高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示导学案，共8页。

设复数z＝1＋3i在复平面内对应的点为Z，记r为向量OZ的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋3i的实部、虚部之间的关系．
知识点1 复数的三角表示式
1．定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成________的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的________．________叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．
1.任何一个不为零的复数的辐角有多少个值？辐角的主值有多少个值？






2．辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，即0≤arg z＜2π.
知识点2 复数三角形式乘法法则与几何意义
已知z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，则z1z2＝________________．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的________，积的辐角等于各复数的________．
2.复数乘法的几何意义是什么？




知识点3 复数三角形式除法法则与几何意义
已知z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1csθ1+isin θ1r2csθ2+isin θ2＝________________．
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于________________减去____________所得的差．
3.复数除法的几何意义是什么？



将下列复数表示为三角形式：
(1)－5i＝________；
(2) 2－2i＝________．
类型1 复数的代数形式化为三角形式
【例1】 把下列复数表示成三角形式：
(1)1；(2)3－i；(3)－2sin3π4+ics3π4
[尝试解答]














将复数代数形式化为三角形式的步骤
(1)先求复数的________．
(2)决定________所在的象限．
(3)根据象限求出________．
(4)求出复数的三角形式．
提醒：复数三角形式的四个要求：模非负、角相同、余弦前、加号连，缺一不可．任何一个不满足，就不是三角形式．
[跟进训练]
1．下列复数是复数三角形式表示的是( )
A．12csπ4-isinπ4
B．－12csπ3+isinπ3
C．12sin34π+ics34π
D．cs75π＋isin75π
类型2 复数三角形式的乘、除运算
【例2】 (源自苏教版教材)计算下列各式，并把结果化成代数形式：
(1)2csπ12+isinπ12×3csπ6+isinπ6；
(2)6cs2π3+isin2π3÷2csπ3+isinπ3.
[尝试解答]








1．乘法法则：模相乘，辐角相加．
2．除法法则：模相除，辐角相减．
3．复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．
[跟进训练]
2．计算下列各式，并把结果化成代数形式：
(1)2csπ3+isin π32；
(2)2(cs 75°＋isin 75°)×12-12i；
(3)-12+32i÷2csπ3+isin π3.








类型3 复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例3】 在复平面内，把复数3－3i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．
[尝试解答]













利用复数乘除法的几何意义求解复平面内的点所对应的复数时，要注意点Z所对应的复数就是向量OZ对应的复数，OZ常常转化为OZ＝OZ1+Z1Z.而求解向量Z1Z所对应的复数时，要注意它与已知(或可求)向量对应的复数之间的关系，即要明确模与辐角的变化，从而准确利用复数乘除法的几何意义求解．
[跟进训练]
3．(1)设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cs A＋isin A)÷(cs B＋isin B)·(cs C＋isin C)是一个实数，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形D．形状不能确定
(2)(多选)在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是( )
A．1-32＋1+32i B．1+32＋1-32i
C．5-32＋3+32iD．5+32＋3-32i








1．复数－3i的辐角主值为( )
A．－π2 B．3π2
C．－π2＋2kπ(k∈Z)D．3π2＋2kπ(k∈Z)
2．复数z＝1＋i(i为虚数单位)的三角形式为( )
A．z＝2(sin 45°＋ics 45°)
B．z＝2(cs 45°＋isin 45°)
C．z＝2[cs (－45°)－isin(－45°)]
D．z＝2[cs (－45°)＋isin(－45°)]
3．在复平面中，把复数z＝2＋2i对应的向量按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为( )
A．2+22＋2+22i B．2-22＋2+22i
C．1＋2＋(1＋2)iD．1－2＋(1＋2)i
4．计算cs23π+isin 23π÷2csπ6+isin π6＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．复数三角形式中的辐角和辐角主值有什么区别与联系？
2．将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cs θ＋isin θ)时，要注意什么？
3．用复数的三角形式乘除法的几何意义解题时，关键把握哪些量的变化？
学习任务
1．了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．(数学抽象、逻辑推理)
2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．(数学抽象、直观想象)