2024年山东省济南市钢城区部分校中考数学一模试卷

这是一份2024年山东省济南市钢城区部分校中考数学一模试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2B．﹣2C．D．﹣
2．（4分）由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体的形状图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（4分）学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，96，98．下列说法中正确的是（ ）
A．该组数据的中位数为98
B．该组数据的方差为0.7
C．该组数据的平均数为98
D．该组数据的众数为96和98
5．（4分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（ ）
A．48°B．78°C．92°D．102°
6．（4分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（ ）
A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）
7．（4分）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ）
A．（0，4）B．（1，1）C．（1，2）D．（2，1）
9．（4分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（ ）
A．MN+BN＜AB
B．∠BAC＝∠BAE
C．∠ACB﹣∠ANM＝∠ABC
D．四边形ACBM的最大面积为13
二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：a2+8a+16＝ ．
12．（4分）如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点．假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是 ．
13．（4分）如果一个正六边形的周长等于12cm，那么这个正六边形的半径等于 cm．
14．（4分）估计的值应在 和 之间（填写整数）．
15．（4分）已知A、B两地相距4千米．上午8：00，甲从A地出发步行到B地，8：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示．由图中的信息可知，乙到达A地的时间为 ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，E在AD边上且AE＝1，若点H在边CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D'作D'N⊥AD于点N，与EH交于点M，则tan∠MD'H的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组，并写出它的正整数解．
19．（6分）如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，AF＝CE，求证：AE＝CF．
20．（10分）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆OA绕点O匀速旋转，另一曲臂杆AB始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度CD为1.2m，OA＝AB＝1.5m，OD＝0.2m，入口宽度为3m．
（1）如图2，因机器故障，曲臂杆OA最多可旋转72°，求此时点A到地面的距离；
（2）在（1）的条件下，一辆宽为2.58m、高为2.2m的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：sin72°≈0.95，cs72°≈0.3，tan72°≈3．结果精确到0.1m．）
21．（10分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的试验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，最后在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．
（1）求AB的长．（结果保留根号）
（2）已知本路段对校车限速为50千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：，）
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BO平分∠ABC交AC于点O，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O，交AC于点D．
（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝2，tan∠BOC＝2，求⊙O的半径．
23．（10分）“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱、某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的“青提”和“红提”供客户对比品尝，其中购买“青提”用了480元，购买“红提”用了360元，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元．
（1）求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元．
（2）若该水果商城决定再次购买同种“红提”和“青提”共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
24．（8分）如图1，直线y＝ax+4经过点A（2，0），交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点B（﹣1，m），点P为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
（1）求反比例函数表达式；
（2）过点P作PC∥x轴交直线AB于点C，连接AP，BP，若△ACP的面积是△BPC面积的2倍，请求出点P坐标；
（3）在反比例函数y＝（x＜0）图象上是否存在点P，使∠BAP＝45°，若存在，请求出点P横坐标，若不存在，请说明理由．
25．（10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察证明．
如图1，当α＝60°时
①猜想BD与CP的数量关系为 ，并说明理由．
②直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比猜想
如图2，当α＝90°时，请直接写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数．
（3）解决问题
当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
26．（12分）如图，抛物线与x轴相交于点A（3，0）、点B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P为抛物线在第三象限图象上的点，且∠PAB＝∠OCB，求P点的坐标；
（3）如图2，点D是抛物线上一动点，连接OD交线段AC于点E当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分）
1．（4分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2B．﹣2C．D．﹣
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|＝2．
故选：A．
2．（4分）由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体的形状图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，如图所示：．
故选：C．
3．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：解不等式2﹣x＞0，得：x＜2，
解不等式≥﹣1，得：x≥﹣1，
不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
在数轴上表示为：
故选：C．
4．（4分）学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，96，98．下列说法中正确的是（ ）
A．该组数据的中位数为98
B．该组数据的方差为0.7
C．该组数据的平均数为98
D．该组数据的众数为96和98
【解答】解：A、将这组数据从小到大排列为：96，96，97，98，98，中位数为97，故A选项不符合题意；
C、平均数＝＝97，故C选项不符合题意；
B、方差＝×[（96﹣97）2×2+（97﹣97）2+（98﹣97）2×2]＝0.8，故B选项不符合题意；
D、该组数据的众数为96和98，故D选项符合题意；
故选：D．
5．（4分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（ ）
A．48°B．78°C．92°D．102°
【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，
∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．
故选：D．
6．（4分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（ ）
A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）
【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，
∴2m﹣4＝0，
解得：m＝2，
∴m+2＝4，
则点P的坐标是：（4，0）．
故选：A．
7．（4分）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，
∴小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为＝，
故选：C．
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ）
A．（0，4）B．（1，1）C．（1，2）D．（2，1）
【解答】解：由图知，旋转中心P的坐标为（1，2），
故选：C．
9．（4分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选：A．
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（ ）
A．MN+BN＜AB
B．∠BAC＝∠BAE
C．∠ACB﹣∠ANM＝∠ABC
D．四边形ACBM的最大面积为13
【解答】解：将点A（2，0）代入抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b
解得：a＝，b＝﹣，
设：M点横坐标为m，则M（m，m2﹣m+4）、N（m，m﹣），
其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），
则AB＝BC＝5，则∠CAB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，﹣）、（，），
由勾股定理得：BN＝，而MN＝，
BN+MN＝5＝AB，
故本选项错误；
B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），
∴∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，
∠CBA≠∠BCA，
∴∠BAC＝∠BAE不成立，
故本选项错误；
C、如图，过点A作AD⊥BC、BF⊥AC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BF是∠ABC的平分线，
易证：∠CAD＝∠ABF＝ABC，
而∠ACB﹣∠ANM＝∠CAD＝ABC，
故本选项正确；
D、S四边形ACBM＝S△ABC+S△ABM，
S△ABC＝10，
S△ABM＝MN•（xB﹣xA）＝﹣m2+7m﹣10，其最大值为，
故S四边形ACBM的最大值为10+＝12.25，
故本选项错误．
故选：C．
二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：a2+8a+16＝ （a+4）2 ．
【解答】原式＝（a+4）2，
故答案为：（a+4）2．
12．（4分）如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点．假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是 ．
【解答】解：∵共有16小正方形，其中阴影部分为4个小正方形，
∴任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是＝．
故答案为：．
13．（4分）如果一个正六边形的周长等于12cm，那么这个正六边形的半径等于 2 cm．
【解答】解：如图，∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长为12cm，
∴边长为2cm；
∵∠AOB＝×360°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA＝AB＝2cm，
即该圆的半径为2cm，
故答案为：2．
14．（4分）估计的值应在 6 和 7 之间（填写整数）．
【解答】解：原式＝4×+3×
＝4+，
∵2＜＜3，
∴6＜4+＜7，
即原式的值在6和7之间，
故答案为：6；7．
15．（4分）已知A、B两地相距4千米．上午8：00，甲从A地出发步行到B地，8：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示．由图中的信息可知，乙到达A地的时间为 8：40 ．
【解答】解：因为甲60分走完全程4千米，所以甲的速度是4千米/时，
由图中看出两人在走了2千米时相遇，那么甲此时用了0.5小时，则乙用了（0.5﹣）小时，
所以乙的速度为：2÷＝12，所以乙走完全程需要时间为：4÷12＝（时）＝20分，此时的时间应加上乙先前迟出发的20分，现在的时间为8点40．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，E在AD边上且AE＝1，若点H在边CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D'作D'N⊥AD于点N，与EH交于点M，则tan∠MD'H的值为 ．
【解答】解：由翻折可得，
DE＝D'E，∠D＝∠ED'H＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，∠D＝90°，
∵AE＝1，
∴DE＝D'E＝5﹣1＝4，
∴EC＝＝5，
∵∠D＝∠END'＝90°，∠NED'＝∠DEC，
∴△NED'∽△DEC，
∴，
即，
解得EN＝，ND'＝．
∵D'N⊥AD，
∴∠D'NE＝90°，
∵∠MD'H+∠ED'M＝∠ED'M+∠NED'＝90°，
∴∠MD'H＝∠NED'，
∴tan∠MD'H＝tan∠NED'＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝2+4﹣（2﹣）+1
＝2+4﹣2++1
＝3+3．
18．（6分）解不等式组，并写出它的正整数解．
【解答】解：解不等式2（x﹣1）≤x+1，得x＜3，
解不等式 ，得 ，
∴不等式组的解集是 ，
∴不等式组的正整数解是1，2．
19．（6分）如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，AF＝CE，求证：AE＝CF．
【解答】证明：解法一：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
又∵AF＝CE，
∴AD﹣AF＝CD﹣CE，
∴DF＝DE，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
解法二：
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
在△ACE和△CAF中，
，
∴△ACE≌△CAF（SAS），
∴AE＝CF．
20．（10分）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆OA绕点O匀速旋转，另一曲臂杆AB始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度CD为1.2m，OA＝AB＝1.5m，OD＝0.2m，入口宽度为3m．
（1）如图2，因机器故障，曲臂杆OA最多可旋转72°，求此时点A到地面的距离；
（2）在（1）的条件下，一辆宽为2.58m、高为2.2m的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：sin72°≈0.95，cs72°≈0.3，tan72°≈3．结果精确到0.1m．）
【解答】解：（1）过点A作AF⊥CE，垂足为F，过点O作OG⊥AF，垂足为G，
由题意得：OC＝GF，∠AOG＝72°，
在Rt△AOG中，AO＝1.5m，
∴AG＝AO•sin72°°≈1.5×0.95＝1.425（m），
∵DC＝1.2m，OD＝0.2m，
∴OC＝GF＝DC﹣OD＝1.2﹣0.2＝1（m），
∴AF＝AG+FG＝1.425+1＝2.425≈2.43（m），
∴此时点A到地面的距离约为2.43m；
（2）一辆宽为2.58m、高为2.2m的货车可顺利通过入口，
理由：如图：当MN⊥CE，且MN＝2.2m时，设MN交OG于点P，
由题意得：OP＝CN，PN＝GF＝1m，
∴MP＝MN﹣PN＝2.2﹣1＝1.2（m），
在Rt△MOP中，∠MOP＝72°，
∴OP＝≈＝0.4（m），
∴OP＝CN＝0.4m，
∵入口宽度CE为3m，
∴NE＝CE﹣CN＝3﹣0.4＝2.6（m），
∵2.6m＞2.58m，
∴一辆宽为2.58m、高为2.2m的货车可顺利通过入口．
21．（10分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的试验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，最后在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．
（1）求AB的长．（结果保留根号）
（2）已知本路段对校车限速为50千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：，）
【解答】解：（1）由题意得，在Rt△ADC中，，
解得米．
在Rt△BDC 中，，
解得米，
所以 （米）．
（2）校车从A到B用时2秒，所以速度为 （米/秒），
因为13.6米/秒＝48.96千米/时＜50千米/时，
所以此校车没有超速．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BO平分∠ABC交AC于点O，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O，交AC于点D．
（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝2，tan∠BOC＝2，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）直线AB与⊙O相切，
理由：过O作OH⊥AB于H，
∴∠BHO＝∠BCO＝90°，
∵BO平分∠ABC，
∴∠CBO＝∠HBO，
∵BO＝BO，
∴△CBO≌△HBO（AAS），
∴OH＝OC，
∴AB与⊙O相切；
（2）设OC＝OB＝OH＝r，则BC＝BH＝2r，
∵∠AHO＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△AHO∽△ACB，
∴＝＝，
∴AH＝r+1
在Rt△AOH中，r2+（r+1）2＝（r+2）2，
解得r＝3或r＝﹣1（舍去），
∴⊙O的半径为3．
23．（10分）“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱、某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的“青提”和“红提”供客户对比品尝，其中购买“青提”用了480元，购买“红提”用了360元，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元．
（1）求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元．
（2）若该水果商城决定再次购买同种“红提”和“青提”共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设每千克“红提”的进价是x元，则每千克“青提”的进价是（x+3）元，
由题意得：，
解得：x＝9，
经检验，x＝9是原方程的解，且符合题意，
∴x+3＝9+3＝12，
答：每千克“红提”的进价是9元，则每千克“青提”的进价是12元；
（2）设购买“红提”a千克，则购买“青提”（40﹣a）千克，
由题意得：9a+12（40﹣a）≤450，
解得：a≥10，
设利润为w元，
由题意得：w＝（13﹣9）a+（18﹣12）（40﹣a）＝﹣2a+240，
∵﹣2＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝10时，w有最大值＝﹣2×10+240＝220，
此时，40﹣a＝30，
答：购买“红提”10千克，“青提”30千克，售完后获得利润最大，最大利润是220元．
24．（8分）如图1，直线y＝ax+4经过点A（2，0），交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点B（﹣1，m），点P为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
（1）求反比例函数表达式；
（2）过点P作PC∥x轴交直线AB于点C，连接AP，BP，若△ACP的面积是△BPC面积的2倍，请求出点P坐标；
（3）在反比例函数y＝（x＜0）图象上是否存在点P，使∠BAP＝45°，若存在，请求出点P横坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入直线的表达式得：0＝2a+4，
解得：a＝﹣2，
则一次函数的表达式为：y＝﹣2x+4，
当x＝﹣1时，y＝﹣2x+4＝6＝m，即点B（﹣1，6），
将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝﹣1×6＝﹣6，
则反比例函数的表达式为：y＝﹣①；
（2）当点P在B下方时，
若△ACP的面积是△BPC面积的2倍时，
则yC＝yB＝×6＝4，
当y＝4＝﹣，
解得：x＝﹣，
则点P（﹣，4）；
当P在点B上方时，同理可得：
点P（﹣，12），
综上，点P的坐标为：（﹣，4）或（﹣，12）；
（3）存在，理由：
过点B作BH⊥AP于点H，则△ABH为等腰直角三角形，则AH＝BH，
过点H作GN∥y轴交x轴于点N，交过点B和x轴的平行线于点G，
设点H（x，y），
则BG＝﹣1﹣x，HN＝y，GH＝6﹣y，AN＝2﹣x，
∵△ABH为等腰直角三角形，
则AH＝BH，∠GHB+∠AHN＝90°，
∵∠NHA+∠NAH＝90°，
∴∠GHB＝∠HAN，
∵∠ANH＝∠HGB＝90°，
∴△ANH≌△HGB（AAS），
则BG＝HN，GH＝AN，
则﹣1﹣x＝y且6﹣y＝2﹣x，
解得：x＝﹣，y＝，
则点H（﹣，），
由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为：y＝﹣（x﹣2）②，
联立①②得：﹣＝﹣（x﹣2），
解得：x＝1﹣（不合题意的值已舍去），
即点P横坐标为1﹣；
当点P在AB上方时，
经验证此时方程无解；
综上，点P横坐标为1﹣．
25．（10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察证明．
如图1，当α＝60°时
①猜想BD与CP的数量关系为 PC＝BD ，并说明理由．
②直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 60° ．
（2）类比猜想
如图2，当α＝90°时，请直接写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数．
（3）解决问题
当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
∵CA＝CB，∠ACB＝60°，
∴∧ABC是等边三角形．
∴CA＝BA．
∵∠PAD＝∠CAB＝60°，
∴∠CAP＝∠BAD，
∵CA＝BA，PA＝DA，
∴△CAP≌△BAD（SAS），
∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BEO＝∠CAO＝60°，
∴＝1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，
故答案为：①PC＝BD；②60°．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
∵∠PAD＝∠CAB＝45°，
∴∠PAC＝∠DAB，
∵＝＝，
∴△DAB∽△PAC，
∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠OAB＝45°，
∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．
（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
∵CE＝EA，CF＝FB，
∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC＝45°，
∵∠PAO＝45°，
∴∠PAO＝∠OFH，
∵∠POA＝∠FOH，
∴∠H＝∠APO，
∵∠APC＝90°，EA＝EC，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，
∴∠H＝∠BAH，
∴BH＝BA，
∵∠ADP＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AH，
∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A，D，C，B四点共圆，
∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，
∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，
∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a，
∴＝＝2﹣．
解法二：在Rt△PAD中，∵E是AC的中点，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPC＝∠ECP，
∵∠CEF＝45°＝∠EPC+∠ECP，
∴∠EPC＝∠ECP＝22.5°，
∵∠PDA＝45°＝∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC＝22.5°，
∴AD＝DC，
设PD＝a，则AD＝DC＝a，
∴＝＝2﹣．
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝a，
∴PC＝a﹣a，
∴＝＝2+．
26．（12分）如图，抛物线与x轴相交于点A（3，0）、点B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P为抛物线在第三象限图象上的点，且∠PAB＝∠OCB，求P点的坐标；
（3）如图2，点D是抛物线上一动点，连接OD交线段AC于点E当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，将点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）分别代入得：
，解得，
故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，过点P作PH⊥AB于点H，
∵∠PAB＝∠OCB，
∴tan∠PAB＝tan∠OCB，
∵点B（﹣1，0），点C（0，﹣3），
∴tan∠OCB＝，
设P（x，x2﹣2x﹣3），
∴，解得x＝﹣或3（舍去），
∴P点的坐标为（﹣，﹣）；
（3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，
设D（m，m2﹣2m﹣3），则K（m，0）．并由题意知点D位于第四象限．
∴DK＝﹣m2+2m+3，OK＝m．
∵∠BAC是公共角，
∴当△AOE与△ABC相似时，有二种情况：
①∠AOD＝∠ABC时，△AOE∽△ABC，
∴tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．
∴，解得m1＝，m2＝（舍去），
∴D（，）；
②∠AOD＝∠ACB时，△AOE∽△ACB，
过点B作BQ⊥AC于点Q．
∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，AC＝3．
∵∠BQA＝90°，
∴∠QAB+∠QBA＝90°．
∴∠QAB＝∠QBA＝45°．
∵在直角△AQB中，AQ2+BQ2＝AB2，AB＝4．
∴AQ＝BQ＝2．
∴CQ＝3﹣2＝．
∵∠BQC＝90°，
∴tan∠ACB＝＝＝2，
∴tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．
∴＝2，解得m1＝，m2＝﹣（舍去）
∴D（，﹣2）．
综上所述，当△AOE与△ABC相似时，点D的坐标是（，）或（，﹣2）．