，若P为线段CD上一点，且满足AP=λAB+μAC（λ ,μ 为正实数），则16λ+1μ的最小值为（ ）.
A. 2B. 94C. 52D. 4
8. 已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，动点P满足AP=λAB+μAD，λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法错误的是（ ）.
A. 若μ=1，则△ABP的面积为定值
B. 若λ=1，则DP的最小值为4
C. 若μ=12，则满足PA⊥PB的点P不存在
D. 若λ=13，μ=23，则△ABP的面积为83
[解析]以A 为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
综合提升练
9. （多选题）已知向量a=2,1,b=−3,1，则（ ）.
A. a+b⊥bB. 向量a在向量b上的投影向量为−12b
C. a与a−b夹角的余弦值为255D. 若c=(55,−255)，则a//c
10. （多选题）已知在平行四边形ABCD中，E为边CD的中点，F为边BC上靠近点B的三等分点，连接AF，BE交于点M，连接AC，N为AC上靠近点C的三等分点，记AB=a，AD=b，则下列说法正确的是（ ）.
A. M，N，E三点共线
B. 若AM=λa+μb，则λ+μ=97
C. BN=73BM
D. S△ABM=17S，S为平行四边形ABCD的面积
11. 如图所示，在边长为3的等边△ABC中，AD=23AC，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若BP=xBA+yBC，则x+y的最大值为__________.
12. （双空题）如图，在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5，D是BC的中点，AE=13EC,BF⋅AC=0，AD与BE，BF分别交于G,H两点.若AG=λAD，则λ=_________，S△CFDS△ABC=_________.
应用情境练
13. 如图,这是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮）、圆D（后轮）的半径均为3，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形.设P为后轮上一点，则在骑该自行车的过程中，AC⋅BP的最小值为_________
14. （双空题）赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）.某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，△ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的△DEF也为正三角形.若D为BE的中点，则△DEF与△ABC的面积的比值为_________；设AD=λAB+μAC，则λ+μ=_________
创新拓展练
15. 已知对任意平面向量AB=x,y，将AB=x,y绕其起点沿逆时针方向旋转θ 角得到向量AP=xcs θ−ysin θ,xsin θ+ycs θ，叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ 角得到点P.已知平面内点A1,2，将点B绕点A沿顺时针方向旋转π3后得到点P(32−2,12−3)，则点B的坐标为_________
.
16. 如图，平面向量e1与e2是单位向量，夹角为60∘ ，那么向量e1，e2构成平面的一个基底.若a=xe1+ye2，则将有序实数对x,y称为向量a在这个基底下的斜坐标，表示为a=x,y.
（1）记向量e1=OA，e2=OB，求向量AB在这个基底下的斜坐标；
（2）已知a=1,−1，b=2,0，求a⋅b；
（3）请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题.
平面向量的基本定理及坐标表示-专项训练【解析版】基础巩固练
1. 设e1，e2是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ B ）.
A. e1+e2和e1−e2B. 3e1−4e2和6e1−8e2
C. e1+2e2和2e1+e2D. e1和e1+e2
[解析]因为e1，e2是平面内所有向量的一个基底，所以e1，e2不共线，所以e1+e2 和e1−e2 不共线，e1+2e2和2e1+e2 不共线，e1和e1+e2 不共线,所以选项A,C,D都可以作为基底；B中，因为6e1−8e2=23e1−4e2，所以3e1−4e2 和6e1−8e2 共线，不能作为基底.故选B.
2. 已知向量AB=1,3,BC=2,4,BD=1,2，则2AC−CD=（ C ）.
A. 5,16B. 7,−16C. 7,16D. 5,12
[解析]因为AB=1,3,BC=2,4,BD=1,2，所以2AC−CD=2AB+BC−BD−BC=2AB+3BC−BD=21,3+32,4−1,2=7,16.故选C.
3. 设x，y∈R，向量a=x,2，b=1,y，c=−2,2，且a⊥c，b//c，则x+y=（ B ）.
A. 0B. 1C. 2D. 3
[解析]因为a=x,2，b=1,y，c=−2,2，且a⊥c，b//c，所以a⋅c=−2x+2×2=0 且−2y=1×2，解得x=2，y=−1，所以x+y=1.故选B.
4. （改编）已知向量a=λ+1,−2，b=1,3，若a⊥b，则a+b=（ D ）.
A. 10B. 103C. 5D. 52
[解析]向量a=λ+1,−2，b=1,3，若a⊥b，则λ+1−6=0，解得λ=5，所以a=6,−2，a+b=7,1，所以a+b=72+12=52.故选D.
5. （改编）已知向量a=3,4，则与a垂直的单位向量为（ C ）.
A. (45,−35)B. (−35,45)C. ±(45,−35)D. ±(35,−45)
[解析]设与a 垂直的单位向量e=x,y，因为a=3,4，所以3x+4y=0，
x2+y2=1，解得e=(45,−35)或e=(−45,35).故选C.
6. 如果e1,e2是平面α 内两个不共线的向量，那么下列说法错误的是（ B ）.
①a=λe1+μe2λ,μ∈R可以表示平面α 内的所有向量；
②对于平面α 内任一向量a，使a=λe1+μe2λ,μ∈R的实数对λ,μ有无穷多个；
③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则λ1λ2=μ1μ2；
④若存在实数λ ，μ 使得λe1+μe2=0，则λ=μ=0.
A. ①②B. ②③C. ③④D. ②
[解析]由平面向量的基本定理可知，①④正确.
对于②，由平面向量的基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故②错误.
对于③，当λ1λ2=0 或μ1μ2=0 时，说法不一定成立，应为λ1μ2−λ2μ1=0，故③错误.故选B.
7. （改编）已知在△ABC中，D为边AB上一点且满足AD=2DB，若P为线段CD上一点，且满足AP=λAB+μAC（λ ,μ 为正实数），则16λ+1μ的最小值为（ B ）.
A. 2B. 94C. 52D. 4
[解析]因为P 为线段CD 上一点，所以AP=xAD+yAC=2x3AB+yAC，且x+y=1，
又因为AP=λAB+μAC，可得λ=2x3, μ=y, 即x=3λ2, y=μ, 所以3λ2+μ=1，
可得16λ+1μ=3λ2+μ16λ+1μ=μ6λ+3λ2μ+54≥2μ6λ⋅3λ2μ+54=94，
当且仅当μ6λ=3λ2μ，即μ=3λ=23 时，等号成立，所以16λ+1μ 的最小值为94.故选B.
8. 已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，动点P满足AP=λAB+μAD，λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法错误的是（ B ）.
A. 若μ=1，则△ABP的面积为定值
B. 若λ=1，则DP的最小值为4
C. 若μ=12，则满足PA⊥PB的点P不存在
D. 若λ=13，μ=23，则△ABP的面积为83
[解析]以A 为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则B0,2，D4,0，A0,0，AB=0,2，AD=4,0，
因为AP=λAB+μAD=λ0,2+μ4,0=4μ,2λ，所以P4μ,2λ.
对于A，当μ=1 时，P4,2λ，则点P 到直线AB 的距离为4，则S△ABP=12AB⋅4=12×2×4=4，A正确；
对于B，当λ=1 时，P4μ,2，则DP=4μ−4,2，因为0≤μ≤1，所以−4≤4μ−4≤0，则DP=4μ−42+22≥2，当且仅当μ=1 时，等号成立，B错误；
对于C，当μ=12 时，P2,2λ，PA=−2,−2λ，PB=−2,2−2λ，所以PA⋅PB=4−2λ2−2λ=4λ2−4λ+4=2λ−12+3>0，所以若μ=12，则满足PA⊥PB 的点P 不存在，C正确；
对于D，若λ=13，μ=23，则P(83,23)，此时点P 到直线AB 的距离为83，则S△ABP=12AB⋅83=12×2×83=83，D正确.故选B.
综合提升练
9. （多选题）已知向量a=2,1,b=−3,1，则（ BC ）.
A. a+b⊥bB. 向量a在向量b上的投影向量为−12b
C. a与a−b夹角的余弦值为255D. 若c=(55,−255)，则a//c
[解析]对于A,因为a+b=2,1+−3,1=−1,2，所以a+b⋅b=−1×−3+1×2=5≠0，故A 错误；
对于B,因为acs⟨a,b⟩=a⋅bb=−6+1−32+12=−102，b=10，所以向量a 在向量b 上的投影向量为−12b，故B 正确；
对于C,因为a−b=2,1−−3,1=5,0，所以a−b=5，所以cs⟨a,a−b⟩=a⋅a−baa−b=105×5=255，故C 正确；
对于D,因为a=2,1,c=(55,−255)，而2×−255−1×55=−5≠0，所以a//c 不成立，故D 错误.故选BC.
10. （多选题）已知在平行四边形ABCD中，E为边CD的中点，F为边BC上靠近点B的三等分点，连接AF，BE交于点M，连接AC，N为AC上靠近点C的三等分点，记AB=a，AD=b，则下列说法正确的是（ ACD ）.
A. M，N，E三点共线
B. 若AM=λa+μb，则λ+μ=97
C. BN=73BM
D. S△ABM=17S，S为平行四边形ABCD的面积
[解析]如图所示,在平行四边形ABCD 中，因为N 为边AC 上靠近点C 的三等分点，
所以AN=23AC=23AB+23AD，AE=12AB+AD,
所以EN=AN−AE=16AB−13AD，设EM=mEB=m12AB−AD=3mEN,m≠0，
所以EM//EN，又有公共点E，所以M,N,E三点共线，故A 正确；
设MA=cAF，则AE=ME−MA=−m12AB−AD−cAF=−m12AB−AD−cAB+13AD=−12m−cAB+m−13cAD=12AB+AD，故12=−12m−c, 1=m−13c, 解得m=57, c=−67, 所以AM=67AF=67AB+27AD,λ+μ=87，故B 错误；
BN=AN−AB=−13AB+23AD，因为EM=57EB，所以BM=27BE=−17AB+27AD，故BN=73BM，故C 正确；
因为AM=67AF，所以S△ABM=67S△ABF=27S△ABC=17S，故D 正确.故选ACD.
11. 如图所示，在边长为3的等边△ABC中，AD=23AC，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若BP=xBA+yBC，则x+y的最大值为239+1 .
[解析]如图，以O 为原点建立平面直角坐标系，
则A−1,0,B(12,332),C2,0，因为P 在以AD 的中点O 为圆心，OA为半径的半圆上，
所以点P 的轨迹方程为x2+y2=1，且在x 轴的下半部分（含x 轴），
设Pcs α,sin α,α∈[π,2π]，
则BP=(cs α−12,sin α−332),BC=(32,−332),
BA=(−32,−332)，
因为BP=xBA+yBC，所以(cs α−12,sin α−332)=x(−32,−332)+y(32,−332)，
即(cs α−12,sin α−332)=(−32x−y,−332⋅x+y)，
所以sin α−332=−332x+y，
所以x+y=−239sin α+1，因为α∈[π,2π]，所以当α=3π2 时，x+y取得最大值，最大值为239+1.
12. （双空题）如图，在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5，D是BC的中点，AE=13EC,BF⋅AC=0，AD与BE，BF分别交于G,H两点.若AG=λAD，则λ=25 ，S△CFDS△ABC=825 .
[解析]因为AG=λAD，AD=12AB+AC，所以AG=12λAB+AC，
又B，G，E三点共线，所以EG=xEB，所以AG=xAB+1−xAE，
又AE=13EC，所以AG=xAB+141−xAC，所以x=12λ, 141−x=12λ, 则x=15, λ=25,
因为BF⋅AC=0，所以BF⋅AC=AB⋅BC，所以BF=125，在Rt△BFC 中，由勾股定理得CF=165，所以S△CFD=12S△BCF=4825，S△ABC=12AB⋅BC=6，所以S△CFDS△ABC=825.
应用情境练
13. 如图,这是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮）、圆D（后轮）的半径均为3，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形.设P为后轮上一点，则在骑该自行车的过程中，AC⋅BP的最小值为12.
[解析]如图，以D 为坐标原点，AD所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，
因为圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为3，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形,
所以设点P3cs θ,3sin θ0≤θ≤2π，且B−6,23，A−8,0，C−2,23,
所以AC=6,23,BP=3cs θ+6,3sin θ−23，
所以AC⋅BP=63cs θ+6sin θ+24=12sinθ+π3+24，
所以当sinθ+π3=−1，即θ=7π6 时，AC⋅BP的值最小，最小值为12.
14. （双空题）赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）.某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，△ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的△DEF也为正三角形.若D为BE的中点，则△DEF与△ABC的面积的比值为17 ；设AD=λAB+μAC，则λ+μ=67 .
[解析]如图,连接AE，由题意知△ABD≌△BCE≌△CAF，且D,E,F分别为BE,CF,AD的中点，所以S△DEF=S△AEF=12S△AFC，
S△ABC=S△AFC+S△ABD+S△BCE+S△DEF=7S△DEF,得S△DEFS△ABC=17.
因为AD=AB+BD=AB+12BE=AB+12BC+CE=AB+12BC+12CF,BC=AC−AB，CF=AF−AC=12AD−AC，
化简得AD=47AB+27AC，所以λ+μ=47+27=67.
创新拓展练
15. 已知对任意平面向量AB=x,y，将AB=x,y绕其起点沿逆时针方向旋转θ 角得到向量AP=xcs θ−ysin θ,xsin θ+ycs θ，叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ 角得到点P.已知平面内点A1,2，将点B绕点A沿顺时针方向旋转π3后得到点P(32−2,12−3)，则点B的坐标为1+3,2−23 .
[解析]设Bx,y，则AB=x−1,y−2，将点B 绕点A 沿顺时针方向旋转π3，
即将点B 绕点A 沿逆时针方向旋转5π3，
可得AP=(x−1cs5π3−y−2sin5π3,x−1sin5π3+y−2cs5π3)，
化简可得AP=(12x+32y−12−3,−32x+12y+32−1)，
又因为AP=(32−3,−32−3)，
所以12x+32y−12−3=32−3, −32x+12y+32−1=−32−3,
解得x=1+3, y=2−23, 所以B1+3,2−23.
16. 如图，平面向量e1与e2是单位向量，夹角为60∘ ，那么向量e1，e2构成平面的一个基底.若a=xe1+ye2，则将有序实数对x,y称为向量a在这个基底下的斜坐标，表示为a=x,y.
（1）记向量e1=OA，e2=OB，求向量AB在这个基底下的斜坐标；
（2）已知a=1,−1，b=2,0，求a⋅b；
（3）请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题.
[解析]（1）AB=OB−OA=e2−e1=−e1+e2，所以AB=−1,1.
（2）由已知得，a=e1−e2，b=2e1，a⋅b=e1−e2⋅2e1=2e12−2e2⋅e1=2−2cs 60∘=1.
（3）设a=x1,y1，b=x2,y2，求a⋅b.
a=x1e1+y1e2，b=x2e1+y2e2，则a⋅b=x1e1+y1e2⋅x2e1+y2e2=x1x2e1⋅e1+x1y2e1⋅e2+y1x2e2⋅e1+y1y2e2⋅e2=x1x2e1⋅e1+y1y2e2⋅e2+x1y2+y1x2e2⋅e1=x1x2+y1y2+12x1y2+y1x2.