[数学][期中]浙江省9+1联盟2023-2024学年高二下学期期中试题(解析版)

这是一份[数学][期中]浙江省9+1联盟2023-2024学年高二下学期期中试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在的展开式中常数项是（ ）
A. 1120B. 160C. D.
【答案】D
【解析】的展开式通项公式为，
令，解得，
故常数项为.
故选：D
2. 已知事件，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由条件概率公式知：，
则.
故选：B
3. 已知可导函数满足，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】对求导，故，
故选：A
4. 已知等差数列的前n项和为，则（ ）
A. 18B. 36C. 54D. 60
【答案】D
【解析】由可得，
故，
故选：D
5. 已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
，
令可得或（舍），
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，即最小值，
又因为函数在内有最小值，故，
解得，
所以的取值范围是.故选：B
6. 已知函数为不相等的两个实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为函数为不相等的两个实数，不妨设，
当时，有，即，解得，
当时，，，即，
当时，，，即，，
则，
当时，一定有，且，
则，
所以“”是“”的充分必要条件；
故选：C
7. 2024年伊始，随着“广西砂糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”．某班级六位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这六位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂、冰雪大世界、中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，六位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是（ ）
A. 132B. 144C. 150D. 168
【答案】C
【解析】若学生甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为或（其中为甲、乙），
当为时，则有种选法；
当为（其中为甲、乙）时，则有种选法；
若学生甲、乙选的景点有其他人选，则分组方式为或（其中为甲、乙与另一学生），
当为时，则有种选法；
当为（其中为甲、乙与另一学生）时，则有种选法；
综上可得一共有种不同的选法.
故选：C
8. 已知数列的前n项和为，且关于n的不等式有3个解，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由
可得：，
由上可得是常数列，当时，，所以，
即，而，则，
令，
则
，
当时，，即，
而，，，
了满足不等式有三个解，
则，
此时有，满足条件，
故选：A.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知随机变量满足，且，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由随机变量满足，且，可得，
解得，
对于A中，由，所以A错误；
对于B中，因为，即，可得，
所以B正确；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，可得，所以D正确.
故选：BCD.
10. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A. 2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等
B.
C. 记第10行的第个数为，则
D. 记第行的第个数为，则
【答案】AC
【解析】对于A，第2024行中数为的展开式的二项式系数，则从左往右第1012个数为，第1014个数为，由于，故A正确；
对于B，由，可得
，
故B不正确；
对于C，第行的第个数为，则，故C正确；
对于D，第行第个数为，则
故D错误；
故选：AC
11. 有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（ ）
A. B.
C. 是等比数列D. 是递减数列
【答案】AD
【解析】根据题意，有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，
则每次旋转中，指针指向数字为偶数的概率为，指向数字为奇数的概率为，
则，又由，则，
故A正确；
对于，变形可得，，则，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
故，变形可得，
对于B，，，则，故B错误；
对于C，，
此时，而，
所以数列不是等比数列，故C错误；
对于D，，
由于，故是递减数列，故D正确.
故选：AD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则__________．
【答案】0.9
【解析】根据题意，，
则，所以，
则.故答案为：0.9
13. 将1，2，3，4，5，6这6个数填入图所示的格子中，要求每个数字都要填入，且每个格子只能填一个数，其中1与2相邻（有公共边的两格子称为相邻）的不同的填法有__________种（结果用数字作答）．
【答案】336
【解析】1从第一排开始排，满足题意有如下情况．
如右图，此时2所在位置2种，其他全排即可，有种，
如右图，此时2所在位置3种，其他全排即可，有种，
如右图，此时2所在位置２种，其他全排即可，有种，
同理，由图形对称性知道，1从第二排开始排，与前面第一排情况数一样. 种.
故答案为：336.
14. 已知实数，且函数，则函数的最小值为__________．
【答案】
【解析】由题意得，
设，，
则点在曲线上，点在抛物线上，
的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和．
设抛物线的焦点为，
则由抛物线的定义知，
所以，
所以，
问题转化为求曲线上的点到点 的距离的最小值，
设曲线上的点，到点的距离最小，
则与曲线在点处切线垂直，
即，
所以，
作出函数与函数的图象，如图所示：
由图象知，两函数图象只有一个交点，
所以方程的解为，则．
所以，
所以函数的最小值为．
故答案为：．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数（为自然对数的底数）．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若在区间上单调递增，求a的取值范围．
解：（1）当时，
，故
在处的切线方程为，即
（2）由题意知在(0,+∞)恒成立，，
化简得在恒成立，而，
所以
16. 已知正项等比数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列也的前n项和．
解：（1）由，整理得，
因为是正项等比数列，所以，
于是，解得或（舍去）.
又，解得.
所以.
（2）由已知得
两式相减得，
即，
当时，，
所以，即，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
.
所以．
17. 小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张．逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌．
（1）求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率．
（2）抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续．用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列．
解：（1）设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”,设事件B表示“第三次抽到红桃牌”. 则
．则小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率为 .
（2）X的可能所有取值为:1,2,3,4,5．
，
，
，
，
，
则X的分布列为：
18. 已知数列，满足，记．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）设数列的前n项和为，证明：．
解：（1）设，
即，
因为，所以，
解得，所以，
因为，则，所以，
所以.
（2）令，因为，所以，
要证，
只要证，即可．
因为，令，
则，
所以在上单调递增，所以，
所以单调递增，
则，
所以得证．
（3）由（2）可知，，
所以
，即，
另一方面，
所
，
则，
所以
19. 药房里有若干味药．药剂师用这些药配成22副药方，每副药方中恰有5味药，从中任选的三味药都恰好只包含在某一副药方中．
（1）药房中共有几味药？
（2）药物分为烈性药和非烈性药，要求每副药方中至少有一味是烈性药．
（i）假设药房中有7味烈性药，证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药；
（ii）证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药．
解：（1）设共有n味药，一共可形成个“三药组”，另一方面，每个“三药组”恰有一副药方包含它，
22副药方中，每副药方可形成个“三药组”，合计220个“三药组”，
所以，所以．
（2）设共有烈性药r味，假设每副药方中至多含有3味烈性药，
不妨把1味烈性药味非烈性药称为“三药组”，
共有个“三药组”，
另一方面，因为每3种烈性药恰有一副药方包含它，故有副药方恰含有3种烈性药，
每副这样的药方含有个“三药组”，其余副药方只含有1种或2种烈性药，
它们中每一幅都可形成或个“三药组”，
故22副药方一共可形成个“三药组”，
故有，得，
（i）将代入
即说明假设药房中有7味烈性药，全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药；
（ii）两边考虑都除以5，右侧余2，
对于，当r取0，1，2，3，4，5时，均不成立，
即说明假设每副药方中至多含有3味烈性药不成立，
所以全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药．
X
1
2
3
4
5
P