（人教版）初升高数学暑假衔接初高衔接-第01讲：数与式（学生版+教师版）讲义

这是一份（人教版）初升高数学暑假衔接初高衔接-第01讲：数与式（学生版+教师版）讲义，文件包含人教版初升高数学暑假衔接初高衔接-第01讲数与式教师版docx、人教版初升高数学暑假衔接初高衔接-第01讲数与式学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共23页， 欢迎下载使用。

考点一、乘法公式
【公式1】平方差公式：
【公式2】完全平方公式：
【公式3】完全立方公式：
【公式4】（完全平方公式）
【公式5】(立方和公式)
【公式6】(立方差公式)
考点二、指数式
当时，.
当时，⑴零指数， ⑵负指数.
⑶分数指数 为正整数).
幂运算法则：.
= 4 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑷
考点三、根式
式子叫做二次根式，其性质如下：
(1) (2)
(3) (4)
如果有，那么叫做的次方根，其中为大于的整数．
当n为奇数时，，当n为偶数时，.
四、分式
当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：
(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．
【专题突破】
一、单选题
1．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）已知等式，则下列变形一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可.
【详解】对于选项A，因为，当或时，无意义，故选项A错误；
对于选项B，等式的两边同时减去，根据等式的基本性质，该等式仍然成立，故选项B正确；
对于选项C，因为，当或时，无意义，故选项C错误；
对于选项D，因为，当或时，无意义，故选项D错误；
故选：B
2．（2022秋·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考开学考试）已知，，，则代数式的值为（ ）
A．B．3C．6D．12
【答案】B
【分析】化简所求式子，结合已知条件求得正确答案.
【详解】
.
故选：B
3．（2022秋·安徽黄山·高一屯溪一中校考开学考试）若（x、y是实数），则M的值是（ ）
A．正数B．负数
C．零D．以上皆有可能
【答案】A
【分析】整理得，再分析判断即可.
【详解】因为
，
若，该方程组无解，即不同时成立，
所以.
故选：A.
4．（2022秋·广西玉林·高一校考期中）关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为，则（ ）
A．2B．8C．10D．2或10
【答案】A
【分析】利用根与系数的关系直接求解.
【详解】设，是的两个实数根，则，，
故，解得或．
当时，符合题意；
当时，，不符合题意；
综上，．
故选：A．
5．（2022秋·云南红河·高一校考阶段练习）已知实数满足，那么的值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】D
【分析】结合二次根号下的式子非负得到的范围，进而化简式子，求出，再代入计算即可.
【详解】因为，所以，所以，
则，所以.
故选：D.
6．（2020秋·安徽蚌埠·高一蚌埠二中校考开学考试）杨辉三角是二项式展开式中各项系数的一种几何排列.它最早出现在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中.利用杨辉三角，我们很容易知道.设，则系数（ ）
A．54B．-54C．36D．-36
【答案】B
【分析】利用杨辉三角及已知等式，计算求解即得.
【详解】，
则.
故选:B.
7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考开学考试）已知，并且，则直线一定通过（ ）
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限
【答案】B
【分析】依题意可得，即可得到或，然后根据一次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：因为，所以①，②，③，
三式相加得．
有或．
当时，．则直线通过第一、二、三象限．
当时，不妨取，于是，，
，
直线通过第二、三、四象限．
综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．
故选：B．
8．（2022秋·河南郑州·高一郑州外国语学校校考阶段练习）已知，，，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
【答案】C
【分析】根据异分母分式加减，分别计算出、的值，就不难判断它们的大小．
【详解】解：，
又，
；
同理，
．
故选：C．
9．（2022秋·四川成都·高一四川省成都市第八中学校校考开学考试）若​都是非零实数，且​，那么​的所有可能的值为（ ）
A．​或​B．​或​C．​或​D．​
【答案】D
【分析】由题意可知​为两正一负或两负一正，然后分别讨论可得到答案
【详解】解：由已知可得： ​为两正一负或两负一正，
①当 ​为两正一负时， ​；
②当 ​为两负一正时， ​，
​，
所以所有可能的值为0，
故选：D
10．（2022·安徽芜湖·高一芜湖一中校考强基计划）依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第898个位置的数字是（ ）
A．1B．4C．5D．9
【答案】B
【分析】先分别找到占1个，2个，3个，4个，5个数位的平方数的个数，从而得出第898个位置的数字是的个位数字，求解即可．
【详解】到，结果都各占1个数位，共占1×3＝3个数位；
到，结果都各占2个数位，共占2×6＝12个数位；
到，结果都各占3个数位，共占3×22＝66个数位；
到，结果都各占4个数位，共占4×68＝272个数位；
到，结果都各占5个数位，共占5×109＝545个数位；
此时3＋12＋66＋272＋545＝898，而，
所以，排在第898个位置的数字恰好应该是的个位数字，即为4．
故选：B．
11．（2021秋·浙江·高一阶段练习）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
… …
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ）
A．－2021B．2021C．4042D．－4042
【答案】D
【分析】先观察规律，再按照规律写出第一项、第二项，其中第二项含，写出系数即可.
【详解】根据规律可以发现:第一项的系数为1，第二项最前面的常数为2021，
则第二项为：.
故选：D.
12．（2022秋·江西抚州·高一南城县第二中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
①已知，，则；②若，则化简
③如果定义，当，．时，则的值为；
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】根据的正负，结合绝对值的定义化简判断①，由条件确定的范围，分别在条件，时化简，判断②，由条件，．分析的大小，结合定义求，由此判断③，
【详解】因为，，所以，，，，所以，①对，
因为，所以，所以
，
当时，，
当时，，所以②错，
因为，所以，所以，又，所以，
所以，所以，③对，
故选：B.
13．（2022·江苏·高一开学考试）如图，在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动个单位至，然后向左运动个单位至处，再向下运动个单位至处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至处，，如此继续运动下去．则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合题目观察规律，得到落在第四象限，再观察第四象限点的坐标规律，即可得到结果.
【详解】根据平面坐标系结合各点横坐标得出：
第一象限：、、、
第二象限：、、、
第三象限：、、
第四象限：、、、
，
在第四象限
观察规律知第四象限的点的横坐标是，纵坐标为，即，
的坐标为，
故选:C．
14．（2022秋·福建泉州·高一泉州五中校考开学考试）观察规律，，，，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图像于点，交直线于点.则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用解析式求得，，，，，进而求得线段，，，将所求结果代入算式，再利用裂项相消法计算可得．
【详解】解：在上，在直线上，
，，
；
同理：，，
；
，，
；
，
．
．
故选：D．
二、填空题
15．（2023·高一课时练习）已知a、b是方程的两个根，则的值为______．
【答案】8
【分析】首先根据已知条件得，，，
然后将原式化简整理成，最后代入数值即可求解.
【详解】已知、是方程的两个根，
则有，，
根据韦达定理有，.
.
故答案为：
16．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若对任意实数恒成立，则______．
【答案】2
【分析】利用题意列出的等式，即可求解
【详解】由可得，
因为对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以解得，所以，
故答案为：2
17．（2022秋·江西抚州·高一南城县第二中学校考阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是_____，数轴上表示2和的两点之间的距离为________．
（2）数轴上表示x和两点之间的距离为______．若x表示一个有理数，且，则__________．
（3）利用数轴求出的最小值为__________，并写出此时x可取哪些整数值______．
【答案】 4 3 6 7
【分析】（1）由数轴上两点之间距离的定义即可求解.
（2）由数轴上两点之间距离的定义即可求解.
（3）由数轴上两点之间距离的定义即可求解.
【详解】（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是；
数轴上表示2和的两点之间的距离为.
故答案为：4；3.
（2）数轴上表示x和两点之间的距离为；
因为，由数轴上两点距离的定义，则.
故答案为：；6.
（3）当时，，且为最小值；
此时整数.
故答案为：7；.
18．（2022秋·上海·高一期中）设，则用含的最简分式形式表示代数式的值为______．
【答案】
【分析】已知式取倒数后求得，待求式变形为关于的式子，代入后化简可得．
【详解】由得，所以．
所以．
故答案为：．
19．（2022·安徽芜湖·高一芜湖一中校考强基计划）若有四个不同的正整数a,b,c,d,满足,则___________．
【答案】8087或8089
【分析】根据a、b、c、d是四个不同的正整数,可知四个括号内的值分别是：1,-1,-2,3或1,-1,2,-3,据此可得出结论．
【详解】∵a、b、c、d是四个不同的正整数,
∴四个括号内的值分别是：1,-1,-2,3或1,-1,2,-3．
四个括号内的值分别是：1,-1,-2,3时,
不妨令
∴,
∴；
四个括号内的值分别是：1,-1,2,-3时,
不妨令,
∴,
∴.
故答案为：8087或8089．
20．（2021春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考学业考试）已知，则代数式的值为__________.
【答案】
【分析】由变形可得出，代数式变形，整体代入求值即可.
【详解】因为，则，可得，所以，，
即，所以，，
所以，
.
故答案为：.
21．（2022·安徽芜湖·高一芜湖一中校考强基计划）设自然数，且，则________．
【答案】16
【分析】依题意可得，即可得到，从而得解.
【详解】因为，即，
即，所以，
即，所以关于的方程有正整数解，
所以，
其中，解得，
所以，
又，因为、为自然数且，
所以，解得，经检验符合题意，
所以.
故答案为：
三、解答题
22．（2021秋·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考阶段练习）已知关于x的函数
(1)若，且的正数解为，求，的值；
(2)若当时，y的最小值为8，求实数a的所有值．
【答案】(1)，；
(2)–1和.
【分析】（1）根据完全平方和公式、立方和公式进行求解即可；
（2）根据基本不等式，结合换元法、二次函数的性质分类讨论进行求解即可.
（1）
若，又的正数解为，故，
又，
又，故，∴；
（2）
，
因为，令，当且仅当时取等号，即时取等号，
则，
若，则在时，，解得，（舍）；
若，则在时，，解得，（舍）；
综上，a的所有值为–1和．
23．（2022·江苏苏州·高一常熟中学校考阶段练习）已知是方程的一个根，求：
(1)的值；
(2)代数式的值．
【答案】(1)-5；
(2)2019.
【分析】（1）根据是方程的一个根，得到，对代数式变形后，整体代入求出答案；
（2）由题意得到，，将代数式变形，整体代入求出答案.
【详解】（1）因为是方程的一个根，
所以，即，
故；
（2）由得：，
，结合，
可得：.
24．（2022秋·海南三亚·高一校考开学考试）已知．
(1)化简；
(2)若正方形的边长为，且它的面积为9，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的运算性质化简即可，
（2）先求出，再代入化简后的式子中可求得答案.
（1）
（2）
因为正方形的边长为，且它的面积为9，
所以，得，
所以
25．（2022秋·安徽黄山·高一屯溪一中校考开学考试）化简
【答案】
【分析】根据已知，因式分解可得，然后拆开，根据分母有理化即可得出，整理即可得出答案.
【详解】原式.
26．（2022秋·安徽淮南·高一淮南第二中学校考强基计划）刘在《文心雕龙》中说：“造化赋形，支体必双：神理为用，事不孤立.夫心生文辞，运裁还虑高下相须，自然成对.”在数学上也经常利用对仗（对偶）思想解决有关问题，比如的对偶式是，可以用来无理式的有理化.请利用上述材料解决以下问题：
(1)已知，比较a、b、c的大小关系；
(2)求不超过的最大整数.
【答案】(1)
(2)3903
【分析】（1）根据题意将三个数化为分数形式，比较分母大小，即得答案；
（2）设，可得，从而计算的值，结合的范围，可确定的范围，即得答案.
【详解】（1）由题意可得，
，，
因为，
故.
（2）设，则，
则，
故，
因为，
故，
故不超过的最大整数为3903.
27．（2022秋·上海浦东新·高一上海市实验学校校考开学考试）阅读理解：对于任意正实数，因为，所以，所以，只有当时，等号成立.结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值.根据上述内容，回答下列问题：
(1)若，只有当___________时，有最小值___________；
(2)思考验证：如图1，为半圆的直径，为半圆上任意一点（与点不重合），过点作，垂足为.试根据图形验证，并指出等号成立时的条件.
(3)探索应用：如图2，已知为双曲线上的任意一点，过点作轴，垂足为轴，垂足为.求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状.
【答案】(1)，2
(2)验证答案见解析，等于半径时取等号
(3)最小值24，四边形是菱形
【分析】（1）根据阅读材料，时，取得最小值，由此计算可得；
（2）利用直角三角形相似得，由（重合时取等号）可得不等式成立；
（3）设，求出坐标，求出后可计算出四边形的面积，然后由阅读材料的结论得出最小值及四边形形状．
（1）
由题意，又，因此时，的最小值为2；
（2）
因为是的直径.所以.
又，所以，
所以RtRt，所以，即，所以，
若点与O不重合，连接，
在Rt中，有，所以，
若点与重合时，.所以.
综上所述，，即，当等于半径时取等号；
（3）
设，则，
化简得，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，所以.
由最小值24.
此时，
所以四边形是菱形.