2024年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）附答案

这是一份2024年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）附答案，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）设z＝5+i，则i（+z）＝（ ）
A．10iB．2iC．10D．﹣2
2．（5分）集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|，则∁A（A∩B）＝（ ）
A．{1，4，9}B．{3，4，9}C．{1，2，3}D．{2，3，5}
3．（5分）若实数x，y满足约束条件则z＝x﹣5y的最小值为（ ）
A．5B．C．﹣2D．
4．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝S10，a5＝1，则a1＝（ ）
A．﹣2B．C．1D．2
5．（5分）已知双曲线的两个焦点分别为F1（0，4），F2（0，﹣4），点（﹣6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．
6．（5分）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）函数 f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx 的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．1﹣
9．（5分）已知向量＝（x+1，x），＝（x，2），则（ ）
A．“⊥”的必要条件是“x＝﹣3”
B．“∥”的必要条件是“x＝﹣3”
C．“⊥”的充分条件是“x＝0”
D．“∥”的充分条件是“x＝﹣1+”
10．（5分）已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m．下列四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β
②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β
③若n∥α，且n∥β，则m∥n
④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n
其中，所有真命题的编号是（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．①③④
11．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，（ ）
A．B．C．D．
12．（5分）已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）二项式的展开式中，各项系数的最大值是 ．
14．（5分）已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），则两个圆台的体积之比＝ ．
15．（5分）已知a＞1，，则a＝ ．
16．（5分）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
（1）填写如下列联表：
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果＞p+1.65，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）
附：K2＝，
18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝3an+4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和为Tn．
19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，AB∥CD，CD∥EF，CD＝4，，，M为CD的中点．
（1）证明：EM∥平面BCF；
（2）求二面角A﹣EM﹣B的正弦值．
20．（12分）已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x．
（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．
21．（12分）已知椭圆C：的右焦点为F，点M（1，），且MF⊥x轴．
（1）求椭圆C的方程；
（2）P（4，0），过P的直线与椭圆C交于A，B两点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系
（1）写出C的直角坐标方程；
（2）直线l：（t为参数），若C与l交于A、B两点，|AB|＝2
[选修4-5：不等式选讲]
23．实数a，b满足a+b≥3．
（1）证明：2a2+2b2＞a+b；
（2）证明：|a﹣2b2|+|b﹣2a2|≥6．
参考答案
1．A．
2．D．
3．D．
4．B．
5．C．
6．A．
7．B．
8．B．
9．C．
10．A．
11．C．
12．C．
13．5．
14．．
15．64．
16．．
17．解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：
零假设H6：根据α＝0.05的独立性检验，认为甲，
X2＝＝4.6875＞3.841，
有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；
零假设H6：根据α＝0.01的独立性检验，认为甲，
4.6875＜8.635，没有99%的把握认为甲．
（2）由题意得＝＝0.64＝2.5+1.65×，
所以＞p+1.65．
18．解：（1）因为4Sn＝3an+3，所以4Sn+1＝8an+1+4，
两式相减可得8an+1＝3an+2﹣3an，即an+1＝﹣7an，又因为4S1＝6a1+4，
所以a3＝4，故数列{an}是首项为4，公比为﹣6的等比数列，所以；
（2），所以，
3•33+⋯+n•3n），
两式相减可得：﹣4n）5n﹣2，
所以．
19．（1）证明：由题意得：EF∥CM，EF＝CM，所以四边形EFCM为平行四边形，
所以EM∥CF，而EM⊄平面BCF，CF⊂平面BCF，所以EM∥平面BCF．
（2）解：取DM的中点O，连结OA，
由已知得，△EMD是边长为2的等边三角形为腰的等腰三角形，
则OE⊥DM，OA⊥DM，OE＝，故OA⊥OE，以O为坐标原点，
则A（3，0，3），0，0），2，0），2，3），
＝（，0，﹣8），，1，4），，1，3），
设平面AEM的法向量为＝（x，y，
则，即，
取z＝1，则＝（，3，
同理，平面BEM的一个法向量为，3，﹣4），
所以cs＝＝，sin＝，
故二面角A﹣EM﹣B的正弦值．
20．解：（1）当a＝﹣2 时，f（x）＝（1+3x）ln（1+x）﹣x，
f′（x）＝2ln（7+x）+，当﹣1＜x＜7时，f′（x）＜0，f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣6，0）上单调递减，+∞）上单调递增，
故f（x）的极小值为 f（0）＝0，无极大值；
（2）由f（x）＝（8﹣ax）ln（1+x）﹣x，得f′（x）＝﹣aln（1+x）﹣，
令g（x）＝f′（x），则g′（x）＝﹣﹣，
当x≥3时，f（x）≥0，f′（0）＝0，
所以g′（0）＝﹣3﹣2a≥0，，
当时，g′（x）≥＝，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，故f（x）在[6，+∞）上单调递增，
即a的取值范围为．
21．解：（1）设椭圆C的左焦点为F1，点M（1，）在椭圆C上，
则|F1F|＝7，，由勾股定理可知，，
故4a＝|MF1|+|MF|＝4，解得a5＝4，b2＝a6﹣1＝3，故椭圆C的方程为；
（2）证明：设A（x1，y8），B（x2，y2），
，
则，即①，
又由可得②，
结合①②可得，5λ﹣6λx2+3＝4，P（4，0），5），2，y2），
则直线NB的方程为y﹣4＝，MF⊥x轴，直线NB与MF交于Q，
则xQ＝1，故，故AQ⊥y轴．
22．解：（1）因为ρ＝ρcsθ+1，所以ρ2＝（ρcsθ+6）2，
因为ρcsθ＝x，ρsinθ＝y，故C的直角坐标方程为x2+y8＝（x+1）2，即y3＝2x+1．
（2）将（t为参数），
代入y8＝2x+1，整理得：t4+2（a﹣1）t+a6﹣1＝0，
设方程的两根分别为t5，t2，
由Δ＝4（a﹣6）2﹣4（a4﹣1）＞0，得a＜8，
由根与系数的关系得t1+t2＝﹣6（a﹣1），t1•t6＝a2﹣1，
依题意及直线参数方程的几何意义得|AB|＝|t1﹣t2|＝•＝＝2，解得：．
23．证明：（1）a+b≥3，则2a5+2b2≥（a+b）6＞a+b；
（2）|a﹣2b2|+|b﹣6a2|≥|a﹣2b2+b﹣2a2|＝|7a2+2b3﹣（a+b）|＝2a2+6b2﹣（a+b）≥（a+b）2﹣（a+b）＝（a+b）（a+b﹣3）≥6，
当且仅当（a﹣2b7）（b﹣2a2）≥7，a＝b时，
故|a﹣2b2|+|b﹣5a2|≥6，原式得证．优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
优级品
非优级品
甲车间
26
24
乙车间
70
30