选择性必修 第二册第1章 导数及其应用1.1 导数概念及其意义优秀ppt课件

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1．瞬时变化率（导数）的概念（重点）
2．导数和导函数的区别（难点）
3．利用导数或者导函数的定义来求导数或者导函数（重点、难点）
函数f (x)的平均变化率即函数值的增量除以自变量的增量．
回顾一下我们上节课思考和解决问题的过程：
（1）函数y =f (x)，既可以描述运动过程，也可以描述其他过程或现象．（2）函数值之差 f (u＋d)－f (u)与对应的自变量之差d的比既可以是运动物体在某个时段内的平均速度，也可以是其他过程中某个量变化的平均值．一般说来，它是函数f (x)在区间[u，u＋d]（或[u＋d，u]）上的平均变化率．
（3）函数y =f (x)作为运动方程时，若平均速度 在区间长d趋近于0时趋近于一个极限值，则这个数值就叫作该运动物体在 x = u处的瞬时速度．
这时我们就说f (x)在点x0处的导数存在，或者说f (x)在点x0处可导或可微．
在上述例子中，函数f (x) = x2 在x = 1处的导数为2，记作f ′(1)= 2．
若y =f (x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f ′(x)（或y′）也是x的函数，我们把f ′(x)（或y′）叫作y =f (x)的导函数或一阶导数． 因此，f ′(x0)函数y =f (x)在 x = x0处的导数，也可以看做是y =f (x)的导函数f ′(x)在 x = x0处的函数值． 既然导函数f ′(x)也是函数，若f ′(x)在定义区间中任一点处都可导，则它的导数叫作f (x)的二阶导数，记作f ′′(x)． 类似地，可以定义三阶导数f ′′′(x)等等．
例7
投石入水，水面会产生圆形波纹区，且圆的面积随着波纹的传播半径r的增大而增大（如图1.1-4）．计算：
（1）半径 r 从 a 增大到a＋d时，圆面积S相对于 r 的平均变化率；（2）半径r = a时，圆面积S相对于 r 的瞬时变化率．
解：（1）圆面积相对于半径r的平均变化率为 （2）当d趋近于0时，π(2a＋d)趋近于2πa，即圆面积S相对于 r 的瞬时变化率为2πa，恰为此时圆的周长．
例8
在初速度为零的匀加速直线运动中，路程s和时间t的关系为
（1）求s关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义；（2）求运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义．
解：（1）s关于t的瞬时变化率就是函数s(t)的导数s′(t)．按定义计算： 从物理学上看，s关于t的瞬时变化率at就是运动物体的瞬时速度．
例8
在初速度为零的匀加速直线运动中，路程s和时间t的关系为
（2）求运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义．
解：（2）运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率，实际上就是函数s′(t)= at的导数s′′(t)．按定义计算： 从物理学上看，运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率就是运动物体的加速度．
练习2
有一边长为10 cm的正方形铁板（此时铁板温度为0°C），加热后铁板会膨胀，已知铁板温度为t°C（t > 0）时，其边长膨胀为10(1＋at)cm，其中a为常数，求铁板面积对温度t的瞬时膨胀率．
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