通关秘籍02 平面向量（易错题+三大题型）-备战2024年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

秘籍02 平面向量
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】奔驰定理
【题型二】 极化恒等式
【题型三】 等和线
平面向量是近几年小题的热点必考题型，主要考察学生对于向量的转化也就是基底思想的熟练程度，包含了对于复杂知识的简单化也就是化归与转化的思想的掌握。近几年的向量也出现过单选的压轴题，考察的大多为向量的三大定理之一。还有新教材新加的投影向量也是今年的热门知识点。注意题目的问法，分清投影向量、向量的投影和投影向量的模之间的区别。
易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影
1.同方向单位向量：的同方向单位向量为，指的是方向和相同，模长为1的向量。
2.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影.

3.投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为.
4. 向量在方向上的投影向量：设为、的夹角，则为在方向上的投影向量.
5.向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积.
易错提醒：1. 投影和投影向量的模都是数量，区别在于投影有正负，投影向量的模永远是正值。
2.投影向量结果是向量，所以是其投影（大小）乘上其同方向单位向量（方向）。
例 （多选）（2023·海南·模拟预测）已知向量，则（ ）
A．若，则
B．在方向上的投影向量为
C．存在，使得在方向上投影向量的模为1
D．的取值范围为
【答案】BCD
【详解】对于A，若，则，则，所以A错误；
对于B，在方向上的投影向量为，故B正确；
对于C，，所以在方向上投影向量的模为：
，
当时，，所以存在，使得在方向上投影向量的模为1，故C正确；
对于D，向量
，
所以，则，故D正确.
故选：BCD.
变式1：（2024·辽宁鞍山·二模）已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由向量在向量上投影向量为，
所以得，
又因为，所以，故C正确.
故选：C.
变式2：（多选）（2024·广东广州·一模）已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．向量，在上的投影向量相等D．
【答案】BC
【详解】作向量，在中，，，
由向量平分与的夹角，得是菱形，即，
对于A，与不一定垂直，A错误；
对于B，，即，B正确；
对于C，在上的投影向量，
在上的投影向量，C正确；
对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误.
故选：BC
变式3：（2024·青海·一模）已知向量，，则向量在方向上的投影为 ．
【答案】/
【详解】因为向量，，所以，
则，所以向量在方向上的投影为：.
故答案为：
【题型一】奔驰定理
为内一点，，则.
重要结论：，，.
结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.
结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.
奔驰定理与三角形四心的关系：
一、三角形的“重心”
1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1
三角形中线向量式：AM=12(AB+AC)
2、重心的性质：
（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
所以OA+OB+OC=0
二、三角形的“垂心”
垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内；
直角三角形的垂心在直角顶点上；
钝角三角形的垂心在三角形外。
奔驰定理推论：S∆BOC:S∆COA:S∆AOB=tanA:tanB:tanC，
tanA∙OA+tanB∙OB+tanC∙OC=0.
三、三角形的“内心”
1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
2、常见内心向量式：P是∆ABC的内心，
（1）ABPC+BCPA+CAPB=0（或aPA+bPB+cPC=0）
其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，
四、三角形的“外心”
1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等
2、常用外心向量式：O是∆ABC的外心，
1、OA=OB=OC⟺OA2=OB2=OC2
2、OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OA+OC∙AC=0
3、若OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OC+OA∙CA=0，则O是∆ABC的外心.

【例1】（2021·四川凉山·三模）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：
①若是的重心，则有；
②若成立，则是的内心；
③若，则；
④若是的外心，，，则.
则正确的命题有 .
【答案】①②④
【详解】对于①：如图所示：因为分别为的中点，
所以,，
同理可得、，
所以，又因为
所以.①正确.

对于②：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心.②正确.
对于③：因为，所以,,,
所以,
化简得：，
又因为不共线.
所以，
.③错误.
对于④：因为是的外心，，所以,，,
因为，则，
化简得： ,由题意知不同时为正.
记,
则，
因为
所以.④正确.
故答案为：①②④.
【例2】（多选）（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABD
【详解】对于A，取的中点D，连接，
由，则，
所以，
所以A，M，D三点共线，且，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确；

对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，
所以，
即，故B正确；

对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为，
又，
则有，
所以，
，
，
所以，故C错误；

对于D，如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，

由为的垂心，，则，
又，则，，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD．
【例3】（2023高一·江苏·专题练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】C
【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向与的角平分线一致，
由，可得，
即，
所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，
故点P的轨迹一定经过的内心.
故选：C.

【变式1】（2023·吉林·一模）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】直角三角形中，，为中点，的重心为，如图所示，

，
则，；
直角三角形中，，的外心为，则为中点，如图所示，

，则，；
直角三角形中，，的垂心为，则与点重合，，
则，；
直角三角形中，，的内心为，则点是三角形内角平分线交点，

直角三角形中，角的对边分别为，设内切圆半径为，
则，得，
，
，.
最大，所以当取最大值时，.
故选：B.
【变式2】（22-23高三上·江西·阶段练习）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】延长交于点P，
是的垂心，，
．
同理可得，．
又，
．
又，
．
不妨设，其中．
，
，解得．
当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故，则，故C为锐角，
∴，解得，
故选：B．
【变式3】（2022·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【详解】由得，
由得，
根据平面向量基本定理可得，，
所以，，
延长交于，延长交于，
则，又，所以，
所以为的平分线，
同理可得是的平分线，
所以为的内心.
故选：B
【题型二】 极化恒等式
基础知识：
简化：在△中，是边的中点，则.
【例1】已知△是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）

解析：取的中点，连接，，取的中点，连接，
由△是边长为2的等边三角形，为中线的中点，
则 ，
所以 .
【例2】在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，， ，则的值是________.
【答案】【解析】解法一：基底法
令，则，则
，
则
由，可得，因此，
因此.
解法二：极化恒等式
，
解得：所以.
【例3】已知球的半径为1， 是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由球的半径为1， 是球面上的两点，且，可得，
,故选B.
【变式1】（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】取的中点，连接，如图所示，

所以的取值范围是，即，
又由，
所以.
故选：B.
【变式2】（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得，
，
当与正六边形的边垂直时，，
当点运动到正六边形的顶点时，，
所以，则，即.
故选：B
【变式3】（2024·陕西安康·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，为圆的直径，点是直线上任意一点；则的最小值为（ ）
A．4B．12C．16D．18
【答案】B
【详解】
对于曲线，令，则；令，则，
曲线与坐标轴的交点分别为，
设圆心，由，得，
则圆心为，半径为2，所以圆方程为，

，
当最小，即为圆心到直线的距离时，取到最小值，
圆心到直线的距离设为，则，
所以最小值为4，则的最小值为，
故选：B．
【题型三】 等和线
向量基本定理：
等和线原理：
【例1】如图， 中， 是斜边上一点，且满足： ,点在过点的直线上，若,,则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】，因为三点共线，所以，因此，选B.
【例2】设，，是平面内共线的三个不同的点，点是，，所在直线外任意-点，且满足，若点在线段的延长线上，则（ ）
A．，B．，C．D．
【答案】A
【详解】由题可得：，所以可化为：
整理得：，即：又点在线段的延长线上，所以与反向，
所以，故选：A
【例3】如图，∠BAC=2π3，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP=xAD+yAE(x、y∈R)，则x+y的取值范围是（ ）
A．1,4+23 B．4−23,4+23 C．1,2+3 D．2−3,2+3
【答案】B
【解析】
连接AM并延长分别交圆M于Q、T，连接DE，DE与AM交于R，显然AR=12AD+12AE，此时x+y=1，分别过Q、T作DE的平行线，由于AD=AE=1,∠BAC=1200 ，则AM=2,DM=3，则AQ=2−3，AR=12 ，
AQ=2−312=(4−23)AR=(2−3)AD+(2−3)AE ，此时x+y=4−23 ，同理可得：AT=(2+3)AD+(2+3)AE，x+y=4+23，选B.
【变式1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形中，，，分别为上的点，，．若线段上存在一点，使得，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
，，，，
，
，
三点共线，，解得：，，
.
故选：A.
【变式2】（2023·四川攀枝花·一模）在平面四边形中，，，，，则的最大值为（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】C
【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，
因为，，则，，
所以，，设，
则，，，
由，即，
则，即.
由可知点的轨迹为外接圆的一段劣弧，
且，则外接圆的半径为，
设外接圆的方程为，
则，解得或（舍去），
即外接圆方程为，圆心为，
因为表示外接圆劣弧上一点到直线的距离，
而圆心到直线的距离为，
要使最大，则最大，
而，即，
此时，即的最大值为3.
故选：C.

【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以，
所以，即，
因为三点共线，可得，所以.
故选：A．

【变式4】已知扇环如图所示，是扇环边界上一动点，且满足，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，易知，
（1）当点在上运动时，向量与共线，显然，
此时，因为点在上，
其横坐标满足：，所以；
（2）当点在上运动时，向量与共线，显然，
此时，因为点在上，
其横坐标满足：，
则，所以；
（3）当点在上运动时，设，
由，得，
即，可得，
变形可得，其中，
因为是扇环边界上一动点，且满足，所以均为非负实数，
，因为，
所以当时，取得最大值，的最大值为，
由，所以当时，取得最大角，
此时取得最小值，即，
所以，的最小值为1；
（4）同理可得当点在上运动时，因为，
故的最大值为，最小值为.
综上所述，.
概率预测
☆☆☆☆
题型预测
选择题、填空题☆☆☆☆☆
考向预测
投影向量的概念