安徽省蒙城县第六中学2023-2024学年高二下学期数学期末考试模拟卷

这是一份安徽省蒙城县第六中学2023-2024学年高二下学期数学期末考试模拟卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题五分）
1．若直线，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知空间三点，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
4．的展开式中的系数是（ ）
A．10 B． C．5 D．
5．已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
7．如图，一个椭圆形花坛分为A，B，C，D，E，F六个区域，现需要在该花坛中栽种多种颜色的花.要求每一个区域种同一颜色的花，相邻区域所种的花颜色不能相同．现有5种不同颜色(含红色)的花可供选择，B区域必须种红花，则不同的种法种数为（ ）

A．156 B．144 C．96 D．78
8．已知 ， ，，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题六分）
9．甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件与事件互斥B．
C．事件与事件相互独立D．
10．已知函数，则（ ）
A．时，B．在上单调递增
C．的极大值为1D．的极大值为
11．已知是双曲线的右焦点，为其左支上一点，点，则（ ）
A．双曲线的焦距为6
B．点到渐近线的距离为2
C．的最小值为
D．若，则的面积为
三、填空题（每题五分）
12．已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为 ．
13．抛物线上的动点到直线的距离最短时，到的焦点距离为 .
14．从中任取二数（可以相同），则的个位数是3的概率为 .
四、解答题
15．盒子中装有4个红球，2个白球.（13分）
(1)若依次随机取出2个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率；
(2)若随机取出3个球，记取出的球中白球个数为，求的分布列及均值.
16．双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于两点．（15分）
(1)若的倾斜角为，是等边三角形，求的值；
(2)设，若直线的斜率等于2，求两点的横坐标之和．
17．如图，在四面体中，平面，点在线段上.（15分）

(1)当点是线段中点时，求点到平面的距离；
(2)若二面角的余弦值为，求的值.
18．已知函数.（17分）
(1)求的最小值；
(2)设函数，讨论零点的个数.
19．已知是公差为2的等差数列，数列的前项和为，且．（17分）
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)[x]表示不超过的最大整数，当时，是定值，求正整数的最小值．
参考答案：
1．A
【分析】根据直线方程得到直线的斜率，从而得到倾斜角.
【详解】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.
故选：A
2．C
【分析】求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求与的夹角.
【详解】∵，
，
∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为．
故选：C
3．A
【分析】根据正态分布的对称性结合题意求解即可
【详解】根据正态曲线的对称性，由，得，
因为，
所以.
故选：A
4．D
【分析】先得到的通项公式，从而得到，从而得到展开式的系数.
【详解】的通项公式为，
当时，，
当时，，
故展开式中的系数为.
故选：D
5．B
【分析】根据给定条件，结合等差数列性质，探讨数列单调性，并确定非正数项即可得解.
【详解】等差数列中，，，则，
因此数列是递增等差数列，前5项均为负数，从第6项起为正，
所以当取得最小值时，.
故选：B
6．C
【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可.
【详解】若等比数列的各项均为正数，所以公比，
且成等差数列，可得,
即得
可得，
.
故选：C.
7．A
【分析】依题意对、、、区域所选颜色分三种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】除B区域外，其他区域的种法分三类：
第一类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色，A区域选红色，有种不同的种法;
第二类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的3种，
C，F同色或D，E同色，A区域有2种选法，有种不同的种法;
第三类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的2种，
C，F同色且D，E同色，A区域有3种选法，有种不同的种法．
综上可得，共有（种）不同的种法．
故选：A
8．C
【分析】构造函数，通过导数判断单调性，进而利用单调性判断函数值的大小.
【详解】由题，.令（），则，
因为，所以，所在上单调递增，
又，，，，故.
故选：C.
9．ABD
【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A，由每次取一球，得事件不可能同时发生，即互斥，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C、D，显然，则，
且，显然，C错误，D正确.
故选：ABD
10．AC
【分析】对于A，由函数解析式直接判断，对于BCD，对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值.
【详解】对于A，当时，，所以，所以A正确，
对于BCD，由，得，
由，得或，由，得或，
所以在，上单调递增，在，上单调递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以BD错误，C正确，
故选：AC
11．AC
【分析】根据双曲线的性质判断A，利用点到直线的距离公式判断B，利用双曲线的定义判断C，求焦点三角形的面积，可判断D.
【详解】如图：
由双曲线的标准方程，可知，，所以，所以双曲线的焦距为：，故A正确；
双曲线的渐近线为，即，点到渐近线的距离为：
，故B错误；
设双曲线的左焦点为,根据双曲线的定义：，
所以，故C正确；
在中，由，，，
由余弦定理得：，
所以，
所以，所以，故D错误.
故选：AC
12．/
【分析】由A、B为焦点，可得，点C在椭圆上，可得，即可求得椭圆的离心率.
【详解】由已知，所以，
又点C在椭圆上，所以，所以，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
13．2
【分析】设，求出P到直线距离，结合绝对值变形后配方可得最小值,最后求出P到C的焦点距离即可．
【详解】设，则点到直线的距离为
,
当，即当时，
抛物线 上一点到直线的距离最短，P到C的焦点距离为.
故答案为：2．
14．
【分析】列出的个位数与的个位数，发现周期为4，再求出的个位数是3的情况，再由独立事件的乘法公式求解即可.
【详解】列出的个位数与的个位数，发现周期为4，
则的个位数是3的情况有：，
又2024是4的倍数，故表格中一个周期内取数每种组合情况发生的概率均为，
所以个位数是3的概率为.
故答案为：.
15．(1)
(2)分布列见解析，1
【分析】（1）分析出第一次取到红球后，盒子里还剩3个红球，2个白球，从而求出概率；
（2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，计算出期望值.
【详解】（1）设“第一次取到红球”，“第二次取到白球"，
第一次取到红球后，盒子里还剩3个红球，2个白球，
则；
（2）的可能取值为.
所以，，
故分布列为
.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由直线的倾斜角可求得点坐标，再利用等边三角形性质可得；
（2）求出双曲线方程和直线方程，联立后利用韦达定理即可得两点的横坐标之和为.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，则可得，
当的倾斜角为时，不妨设，如下图所示：
将点代入可得，又；
解得；
由是等边三角形可得，即，
联立解得或（舍）；
所以可得；
（2）当时，双曲线方程为，此时
又直线的斜率等于2，所以直线方程为，
不妨设，联立直线和双曲线方程，
整理可得，
显然，由韦达定理可得，
即两点的横坐标之和为.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得到平面的距离；
（2）设点，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解.
【详解】（1）由平面，，得两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：

由为的中点，则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，而，
所以点到平面的距离为.
（2）设点，，，，
设平面的法向量为，则，取，得，
显然平面的一个法向量为，
则，解得，
此时点为的中点，所以.
18．(1)最小值
(2)答案见解析
【分析】（1）先利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最小值；
（2）令，得，令，则与有相同的零点，利用导数求出函数的极值点，再分类讨论即可得出结论.
【详解】（1）的定义域为，
则当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因此的最小值为；
（2），且，
令，得，
令，则与有相同的零点，
且，
令，则，
因为当时，则，所以在区间上单调递增，
又，所以，使，
且当时，，即；当时，，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因此的最小值为，
由，得，即，
令，则在区间上单调递增，
因为，所以，则，
所以，从而，即
所以的最小值，
所以当时，没有零点；
当时，有一个零点；
当时，因为，
当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于，
所以有两个零点.
综上，当时，的零点个数为0；
当时，的零点个数为1；
当时，的零点个数为2.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
19．(1)
(2)
(3)7
【分析】（1）先由是公差为2的等差数列，求得递推关系，再利用叠加法求得，进而得到的通项公式；
（2）法一：两次利用错位相减法即可求得数列的前项和为；法二：构造得，再利用裂项相消法即可得解；
（3）利用数列单调性结合题给条件即可求得正整数的最小值.
【详解】（1）设，则．
因为是公差为2的等差数列，所以．
设，则，
所以时，
．
所以，即，
又，满足上式，所以
（2）（方法一）因为，
所以
两式相减得．
设，
则，
两式相减得
，
则．
所以，即．
（方法二）因为，
所以．
所以
则，
即．
（3）当时，，且，所以的定值为9．
所以当时，．
令，则，
，
所以单调递减．
因为，所以，即正整数的最小值为
【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：
（1）倒序相加法：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减法：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和法：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
1
2
3
4
的个位数
2
4
8
6
的个位数
7
9
3
1
0
1
2