（人教版）初升高数学暑假衔接初高衔接-第04讲：二次函数与不等式（学生版+教师版）讲义

这是一份（人教版）初升高数学暑假衔接初高衔接-第04讲：二次函数与不等式（学生版+教师版）讲义，文件包含人教版初升高数学暑假衔接初高衔接-第04讲二次函数与不等式教师版docx、人教版初升高数学暑假衔接初高衔接-第04讲二次函数与不等式学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共30页， 欢迎下载使用。

考点一、一元二次不等式及其解法
1．形如的不等式称为关于的一元二次不等式．
2．一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)．
以二次函数为例：
(1) 作出图象.
(2)图象与轴的交点是，即当时，．
就是说对应的一元二次方程的两实根是．
当时，，对应图像位于轴的上方．
就是说的解是．
当时，，对应图像位于轴的下方．就是说的解是．
一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：
(1) 将二次项系数先化为正数.
(2) 观察相应的二次函数的图象．
①如果图象与轴有两个交点，
此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ．
那么(图1)：

②如果图象与轴只有一个交点，
此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根
(也可由根的判别式来判断) ．
那么(图2)：

无解
③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根
(也可由根的判别式来判断) ．
那么(图3)： 取一切实数

无解
解一个一元二次不等式的话，也可以按以下步骤处理：
(1) 化二次项系数为正；
(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)；
(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解．
考点二、简单分式不等式的解法
说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．
(2) 也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号(比如例(2))：
.
考点三、含有字母系数的一元一次不等式
一元一次不等式最终可以化为的形式．
(1) 当时，不等式的解为：；
(2) 当时，不等式的解为：；
(3) 当时，不等式化为：；
① 若，则不等式无解；② 若，则不等式的解是全体实数．
【题型归纳】
题型一：一元二次不等式的解法
1．解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）因式分解可得结果；
（2）配方法可得结果；
（3）配方法可得结果.
【详解】（1）由，得，得，
所以不等式的解集为.
（2）由得，得，
得，得或，即或，
所以原不等式的解集为或.
（3）由得，所以.
所以原不等式的解集为.
2．求解下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
【答案】(1)或
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）（2）利用二次不等式的解集解原不等式即可得其解集；
（3）利用绝对值不等式的解法解原不等式即可得其解集；
（4）（5）利用分式不等式的解法解原不等式可得其解集.
【详解】（1）解：由可得，解得或，
故原不等式的解集为或.
（2）解：由可得，解得，
故原不等式的解集为.
（3）解：由可得，即，解得，
故原不等式的解集为.
（4）解：由可得，解得，
故原不等式的解集为.
（5）解：由可得，解得，
故原不等式的解集为.
3．解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先因式分解，然后直接求解即可；
（2）利用求根公式即可求解不等式；
（3）分类讨论，将分式不等式变为整式不等式求解；
（4）先整理，然后直接求解即可.
【详解】（1），
，
，
即不等式的解集为；
（2），
，
解得或；
即不等式的解集为；
（3），
或
解得，
即不等式的解集为；
（4），
整理得，
解得，
即不等式的解集为.
题型二：一元二次不等式求参数
4．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意知是方程的两实数根，由韦达定理可求出，代入不等式中，解不等式即可求出答案.
【详解】由不等式的解集为，
知是方程的两实数根，
由根与系数的关系，得，解得：，
所以不等式可化为，解得：或，
故不等式的解集为：.
故选：D.
5．已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先根据不等式的解集，利用韦达定理得到的关系，再代入求解不等式的解集.
【详解】由条件可知，的两个实数根是和，且，
则，得，，
所以，即，
解得：，
所以不等式的解集为.
故选：A
6．已知关于x的不等式的解集为或．
(1)求a，b的值；
(2)若，解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据不等式的解集和方程的根的关系，列方程组求a，b的值；
（2）代入a，b的值，然后分与的大小关系讨论来解不等式.
【详解】（1）关于x的不等式的解集为或
即方程的根为，
，
解得；
（2）由（1）得关于的不等式，
即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
题型三：含参数的一元二次不等式的解法
7．已知使不等式成立的任意一个x，都不满足不等式，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由得，因为使不等式成立的任意一个x，都不满足不等式，所以不等式的解集是的子集．讨论解出不等式的解集，从而利用集合的包含关系即可求解
【详解】由得，
因为使不等式成立的任意一个x，都不满足不等式，
所以不等式的解集是的子集．
由，得，
当，，符合题意；
当，，则，；
当，，符合题意，
综上所述，实数a的取值范围为．
故选：D．
8．已知函数，且的解集为.
(1)求；
(2)解关于的不等式
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据韦达定理列式求出即可得解；
（2）将不等式整理为，再分类讨论可求出结果.
【详解】（1）因为的解集为,所以和是方程的两根，
所以，，即，，
（2）由,整理得，
当时，得，解集为；
当时，，得或，解集为；
当时，，得，解集为；
当时，，得或，解集为.
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
9．已知函数
(1)若函数在上单调递增，求实数m的取值范围；
(2)若，解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）时结合一次函数的单调性可得结果；由二次函数的开口方向、对称轴和单调性列出不等式组，可求出m的取值范围；
（2）因式分解后，分，和三种情况讨论，求出不等式组的解集即可.
【详解】（1）在单增，若，则，
在单增，所以；
若在单增，则，
解得到，，
综上所述：；
（2）若，则，即，
所以，
若即，不等式的解集为；
若即，此时，不等式的解集为；
若即，此时，不等式的解集为；
综上，当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是．
题型四：一元二次方程根的分布问题
10．若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有一个正根和一个负根可得判别式大于零以及两根之积小于零，列不等式组即可求解.
【详解】因为一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为，
则，解得，
故选：A
11．已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则可能为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的分布情况，结合一元二次不等式的求解，列式计算即可.
【详解】令，
则，
由题可知，，且，
即，解得，
故所有选项中满足题意的的值是：.
故选：B.
12．关于的方程有两个不相等的实数根且，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由一元二次方程根的分布可得，解不等式组可求得结果.
【详解】设，则，解得：，
即的取值范围为.
故选：D.
题型五：一元二次不等式恒成立问题
13．关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分以及，结合二次函数的性质，列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】当时，原不等式可化为在R上恒成立；
当时，由不等式的解集为，
可知应有，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：B.
14．（1）解关于的不等式；
（2）已知关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）分类讨论解不等式可得结果；
（2）分类讨论项系数，利用判别式可得结果.
【详解】（1）①当时，原不等式化为,解得或；
②当时，原不等式即为，解得；
③当时，原不等式化为，
若时，解得；
若时，得，不等式无解；
若时，解得.
综上可知，当时，解集为 或；
②当时，解集为；
③当时，解集为；
当时，解集为空集；
当时，解集为.
（2）①当，即或时，
若，不等式化为，即，不符合题意；
若，不等式化为，符合题意.
②当，即且时，由二次不等式对一切实数恒成立，
得，解得.
综上所述：实数的取值范围为．
15．已知函数，．
(1)若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
【分析】（1）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的性质即可求解.
（2）化简问题得出，对分三类讨论，利用一元二次不等式的性质即可求解.
【详解】（1）依题意，在实数集上恒成立．
①当时，，成立；
②当时，要使原不等式恒成立，
则，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
（2）不等式，
等价于，
即．
①当时，解原不等式可得或；
②当时，不等式整理为，解得；
③当时，方程的两根为，，
（i）当时，因为，解原不等式得；
（ii）当时，因为，原不等式的解集为；
（iii）当时，因为，解原不等式得，
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
【专题归纳】
一、单选题
16．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由因式分解结合一元二次不等式的解的特征即可求解.
【详解】由得，解得或，
故不等式的解为，
故选：C
17．已知命题p：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由命题为真命题，则，解不等式得出实数的取值范围即可．
【详解】命题为假命题，
所以为真命题，
则，解得
故选：D
18．已知时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解出不等式可得集合A，由，计算可得范围.
【详解】设的解集为A，
因为时，恒成立，所以，
由得，即，
当，解得，即，可得；
当，解得，即，不合题意；
当，解集为，不合题意；
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：C.
19．不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】两边平方后可求不等式的解.
【详解】因为，故，故，故，
故选：D.
20．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解.
【详解】记，则为开口向上的二次函数，
要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要，解得，
故选：C
21．下列不等式中，解集为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的解，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A,，故A不符合，
对于B，,且开口向上，所以对任意的,都有,故B符合,
对于C,得，故C不符合，
对于D,由得，故D不符合，
故选：B
22．已知不等式的解集为，且对于，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由不等式的解集为知可用表示，代入中并用参数分离与基本不等式求得的取值范围.
【详解】由不等式的解集为，可知为方程的两个根，
故且，即，
则不等式变为，
由于，则上式可转化为在恒成立，
又，当且仅当时等号成立，
故.
故选：B.
23．已知函数只有一个零点，不等式的解集为，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数有一个零点可得，再将不等式的解集转化为方程的两根，最后利用韦达定理和两根的大小关系即可求解.
【详解】函数只有一个零点，则，
不等式的解集为，
即的解集为．
设方程的两根为，
则，且，
∴，则，
整理得，∴．
故选：.
24．若，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．或C．或D．
【答案】A
【分析】首先根据不等式的性质可得，进而将不等式转化为，求解即可得出结果.
【详解】因为，，所以，所以.
原不等式可化为所以，解得.
所以，不等式的解集为.
故选：A.
25．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】D
【分析】分类讨论解不等式，然后由解集中只有一个整数分析得参数范围．
【详解】时，不等式为，解为，不合题意，
若，则不等式的解是或，不合题意，
因此只有，不等式的解为，
因此，解得且．
故选：D．
26．若关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】因式分解，分三种情况讨论
【详解】因为
所以
（1）当时，不等式的解集为，,若不等式的解集中恰有个整数，则满足；
（2）当时，易得解集为，所以不成立；
（3）当时，不等式的解集为，若不等式的解集中恰有个整数，则满足.
综上：的范围为
故选：C.
二、填空题
27．命题“，”为真命题的充要条件是________.
【答案】
【分析】原命题等价于使，求在上的最大值即可.
【详解】原命题可写为“，”，
当时，随增大而增大，则时，取最大值为3，所以.
故答案为：
28．已知，当时，不等式恒成立，则实数m的范围为__________．
【答案】
【分析】由题意可得对任意的恒成立，根据二次函数的性质求出，的最小值即可求解.
【详解】由题意可得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
令，，
，，则,
所以,所以实数m的范围为.
故答案为:.
29．已知不等式的解集为，则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】根据三个二次之间的关系求得，代入一次不等式运算求解.
【详解】由题意可得：，是方程的两根，且，
则由韦达定理可得：，解得，
所以不等式化为：，解得，
故所求不等式的解集为.
故答案为：．
30．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】由题意知是方程的两根，且，根据韦达定理可得出a，b，c的关系，代入解不等式即可．
【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以是方程的两根，且，
则，解得，
所以关于的不等式，即，化简得，解得，
则关于的不等式的解集为．
故答案为：．
31．已知是关于的方程的两个实根，且，则__________.
【答案】2
【分析】根据根与系数的关系结合条件即得.
【详解】因为是关于的方程的两个实根，
则，又，
所以，
解得或，
经判别式检验知.
故答案为：2.
32．已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，若对任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立.则t的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，求得b，c，再将对任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立，转化为对任意﹣1≤x≤0，不等式恒成立求解.
【详解】解：因为不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，
所以，解得，
因为对任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立，
所以为对任意﹣1≤x≤0，不等式恒成立，
令，
，
所以 ，
故答案为：
三、解答题
33．已知函数．
(1)当时，求关于x的不等式的解集．
(2)若，求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集；
（2）不等式因式分解得到，分，与三种情况，求出不等式的解集.
【详解】（1）时，，解得：，
故解集为；
（2）时，，
变形为，
当时，，解得，
当时，解得，
当时，，解得，
综上：当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为.
34．已知关于的不等式．
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)若不等式的解集为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分类讨论，，当时，根据已知变形为，当时，根据一元二次不等式解集与一元二次方程韦达定理列式即可解出答案；
（2）分类讨论，，当时，根据已知变形为，当时，根据已知得出一元二次不等式在上恒成立，即可列式解出答案.
【详解】（1）当时，为，不满足题意；
当时，若的解集为，
即的两个解为与，
则，解得；
（2）当时，为，在上恒成立，满足题意，
当时，的解集为，
即在上恒成立，
则，解得，
综上：，
故的取值范围.
35．已知函数．
(1)若的解集为，求实数的取值范围；
(2)当时，解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由一元二次不等式在上恒成立可得，由此可解得结果；
（2）将所求不等式化为，分别在和的情况下解不等式即可.
【详解】（1）由题意知：在上恒成立，，解得：，
即实数的取值范围为.
（2）由得：；
当时，的解为或；
当时，的解为或；
综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
36．若，解不等式．
【答案】
【分析】根据题意，，转化不等式，求解即可．
【详解】解：∵，∴，
原不等式可化为，
解得．
故原不等式的解集为．
37．已知二次函数，不等式的解集为．
(1)求函数的解析式；
(2)解关于的不等式（其中）．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由一元二次不等式的性质结合根与系数的关系得出函数的解析式；
（2）分类讨论的值，结合一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）由题意知，在中，的解集为
的根为．
，解得：
（2）由题意得，
将代入得
即．
当时，不等式化为：，解集为：，
当时，，不等式化为，
即的解集为
当时，，不等式化为，即，
若，即，则不等式化为：，其解集为
若，即，则不等式的解集为或，
若，即，则不等式的解集为或，
综上所述：
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或．
38．（1）解不等式：
（2）已知集合，对于任意的集合A中的每一个元素，恒成立，求m的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）先变形得到，再通过讨论和的大小来解不等式；
（2）先求出集合中的元素范围，再根据问题恒成立结合二次函数的性质列不等式求解.
【详解】（1）
，令
得或
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
综上：
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
（2），
因为对于任意的集合A中的每一个元素，恒成立，
则或，
解得